Відображення поверхонь.Точки на поверхнях

Циліндр.

 

Циліндром називається тіло, обмежене циліндричною поверхнею і двома паралельними площинами (основами). Прямим називається циліндр, в якого твірні перпендикулярні до основи рис. 4.2,а.

Проводячи аналіз креслення циліндра можна відмітити, що верхня основа циліндра паралельна площині ¹ П, нижня основа належить ¹ П. Бокова циліндрична поверхня – горизонтально – проектуюча. На ¹ П вона проектується в коло. Твірні даної поверхні (позначені як а, b, c, d) являються горизонтально-проектуючими прямими.

Розглянемо аксонометричне зображення циліндра (рис. 4.2,б) на горизонтальній проекції видимою буде верхня основа циліндра. На фронтальній проекції видимою буде передня частина циліндра (до площини d). Площина d умовно поділяє зображення циліндра на фронтальній площині проекцій на видиму і невидиму частини. Площина e розділяє поверхню циліндра на видиму і невидиму частини на профільній площині проекцій. ³ П. Всі точки, що знаходяться зліва від даної площини на профільній площині ³ П будують видимі, а точки, що знаходяться справа – невидимі. Невидимі точки на комплексному кресленні зображуються в круглих дужках (точка E на рис. 4.2,е).

Побудова всіх проекцій точок здійснюється з допомогою ліній зв’язку по відповідних координатах. Яку б точку ми не взяли на поверхні циліндра, горизонтальна проекція цієї точки буде знаходитись на основі циліндра, тобто на колі.

Розглянемо декілька прикладів знаходження проекцій точок.

1. Задано: точка А на фронтальній проекції належить твірній а та верхній основі a. У символьному записі - ² А Ì ² а ̲a (рис. 4.2,в).

Рис. 4.2

Креслення: проекція точки ¹ А на горизонтальній площині співпадає із проекцією твірної ¹ А º ¹ а. Проекція точки ³ А на профільній площині проекцій співпадає із профільною проекцією твірної ³ а та належить верхній основі - ³a (твірна - а належить фронтальній площині g, що проходить через вісь симетрії (див. рис. 4.2, б) тому на профільній площині не викреслюється).

2. Задано: точка В на фронтальній проекції належить верхній основі a та боковій поверхні g. У символьному записі - ² B Ì a² ̲g (рис. 4.2,г).

Креслення: проекція ¹ В на горизонтальній площині видима і знаходиться на колі основи. Проекція ³ В на профільній площині проекцій видима належить верхній основі - ³a і знаходиться вправо від осі симетрії на відстані y_B

3. Задано: на фронтальній проекції точка C належить боковій поверхні g. У символьному записі - ² C ̲g (рис. 4.2,д).

Креслення: проекція ¹ С на горизонтальній площині видима і знаходиться на колі основи. Проекція ³ С на профільній площині проекцій видима і знаходиться від проекції ² С по горизонтальній лінії з’вязку вправо від осі симетрії на відстані y_С

4. Задано: на фронтальній проекції точка D належить боковій поверхні g. У символьному записі – ² D ̲g (рис. 4.2,д).

Креслення: проекція ¹ D на горизонтальній площині видима і знаходиться на колі основи. Проекція ³ D на профільній площині проекцій невидима і знаходиться від проекції ² D по горизонтальній лінії з’вязку вправо від осі симетрії на відстані y_D

5. Задано: невидима на фронтальній проекції точка E належить боковій поверхні g. У символьному записі – ² E ̲g (рис. 4.2,е).

Креслення: проекція ¹ E на горизонтальній площині видима і знаходиться на колі основи. Проекція ³ E на профільній площині проекцій невидима і знаходиться від проекції ² E по горизонтальній лінії з’вязку вліво від осі симетрії на відстані y_E

Сфера.

Сферична поверхня може бути одержана шляхом обертання кола навколо осі, яка лежить в площині кола і проходить через його центр. Рис. 4.3,а.

Проекції контуру сфери на епюрі представляють собою кола які зображені на рис. 4.3,б. Довільний перетин сфери площиною рівня (горизонтальна, фронтальна, профільна) утворює коло і воно проектується без спотворення на відповідну площину проекцій.

