Приклади розрахунків платежів по основних параметрах

У практичних розрахунках застосовують так звані дискретні відсотки, тобто відсотки, що нараховуються за фіксовані інтервали часу (рік, півріччя і т.п.). Інакше кажучи, час розглядається як дискретна змінна. В деяких випадках – у доказах і аналітичних фінансових розрахунках, пов'язаних з процесами, які можна розглядати як неперервні, у загальних теоретичних розробках і значно рідше на практиці – виникає необхідність у застосуванні неперервних відсотків (continuous interest), коли нарощування або дисконтування проводиться безперервно, за безкінечно малі проміжки часу.

У переважній кількості практичних випадків аналіз потоку платежів передбачає розрахунок однієї з двох узагальнюючих характеристик: нарощеної суми або сучасної вартості потоку. Нарощена сума (amount of cash flows) – сума всіх членів потоку платежів із нарахованими на них до кінця строку відсотками. Під сучасною вартістю потоку платежів (present value of cash flows) розуміють суму всіх його членів, дисконтованих на початок строку ренти або деякий попередній момент часу. (У старій російській фінансовій літературі аналогічний за змістом показник називали справжньою ціною платежів.)

Нарощена сума може становити собою загальну суму накопленої заборгованості до кінця терміну, кінцевий об'єм інвестицій, накоплений грошовий резерв і т. ін. У свою чергу, сучасна вартість характеризує зведені до початку здійснення проекту інвестиційні витрати, сумарний капіталізований дохід або чистий зведений прибуток від реалізації проекту тощо.

Як було показано вище, фінансова рента описується набором основних параметрів: R – член ренти, n – строк дії угоди, і – відсоткова ставка, та додатковими параметрами p, m. Однак, при розробленні контрактів і умов операції можуть виникнути випадки, коли задається одна з двох узагальнюючих характеристик: S – нарощена сума грошових потоків (сума в кінці строку), або A – сучасна вартість майбутніх потоків коштів, і необхідно розрахувати значення невідомого параметра.

Розглянемо загальну постановку задачі. Припустимо, є ряд платежів R_t, які сплачуються через час n_t після деякого початкового моменту. Загальний строк виплат – п років. Необхідно визначити нарощену на кінець строку потоку платежів суму. Якщо відсотки нараховуються раз на рік за складною ставкою і, то, позначивши величину, яку шукаємо, через S, одержимо:

.

 

Сучасну вартість такого потоку також знаходимо прямим рахунком як суму дисконтованих платежів:

,

де – дисконтний множник за ставкою і.

 

Також поширеною задачею є визначення розміру члена ренти. Якщо рента річна, постнумерандо, з щорічним нарахуванням відсотків, то

,

де – коефіцієнт нарощування ренти, який описується формулою

.

 

 

Нехай тепер умовами договору задано сучасну вартість ренти. Якщо рента річна (m =1), то випливає, що

,

де – коефіцієнт зведення ренти, який можна описати як

.

Приклад (1.1)

Відомо, що принц Чарльз при розлученні з Діаною сплатив останній 17 млн. ф. ст.. Як повідомляли, ця сума було визначена у розрахунку на те, що принцеса проживе ще 50 років (нажаль, це не збулось). Вказану суму можна розглядати як сучасну вартість постійної ренти. Визначимо розмір члена цієї ренти за умови, що відсоткова ставка дорівнює 10%, а виплати проводяться щомісячно. За умовами задачі, А = 17000 тис. ф. ст., n = 50, р = 12, і = 10%. Для ренти постнумерандо зі вказаними параметрами можна записати наступну рівність: Звідси щомісячна виплата складає тис. ф. ст.

 

Дещо іншого вигляду беруть вказані залежності, якщо розглядати «вічну ренту», під якою розуміють ряд платежів, кількість яких не обмежено – теоретично вона сплачується протягом нескінченної кількості років. На практиці іноді стикаються з випадками, коли є сенс удатися до такої абстракції, наприклад, якщо припущено, що строк потоку платежів дуже великий і конкретно не домовлений. Очевидно, що нарощена вартість вічної ренти дорівнює нескінченно великій величині.

На перший погляд видається нонсенсом і визначення сучасної вартості такої ренти. Однак сучасна вартість вічної ренти є кінцевою величиною.

При n →∞ лімітом для коефіцієнта зведення є величина

.

Звідси для вічної ренти сучасна вартість залежить тільки від розміру члена ренти і відсоткової ставки. З наведеної вище формули випливає:

 

.

Приклад (1.2)

Нехай необхідно викупити вічну ренту, член якої рівний 5 млн. грн., що сплачуються в кінці кожного півріччя. Капіталізована вартість такої ренти за умови, що для її визначення застосовано річну ставку 25%, складе: млн. грн..

 

При розробленні умов контракту іноді виникає необхідність у визначенні строку ренти і відповідно кількості членів ренти. Визначено такі формули для розрахунку строку постійних рент.

 

Таблиця 1 – Порядок розрахунку термінів постійних рент постнумерандо

Число платежів	Число нара-хувань	Вихідні матеріали
S	A
p =1	m=1
m>1
p >1	m=1
	m=p
m≠p

 

Приклад (1.3)

Який необхідний строк для накоплення 100 млн. грн., за умови, що щомісяця вноситься по 1 млн. грн., а на накопичення нараховуються відсотки за ставкою 25% річних?

Маємо р = 12, і = 25%. Отже:

роки..

В аналізі виробничих фінансових проектів іноді трапляються ренти, члени яких сплачуються з інтервалами, що перевищують рік. Визначимо нарощену суму і сучасну вартість таких рент.

Нехай r – часовий інтервал між двома членами ренти, відсотки нараховуються раз на рік. У цьому випадку сучасна вартість першого платежу становитиме на початок ренти величину Tv^r, другого – Tv^2r, останнього – Tv^п, де Т – величина члена ренти, п – строк ренти, кратний r. Послідовність дисконтованих платежів являє собою геометричну прогресію з першим членом Tv^r, знаменником v^r і кількістю членів п/р. Сума членів такої прогресії за умови, що Т = 1, дорівнює:

.

Звісно, зазначене у формулі співвідношення коефіцієнтів зведення і нарощення можна використовувати у випадках, коли r – ціла кількість років.