Исследование поведения функций и построение графиков

ü Возрастание и убывание функций

Теорема 15.5. 1) Если функция , имеющая производную на отрезке , возрастает (убывает) на этом отрезке, то ее производная на отрезке неотрицательна (неположительна), т.е. ().

2) Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в промежутке , причем ь () для , то эта функция возрастает (убывает) на .

Геометрический смысл этой теоремы в том, что касательные к графику дифференцируемой возрастающей функции образуют острые углы, а убывающей функции – тупые углы с положительным направление оси .

ü Максимум и минимум функций.

§ Функция в точке имеет максимум, если значение функции в точке больше, чем ее значения во всех точках некоторой окрестности точки .Иначе говоря, функция имеет максимум при , если , при любых .

· Функция имеет минимум при , если , при любых .

· Максимумы и минимумы функции называются экстремумами.

Теорема 15.6 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция имеет в точке экстремум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т.е. .

· Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими.

 

Теорема 15.7 (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при функция имеет максимум. Если же при переходе через точку функция меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

 

ü Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

§ Говорят, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Говорят, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. Кривую, обращенную выпуклостью вверх будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз – вогнутой.

Теорема 15.8. 1) Если во всех точках интервала , то кривая на этом интервале выпукла.

2) Если во всех точках интервала , то кривая на этом интервале вогнута.

§ Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

В точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны над нею.

Теорема 15.9. Пусть кривая определяется уравнением . Если или не существует и при переходе через значение вторая производная меняет знак, то точка с абсциссой является точкой перегиба.

ü Асимптоты

§ Прямая l называется асимптотой кривой, если расстояние d от точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Различают два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

- Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если .

- Уравнение наклонной асимптоты , где , а .

- В частности, если , то – уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание. Асимптоты графика функции при и могут быть разными, поэтому при вычислении пределов следует отдельно рассматривать случаи и .

 

Общее исследование функции и построение ее графика рекомендуется выполнять по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. В случае если область определения функции симметрична относительно начала координат, проверить, не является ли функция четной или нечетной, проверить периодичность функции.

3. Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти промежутки знакопостоянства функции (промежутки на которых или ); выяснить поведение функции на концах промежутка знакопостоянства (в том числе и на бесконечности), построить схематично график на концах промежутка знакопостоянства.

5. Найти асимптоты графика функции.

6. Найти промежутки монотонности функции, ее экстремумы.

7. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, его точки перегиба.

8. Построить график, используя полученные результаты исследования.

Заметим, что приведенная схема исследования не является обязательной. Иногда целесообразно выполнение операций сопровождать постепенным построением графика функции и выбирать дополнительные точки.

Пример.

Исследовать функцию .

1. Данная функция определена при всех , т.е. .

2. Þ данная функция является функцией общего вида.

3. Если .Таким образом график функции пересекает ось в точке . Если . График пересекает ось в точках и .

4. Интервалы знакопостоянства:

	–		–		+

5. Вертикальных асимптот нет, поскольку функция непрерывна на всей области определения. Выясним наличие наклонной асимптоты :

, . Таким образом, наклонных асимптот нет.

6. Найдем промежутки монотонности функции.

.

	х			(0;1)
	+		–		+
у				-1

Таким образом , .

7. Найдем промежутки выпуклости и вогнутости графика функции. . Вторая производная положительна (кривая вогнута) при всех , кроме .

	+		+
	È		È

8.