ТЕМА: Методи розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь

Розв’язання рівнянь – алгебраїчних і трансцендентних – являє собою одну з істотних задач прикладного аналізу, потреба в якій виникає в найрізноманітніших розділах фізики, техніки і природознавства.

Задача визначення кореня рівняння з одним невідомим

ƒ(x) = 0, (1.1)

де ƒ(x) – безперервна функція, складається з двох етапів:

1) відділення кореня, тобто визначення числового проміжку, у якому міститься один корінь рівняння;

2) уточнення значення кореня шляхом побудови послідовності

x_к = φ (x_к-1), к = 1, 2, 3,...

на основі відповідного методу.

Для уточнення значення кореня існують різні ітераційні методи.

1.1 Відділення числового проміжку, у якому міститься один корінь рівняння

1.1.1 Відділення кореня графічно (перший спосіб)

Якщо рівняння (1.1) зручно представити у вигляді

g (х) – h (х), (1.2)

то абсцису х₀ точки перетинання графіків у = g(х) і у = h (х) можна знайти по кресленню.

Величину х₀ визначити з достатньою точністю графічно не можливо. Тому варто вибрати такий числовий проміжок [a; b] для якого свідомо виконується нерівність a ≤ х₀ ≤ b.

Різні знаки функції при х =а і х = b

ƒ(а) * ƒ(b) ≤ 0 (1.3)

свідчать про наявність кореня в проміжку [a; b].

 

 

Другий спосіб відділення кореня

Цей спосіб містить звичайне табулювання функції у = ƒ (х) на інтервалі існування функції, при цьому ступінь зміни аргументу підбирається значимим. І знову, різні знаки функції при х =а і х = b, тобто ƒ(а) * ƒ(b) ≤ 0 свідчать про наявність кореня в проміжку [a; b].

1.2 Уточнення значення кореня рівняння ƒ(x) = 0

 

Метод половинного ділення (метод бісекцій)

Умова застосовності методу половинного ділення припускає безперервність функції ƒ (х) на проміжку [a; b].

Уточнення значення кореня проводиться шляхом побудови послідовності, що сходиться

 

x_к =(а_к + b_к) / 2, к = 1, 2, (1.4)

 

За а₁, b₁ приймаємо відповідно а, b.

Припускаючи, що наближення x_n (де n – фіксоване значення к) відомо, для знаходження x_n+1 вибираємо наступні значення a_n+1, b_n+1 в залежності від знака добутку f(a_n ) * f(x_n).

Якщо f(a_n ) * f(x_n) < 0, то b_n+1 вважаємо рівним знайденому значенню x_n і a_n+1 рівними a_n, інакше b_n+1 = b_n, a_n+1 = x_n.

На рис. 1.1 зображена поведінка послідовних наближень у випадку ƒ(а) < 0, ƒ(b) > 0.

 

Рисунок 1.1 – Графічне зображення методу бісекцій

 

Рішення рівняння (1.1) вважається знайденим з точністю Е, якщо виконається умова

| х_{к + 1} – х_к | < Е (1.5)

Метод хорд (метод пропорційних чисел)

Умови збіжності методу припускають, що ƒ ' (x) і ƒ '' (x) зберігають знак на проміжку [a; b].

Побудова послідовності, що сходиться, проводиться по формулі

х_к = х_{к – 1} - ƒ(х_{к – 1}) * (с - х_{к – 1}) / (ƒ(с) - ƒ(х_{к – 1})), к = 1, 2,... (1.6)

де с – нерухомий кінець проміжку.

Якщо ƒ(а) * ƒ '' (а) > 0, то за нерухомий кінець приймається а, тоді х₀ = b.

У противному випадку, нерухомий кінець b, а як нульове наближення вибирається а.

На рис. 1.2 зображене поводження послідовних наближень у випадках:

а) ƒ(а) > 0, ƒ '' (а) > 0; б) ƒ(а) < 0, ƒ '' (а) < 0.

 

 

Рисунок 1.2 – Графічне зображення методу хорд (послідовні наближення)

 

Процес наближення відбувається до виконання умови (1.5), або доки ƒ(х_к) | ≤ Е (1.7)

 

Метод Ньютона (метод дотичних)

Умови збіжності методу припускають, що ƒ ' (x) і ƒ '' (x) зберігають знак на проміжку [a; b].

Уточнення значення кореня проводиться шляхом побудови збіжності послідовності.

х_к = х_{к – 1} - ƒ(х_{к – 1}) / ƒ ' (х_{к – 1}), к = 1, 2, 3,... (1.8)

За х₀ приймаємо той з кінців проміжку [a; b], на якому виконується умова

ƒ(х₀) * ƒ''(х₀) > 0 (1.9)

Поведінка послідовних наближень при ƒ(а) < 0, ƒ '' (а) < 0 (а); ƒ(а) > 0, ƒ '' (а) > 0 (б) ілюструється на рис. 1.3.

 

 

Рисунок 1.3 – Графічне відображення методу дотичних

Процес наближення відбувається до виконання умови (1.5), або (1.7).

1.2.4 Використання пакету аналізу „что - если” Excel

Чисельний аналіз даних зазвичай відбувається через меню „Сервис”. Інструмент „Подбор параметра” дозволяє знайти значення аргументу, задовольняючого наданому значенню функції. Якщо необхідно вирішити рівняння ƒ(x) = 0, треба визначити адресу клітини, куди буде занесене початкове значення кореня. Саме рівняння ƒ(x) записується в іншій клітині з посиланням на першу. У вікні „Подбор параметра” вказуємо початкові значення параметрів, зразок на рис.1.4.

 

 

Рисунок 1.4 – Вікно „Подбор параметра”

 

Для уточнювання знайденого рішення потрібно в меню „Сервис / Параметри” на вкладниці „Вычисления” змінити значення відповідних параметрів: кількість ітерацій; погрішність.

 

Індивідуальні завдання

Для кожної функції визначити числовий проміжок у якому міститься один корінь рівняння, уточнити значення кореня вказаними вище методами.

1.3.1 1.3.2

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) , . 4) .

1.3.3 1.3.4

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) .

 

1.3.5 1.3.6

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) , .

1.3.7 1.3.8

1) ; 1) ;

2) ; 2)

3) ; 3) ;

4) . 4) .

1.3.9 1.3.10

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) .

1.3.11 1.3.12

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) , . 4) .

1.3.13 1.3.14

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) .

1.3.15 1.3.16

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) ,.

1.3.17 1.3.18

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) , . 4) .

1.3.19 1.3.20

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) .

1.3.21 1.3.22

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) , . 4) .

 

1.3.23 1.3.24

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) .

1.3.25 1.3.26

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) , .

1.3.27 1.3.28

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) .

1.3.29 1.3.30

1) ; 1) ;

2) ; 2) ;

3) ; 3) ;

4) . 4) ,