Оценка достоверности средней разности

 

Часто оценка различий между средними производится для выборок, в которых отдельные значения признака попарно связаны друг с другом. Например, повторности полевого опыта, продуктивность животных и их потомства, произво­дительность труда в производственных коллективах до внед­рения новой системы оплаты труда и после ее внедрения и т. п. Такие выборки называют зависимыми.

В отличие от независимых выборок в зависимых произ­водят оценку достоверности не разности средних величин, а средней разности признаков. Для этого находят разности между попарно связанными величинами выборок d, которые образуют новую выборочную статистическую совокупность.

Относительно полученной совокупности выдвигают гипо­тезу, что средняя разность между величинами выборок рав­на 0, то есть различия между выборками носят случайный характер.

В этом случае фактическое нормированное отклонение оп­ределяют как отношение средней разности признаков к сред­ней ошибке разности средних:

,

где - средняя разность;

- средняя ошибка средней разности.

Табличное нормированное отклонение определяют исходя из принятого уровня значимости и числа степеней свободы вариации .

Предельную ошибку средней разности определяют по формуле:

.

Нулевая гипотеза будет опровергнута, если фактическое значение нормированного отклонения будет выше табличного, и наоборот, если ниже, то гипотеза принимается. К тем же выводам приходят при сравнении средней разности и пре­дельной ошибки средней разности.

Рассмотрим методику оценки достоверности средней раз­ности.

Пример. Было определено содержание жира в молоке ко­ров и их матерей (табл. 5.3).

 

Т а б л и ц а 5.3

Содержание жира в молоке

№ пар	Содержание жира в молоке	Разности	Квадраты разностей
коров-дочерей	коров-матерей
	3,4 3,8 3,4 3,7 3,7 3,7 3,3 3,5 4,0 4,3	3,2 3,5 3,6 3,6 3,4 3,3 3,2 3,4 4,1 3,7	0,2 0,3 -0,2 0,1 0,3 0,4 0,1 0,1 -0,1 0,6	0,04 0,09 0,04 0,01 0,09 0,16 0,01 0,01 0,01 0,36
Итого

 

Требуется определить существенность различий между со­держанием жира в молоке коров и их матерей при уровне вероятности суждения 0,99.

Так как содержание жира в молоке дочерей и матерей зависимы между собой, то оценке подвергается средняя раз­ность.

Среднее содержание жира в молоке:

коров-дочерей:

%;

коров-матерей:

%.

Средняя разность:

%.

Проверим гипотезу о существенности средней разности содержания жира в молоке коров-дочерей и коров-матерей.

Дисперсия средней разности:

.

Отсюда средняя ошибка средней разности:

%.

Фактическое значение нормированного отклонения:

.

Табличное нормированное отклонение при уровне значи­мости 0,01 и степенях свободы вариации в соответствии с данными таблицы значений t -критерия Стьюдента составляет 3,2498.

Фактическое значение нормированного отклонения t_факт = 2,42 меньше табличного t_табл = 3,2498, следовательно, гипо­теза о существенности средней разности содержания жира в молоке коров-дочерей и коров-матерей не подтверждается. Различия носят случайный характер. Можно с вероятностью 0,99 утверждать, что содержание жира в молоке коров-доче­рей зависит от содержания жира в молоке коров-матерей.

Это подтверждает и предельная ошибка средней разности, которая равна:

%.

Фактическая средняя разность меньше предель­ной ошибки , то есть находится внутри границ слу­чайных колебаний.

Технология решения задачи втабличном процессоре Microsoft Excel следующая.

1. Введите исходные данные в соответствии с рис. 5.5.

 

Р и с. 5.5

 

2. Рассчитайте фактическое и табличное значения нормированного отклонения.

2.1. Выполните команду Сервис, Анализ данных, щелкнув поочередно левой кнопкой мыши.