Горизонтальна площина проходить через центр сфери і ділить її на дві рівні частини. Коло, що утворюється в перетині, називається екватор. Верхня половина сфери дає видимі точки на горизонтальній проекції (точки D і E на рис. 4.3,г), а нижня – невидимі.

Фронтальна площина також ділить сферу на дві рівні частини. Коло, що утворюється в перетині, називається головний мередіан. Точки, які знаходяться попереду цієї площини на фронтальній проекції видимі (точка F на рис. 4.3,д), які позаду – невидимі(точка G на рис. 4.3,д).

Ще одне коло одержимо як січення профільною площиною. Коло, що утворюється в перетині, називається профільний мередіан. Точки будут видимі на профільній проекції, тоді коли вони будуть з лівої сторони від цієї січної площини (точки F і G на рис. 4.3,д), і невидимі, коли вони будуть справа (точки H і I на рис. 4.3,е).

Розглянемо декілька прикладів знаходження проекцій точок.

1. Задано: точка А на фронтальній проекції знаходиться в перетині головного фронтального та профільного мередіанів. У символьному записі - ² А Ì ² b Dz c (рис. 4.3,в). (Аналогічно можно провести аналіз побудови точки В, що знаходиться в перетині екватора та профільного мередіана та аналіз побудови точки C що знаходиться в перетині екватора та головного мередіана)

Креслення: проекція точки ¹ А на горизонтальній площині буде знаходитись в перетині головного фронтального та профільного мередіанів- ¹ А Ì ¹ b ǹ c. Проекція точки ³ А на профільній площині буде знаходитись в перетині головного фронтального та профільного мередіанів- ³ А Ì ³ b dz c.

Аналогічно можно провести аналіз побудови точки B, що знаходиться в перетині екватора та профільного мередіана та аналіз побудови точки C що знаходиться в перетині екватора та головного мередіана (рис. 4.3,в)

2. Задано: точка D на фронтальній проекції належить головному (фронтальному) мередіану. У символьному записі – ² D Ì ² b (рис. 4.2,г).

Креслення: проекція точки ¹ D на горизонтальній площині буде знаходитись на перетині вертикальної лінії з’вязку і осьової лінії, а саме належати головному мередіану – ¹ D Ì ¹ b. Координата точки D по осі ОХ визначається колом радіусом – R1 утвореним в горизонтальній площині.

Аналогічно можно провести аналіз побудови точки E, (рис. 4.3,г) її проекція на горизонтальній площині визначається екватором сфери– ¹ E Ì ¹ a, фронтальна проекція буде знаходитись на перетині вертикальної лінії з’вязку і осьової лінії – ² E Ì ² b. Координата точки E на профільній проекції визначається колом радіусом – R3 утвореним в профільній площині.

3. Задано: точка F - видима та точка G - невидима на фронтальній проекції. У символьному записі – ² F º ² G (рис. 4.3,д).

Креслення: проекції точок ¹ F і¹ G на горизонтальній площині будуть знаходитись на колі радіусом – R1, його радіус визначено з фронтальної площини проекцій. Проекції точок ³ F і³ G на профільній площині будуть знаходитись на колі радіусом – R3, його радіус визначено з фронтальної площини проекцій.

4. Задано: точка H - видима та точка I - невидима на горизонтальній проекції. У символьному записі – ² H º ² I (рис. 4.3,е).

Креслення: проекції точок ² H і² I на горизонтальній площині будуть знаходитись на колі радіусом – R2, його радіус визначено з фронтальної площини проекцій. Проекції точок ³ F і³ G на профільній площині будуть знаходитись на колі радіусом – R3, його радіус визначено з фронтальної площини проекцій.

Рис. 4.3

Конус.

Конус – геометричне тіло, обмежене боковою конічною поверхнею - b і площиною основи - a, що перетинає всі його твірні. Основа конуса лежить в площині ¹ П. Прямим круговим називається конус, у якого основа є коло, а висота проходить через центр основи. Бічна поверхня прямого конуса утворена твірними які проходять через загальну точку S - вершину конуса (див.рис 4.4,а). На рис. 4.4,б зображено проекції конуса на площини проекцій.

Твірні a, b є окреслюючими по відношенню до ² П, вони лежать у фронтальній площині. Твірні c, d – окреслюючі по відношенню до площини проекцій ³ П, знаходяться в профільній площині (рис. 4.4,в). Всі інші твірні конуса - прямі загального положення і на епюрі не зображуються.

