Головні кривини. Середня і повна кривина.

Нехай – регулярна поверхня, М – деяка її фіксована точка, – вектор-функція поверхні . Значення нормальної кривини поверхні у точці М за її головними напрямками називаються головними кривинами поверхні у точці М. З матеріалів попереднього параграфа відомо, що в еліптичній, гіперболічній, параболічній точках поверхні існує дві головні кривини. В інших точках (емболічна, сплощення) вважають, що усі кривини головні.

Позначимо головні кривини у точці М через (не плутати з кривиною та скрутом). Тоді площина називається середньою кривиною поверхні у точці М. Величина називається повною кривиною поверхні у точці М.

Знайдемо формули для обчислення головних, середніх та повних кривин. Припустимо, що головна кривина поверхні у її фіксованій точці М, що відповідає напрямку з точки М. Тоді згідно формули для обчислення нормальної кривини точка має окіл, для кожної точки якого має місце рівняння: . Тоді для усіх точок з деякого околу точки . Значить для цієї функції точка є точкою екстремуму, де функція має вигляд: . Згідно критерію точки екстремуму функції декількох змінних, маємо: . Знайдемо ці частинні похідні:

(1)

Отримали систему для знаходження головного напрямку , що відповідає головному значенню . Однорідна система (1) тоді і тільки тоді має ненульовий розв’язок, коли її визначник дорівнює нулю.

(2)

Отримали рівняння для знаходження . Стовпці визначника (2) є сумами стовпців, тому цей визначник можна представити як суму чотирьох визначників.

(3)

Таким же чином можна отримати таке ж саме рівняння для розрахунку , тобто – розв’язки рівняння (4):

(4)

З теореми Вієта: , тоді вираз у дужках є розв’язком і ми маємо:

.

А повна кривина за теоремою Вієта:

.

Формули Ейлера.

Нехай – регулярна поверхня, М – деяка її фіксована точка, П – дотична площина поверхні у точці М.

Знайдемо зв'язок між головними кривинами поверхні у точці М і довільною нормальною кривиною поверхні у точці М. Введемо у просторі Декартові систему координат з центром у точці М, так щоб вісі Ох, Оу співпадали з головними напрямками у точці М. Тобто у такій системі координат напрямки є головними. З розділу «Різні аналітичні засоби задання регулярних поверхонь» відомо, що у деякому околі точки М поверхню можна задати явною функцією

(1)

Оскільки усі точки поверхні крім М у деякому її околі лежать під дотичною площиною П, то точка М є точкою екстремуму для функції (1), оскільки значення цієї функції за модулем – це відстань від площини до поверхні. За критерієм точки екстремуму: . Тоді згідно формул для коефіцієнтів , коли поверхня задана явною функцією, маємо:

Таким чином поверхні у точці М має вигляд:

(2)

Оскільки напрямки головні, то вони спряжені відносно форми , тобто . Підставляючи у це рівняння , отримаємо, що в точці М має вигляд:

(3)

Припустимо, що напрямку відповідає головна кривина . Позначимо через кут між віссю Ох і довільним напрямком з точки М. Тоді цей напрямок однозначно визначається кутом . Позначимо через нормальну кривину у точці М у напрямку , який утворює з віссю Ох кут . Тоді з (2), (3) та означення нормальної кривини випливає:

(4)

Оскільки , то рівняння (4) приймає вигляд:

(5)

Оскільки головні напрямки відповідають кутам , то з (5) знаходимо значення головних кривин:

Звідси знаходимо значення коефіцієнтів . Підставляючи ці значення у (5) отримаємо формулу Ейлера:

Вона виражає значення нормальної кривини у довільному напрямку через головні кривини і кут , який утворює напрямок з першим головним напрямком.

Дериваційні формули.

Нехай – регулярна поверхня, – її вектор-функція. Тоді у кожній точці поверхні визначена також вектор-функція – одиничний вектор головної нормалі поверхні у її точці з координатами .

Дериваційні формули виражають похідні вектор-функцій через перші частинні похідні функції і функцію . Зафіксуємо точку М на поверхні . Оскільки поверхня регулярна, то у точці М не є паралельними. Крім того у цій точці (умови (1)). Звідси випливає, що не компланарні. Тому у кожній точці М поверхні існує система координат з початком в М і базисними векторами . Тоді похідні вектор-функцій у точці М можна лінійно виразити через вектори . Таким чином мають місце рівняння:

(2)

(3)

Рівняння (2), (3) називаються дериваційними формулами. Ці формули виражають похідні другого порядку функції та похідні функції , як лінійні комбінації векторів .

Причому рівняння (2), (3) виконуються у кожній точці поверхні з координатами . Коефіцієнти цих лінійних виразів називаються коефіцієнтами дериваційних формул. Зауважимо, що ці коефіцієнти також є функціями від .

Покажемо, що коефіцієнти дериваційних формул залежать тільки від коефіцієнтів . Причому коефіцієнти залежать тільки від . Оскільки завжди , то

(4)

Тоді помноживши скалярно обидві частини рівнянь (3) на вектор з урахуванням співвідношень (1), отримаємо:

.

Таким чином (3) приймає вигляд:

(3`)

Помножимо тепер скалярно обидві частини рівнянь (3`) спочатку на вектор , а потім на вектор :

Отримали систему лінійних рівнянь з невідомими , коефіцієнтами якої є коефіцієнти квадратичних форм. Тобто цю систему можна записати в вигляді:

(5)

Оскільки розв’язки системи (5) виражаються через коефіцієнти , то ці розв’язки, що е коефіцієнтами системи (3), залежать тільки від коефіцієнтів .

Помножимо скалярно рівняння системи (2) на вектор з урахуванням співвідношень (1), отримаємо:

Покажемо тепер, що коефіцієнти залежать тільки від коефіцієнтів . Розглянемо скалярні добутки:

(6)

Помножимо тепер скалярно рівняння (2) спочатку на вектор , а потім на вектор , враховуючи (6), маємо:

(7)

Отримали систему лінійних рівнянь (7) відносно невідомих , коефіцієнти якої виражаються через коефіцієнти та їх похідні. Тому систему (7) можна записати у вигляді:

(8)

Звідси, залежать тільки від коефіцієнтів та їх похідних.