2.2. В диалоговом окне Анализ данных с помощью левой кнопки мыши установите: Инструменты анализа ® <Парный двухвыборочный t-тест для средних > (рис. 5.6).

 

Р и с. 5.6

 

2.3. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

2.4. На вкладке Парный двухвыборочный t-тест для средних установите параметры в соответствии с рис. 5.7.

 

Р и с. 5.7

 

2.5. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

Результаты решения выводятся на экран дисплея в следующем виде (рис. 5.8).

 

Р и с. 5.8

 

Пояснения к названию отдельных показателей на рис. 5.8 приведены в табл. 5.2.

 

3. Критерий c ² как критерий согласия

 

Критерий c ² как критерий согласия используют при про­верке принадлежности эмпирического распределения к тео­ретическому, например, к нормальному, биноминальному, распределению Пуассона и т. п.

В этом случае значение критерия c ² определяют, исходя из частот (f) эмпирического распределения и частот (f_o) теоретического распределения:

.

При этом возможны случаи, когда теоретические частоты заранее известны и когда неизвестны. Во втором случае тео­ретические частоты определяют на основе теоретического распределения исходя из численности выборки.

При проверке гипотезы о соответствии эмпирического рас­пределения теоретическому сравнивают фактическое значе­ние критерия с табличным . Если меньше , следовательно, эмпирическое распределение соответст­вует теоретическому. В противном случае эмпирическое рас­пределение не соответствует теоретическому, распределение частот в нем носит другой характер.

Рассмотрим методику применения критерия c ² как крите­рия согласия.

Пример 1. В результате учета яйценоскости 50 кур-несушек, содер­жащихся на птицеферме, был построен интервальный вариационный ряд (табл. 5.4). Средняя арифметическая ряда равна 228,8, а выборочное среднее квадратическое отклонение – 7,95.

Т а б л и ц а 5.4

Распределение поголовья

№ п/п	Группа кур-несушек по величине яйценоскости	Фактическое распределение поголовья (эмпирические частоты)	Середина интервала	Нормированное отклонение	Плотность нормального распределения	Теоретическое распределение поголовья (теоретические частоты)	Взвешенные квадраты разностей
x min	x max	f
				214,5	-1,8214	0,0096	2,39	2,86
				219,5	-1,1924	0,0246	6,16	0,11
				224,5	-0,5635	0,0428	10,70	0,27
				229,5	0,0654	0,0501	12,52	0,18
				234,5	0,6943	0,0394	9,86	1,51
				239,5	1,3233	0,0209	5,23	1,47
				244,5	1,9522	0,0075	1,87	0,40
Итого		х	х	х	48,72	c ^2 = 6,80

Требуется установить соответствие данного распределения нормальному с уровнем вероятности 0,95.

Проверка гипотезы о соответствии теоретическому распределению предполагает расчет теоретических частот этого распределения.

Для нормального распределения порядок расчета этих частот следующий:

1) по эмпирическим данным рассчитывают среднюю арифметическую ряда и среднее квадратическое отклонение s;

2) находят нормированное отклонение t каждого эмпирического значения от средней арифметической:

;

3) по формуле или с помощью таблиц интеграла вероятностей Лапласа находят значение плотности нормального распределения φ (t):

,

где s – выборочное среднее квадратическое отклонение;

π = 3,141593 – постоянное число (отношение длины окружности к ее диаметру);

e = 2,718282 – основание натурального логарифма;

4) вычисляют теоретические частоты f₀ по формуле:

,

где n − число вариант (сумма частот);

h – величина интервала.

Фактическое значение критерия равно 6,8. Табличное значение критерия при заданном уровне значимости и сте­пенях свободы вариации равно 12,592 (таблица «Значение χ ² при уровне значимости 0,10, 0,05 и 0,01»).

Поскольку фактическое значение критерия меньше таб­личного, то нулевая гипотеза о соответствии эмпирического распределения теоретическому принимается. Распределение яйценоскости кур-несушек соответствует нормальному распределению.