Проекції точок, які лежать на основі конуса, знаходять на інших площинах проекцій за допомогою ліній зв’язку.

Розглянемо декілька прикладів знаходження проекцій точок.

1. Задано: проекція точки - ² С належить основі конуса (рис. 4.4,г).

Креслення: проекції точки - ¹ С на горизонтальній площині знайдемо на колі основи, а проекцію точки - ³ С на профільній площині знайдемо на відстані Y_С в напрямку додатніх значень осі координат – Y.

2.Задано: точки – ¹ D і ¹ E, що належать окреслюючим твірним -¹ d, ¹ c конуса (рис. 4.4,д).

Необхідно: Побудувати проекції точок. Вказати іх видимість.

Аналіз: На горизонтальній проекції видимою буде вся бічна поверхня конуса. Фронтальні окреслюючі твірні ² а, ² в ділять бічну поверхню конуса на передню - видиму і задню - невидиму (по відношенню до ² П – рис. 4.4.д). Профільні окреслюючі твірні -³ d, ³ c ліву видиму і праву невидимі частини (по відношенню до ³ П, рис. 4.4. д).

Креслення: Проведемо горизонтальну площину - ²g через фронтальну проекцію точки – (² D) –невидима, та горизонтальну площину - ²dчерез фронтальну проекцію точки – ² E. Побудуємо коло радіусом - R1 в площині ¹g та коло радіусом – R2 в площині - ²d на горизонтальній площині проекцій. Проекції точок – ¹ D і ¹ E на горизонтальній площині знайдемо в перетині кіл радіусами R1 та R2 з горизонтальною проекцією окреслюючих твірних - ¹ d, ¹ c. Профільні проекції точок- ³ D і ³ E знаходяться в перетині горизонтальних ліній зв’язку від фронтальних проекцій точок- ² D і ² E та профільних проекцій окреслюючих твірних - ³ d та³ c.

3. Задано: точка – ² F, що належить конічній поверхні (рис. 4.4,е).

Креслення: Проведемо горизонтальну площину - ²e через фронтальну проекцію точки – ² F. Побудуємо коло радіусом - R1 в цій площині на горизонтальній проекції. Горизонтальну проекцію точки - ¹ F знайдемо в перетині цього кола і вертикальної лінії зв’язку від фронтальної проекції точки – ² F. Профільну проекцію точки – ³ F знайдемо в площині - ³e на відстані Y_F в напрямку додатніх значень осі координат – Y.

 

Рис. 4.4

Призма.

 

Призма – многогранник, утворений перетином призматичної поверхні двома паралельними площинами -a і b. На рис.4.5,а зображені проекції призми і її деяких складових елементів. Елементами призм вважають: вершини (точки), ребра (прямі), грані (площини). Призму називають прямою, якщо бокові ребра її перпендикулярні до основи. Призму називають правильною, якщо в основі її лежить правильний многокутник. Аксонометричне зображення призми наведено на рис. 4.5,б.

Призма, яку зображено на рис.4.5,в має 6 граней, 2 основи, 18 ребер (із них 6 бокових –a, b, c, d, e, f), 12 вершин. Верхня основа паралельна горизонтальній площині проекцій ¹ П нижня – належить ¹ П. Грані ВСМК, FEOT – фронтальні площини. На ³ П кожна з них проектується в лінію – слід площини. Інші грані – горизонтально-проектуючі площини. Ребра основи – горизонтальні лінії рівня. На горизонтальній проекції видимою буде верхня основа призми. На фронтальній проекції видимі грані АВKL, ВСМК, СDNM, інші – невидимі. На профільній проекції видимі грані – ABKL, АFТL, інші – невидимі.

Комплексне креслення правильної призми слід починати з горизонтальної проекції. Побудову всіх проекцій точок на боковій поверхні призми здійснють за допомогою ліній зв’язку по відповідних координатах. Яку б точку ми не взяли на боковій поверхні призми, горизонтальна проекція цієї точки буде знаходитись в основі призми.

Розглянемо декілька прикладів знаходження проекцій точок.

1. Задано: проекція точки - ² P належить грані ABKL (площина - g, див.рис. 4.5,г).

Креслення: горизонтальна проекція точки – ¹ P знаходиться в основі призми на ребрі – ¹ K ¹ L. Профільну проекцію точки – ³ P знаходимо на горизонтальній лінії з’вязку, яку проводимо від фронтальної проекції точки – ² P,на відстані Y_P в напрямку додатніх значень осі координат – Y.

2. Задано: проекція точки – ² S належить грані CDNM (площина - d, див.рис. 4.5,д).

Аналіз: грань CDNM видима на горизонтальній, фронтальній та невидима на профільній проекціях (див. рис.4.5,б), аналогічно позначимо проекції точки – ¹ S, ² S і (³ S).

Креслення: горизонтальна проекція точки – ¹ S знаходиться в основі призми на ребрі – ¹ N ¹ M. Профільну проекцію точки – ³ P знаходимо на горизонтальній лінії з’вязку, яку проводимо від фронтальної проекції точки – ² P,на відстані Y_S в напрямку додатніх значень осі координат – Y.

3. Задано: проекція точки – ² I належить грані BCMK (площина - ²e, див.рис. 4.5,e).

Аналіз: грань BCMK – фронтальна площина.

Креслення: горизонтальна проекція точки – ¹ I знаходиться в основі призми на ребрі – ¹ K ¹ M. Профільну проекцію точки – ³ I знаходимо по горизонтальній лінії з’вязку на проекції грані BCMK (площина - ³e).

Рис. 4.5

Піраміда.

Піраміда – многогранник, утворений перетином пірамідальної поверхні площиною основи -a. На рис.4.6,а зображені проекції піраміди і її деяких складових елементів. Елементами пірамід вважають: вершини (точки), ребра (прямі), грані (площини). Піраміду називають прямою, якщо її висота перпендикулярна основі. Піраміду називають правильною, якщо в основі її лежить правильний многокутник. Аксонометричне зображення піраміди наведено на рис. 4.6,б.

Піраміда, яку зображено на рис.4.6,в має 6 граней, 1 основу, 12 ребер (із них 6 бокових), 7 вершин. Основа піраміди належить горизонтальній площині проекцій ¹ П або паралельна їй. Бокові ребра SA та SD - фронтальні прямі рівня. Інші бокові ребра – прямі загального розташування. Ребра основи – горизонтальні лінії рівня. На горизонтальній проекції видимими будуть всі грані піраміди. На фронтальній проекції видимі грані SAB, SBC, SCD, інші – невидимі. На профільній проекції видимі грані – SAB, SAF, інші – невидимі.

Комплексне креслення правильної піраміди слід починати з горизонтальної проекції.

Розглянемо декілька прикладів знаходження проекцій точок.

1. Задано: проекція точки – ² G належить ребру - AB в основі піраміди(площина - a, див.рис. 4.6,г).

Креслення: горизонтальна проекція точки – ¹ G знаходиться в основі піраміди на ребрі – ¹ A ¹ B. Профільну проекцію точки – ³ G знаходимо на горизонтальній лінії з’вязку,яку проводимо від фронтальної проекції точки – ² G,на відстані Y_G в напрямку додатніх значень осі координат – Y.

2. Задано: проекція точки – ² H належить боковому ребру SB (див.рис. 4.6,д).

Креслення: горизонтальна проекція точки – ¹ H знаходиться в перетині вертикальної лінії з’вязку та ребра – ¹ S ¹ B піраміди. Профільну проекцію точки – ³ H знаходимо на перетині горизонтальної лінії з’вязку, яку проводимо від фронтальної проекції точки – ² H,із ребром -³ S ³ B.

3. Задано: проекція точки – ² I належить грані SAB (див.рис. 4.6,e).

Аналіз: грань SAB – площина загального розташування.

Креслення: Проведемо горизонтальну площину - ²b через фронтальну проекцію точки – ² I. Утворюється лінія перетину n, що належить горизонтальній площині - nÌ b. Горизонтальна проекція точки – ¹ I знаходиться на перетині вертикальної лінії з’вязку, яку проведено від фронтальної проекції точки – ² I, із горизонтальною проекцією лінії -¹ n. Профільну проекцію точки – ³ I знаходимо по горизонтальній лінії з’вязку, яку проводимо від фронтальної проекції точки – ² I,на відстані Y_I в напрямку додатніх значень осі координат – Y.

Рис. 4.6