Технология решения задачи втабличном процессоре Microsoft Excel следующая.

1. Введите исходные данные в соответствии с рис. 5.9.

 

Р и с. 5.9

 

2. Рассчитайте плотность нормального распределения поголовья.

2.1. Выделите ячейку F3.

2.2. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на кнопке <Вставка функции> или выполните команду Вставка, f_x Функция, щелкнув поочередно левой кнопкой мыши.

2.3. В диалоговом окне Мастер функций - шаг 1 из 2 с помощью левой кнопки мыши установите: Категория ® <Статистические>, Выберете функцию ® <НОРМРАСП> (рис. 5.10).

 

Р и с. 5.10

 

2.4. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

2.5. На вкладке НОРМРАСП установите параметры в соответствии с рис. 5.11.

 

Р и с. 5.11

 

2.6. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

2.7. Скопируйте ячейку F3 в ячейки F4:F9.

3. Рассчитайте теоретическое распределение поголовья.

3.1. Введите в ячейку G3 формулу =$D$10*(C3-B3)*F3.

3.2. Скопируйте ячейку G3 в ячейки G4:G9.

3.3. Выделите ячейку G10.

3.4. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на букве S кнопки <Автосумма > .

3.5. Выделите ячейки G3:G9.

3.6. Нажмите клавишу <Enter>.

4. Рассчитайте степени свободы вариации. Введите в ячейку Е15 формулу =(2-1)*(A9-1).

5. Рассчитайте фактический уровень значимости.

5.1. Выделите ячейку Е16.

5.2. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на кнопке <Вставка функции> или выполните команду Вставка, f_x Функция, щелкнув поочередно левой кнопкой мыши.

5.3. В диалоговом окне Мастер функций - шаг 1 из 2 с помощью левой кнопки мыши установите: Категория ® <Статистические>, Выберете функцию ® <ХИ2ТЕСТ> (рис. 5.12).

 

Р и с. 5.12

 

5.4. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

5.5. На вкладке ХИ2ТЕСТ установите параметры в соответствии с рис. 5.13.

 

Р и с. 5.13

 

5.6. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

6. Рассчитайте фактическое значение критерия .

6.1. Выделите ячейку Е17.

6.2. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на кнопке <Вставка функции> или выполните команду Вставка, f_x Функция, щелкнув поочередно левой кнопкой мыши.

6.3. В диалоговом окне Мастер функций - шаг 1 из 2 с помощью левой кнопки мыши установите: Категория ® <Статистические>, Выберете функцию ® <ХИ2ОБР> (рис. 5.14).

 

Р и с. 5.14

 

6.4. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

6.5. На вкладке ХИ2ОБР установите параметры в соответствии с рис. 5.15.

 

Р и с. 5.15

6.6. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

7. Определите табличное значение критерия , используя статистическую функцию ХИ2ОБР. Для этого вставьте в ячейку Е18 функцию =ХИ2ОБР(E14;E15). Порядок вставки изложен в пункте 6.

Результаты решения выводятся на экран дисплея в следующем виде (рис. 5.16).

 

Р и с. 5.16

 

8. Постройте полигон фактического и теоретического распределения поголовья по яйценоскости.

8.1. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на кнопке <Мастер диаграмм > .

8.2. В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4) с помощью левой кнопки мыши установите: Стандартные ® <График> (рис. 5.16).

 

Р и с. 5.16

 

8.3. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <Далее>.

8.4. В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4) установите параметры в соответствии с рис. 5.17.

 

Р и с. 5.17

 

8.5. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <Далее>.

8.6. В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 3 из 4) введите названия диаграммы и ос Y (рис. 5.18).

 

Р и с. 5.18

 

8.7. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <Далее>.

8.8. В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 4 из 4) установите параметры в соответствии с рис. 5.19.

Р и с. 5.19

 

8.9. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <Готово>.

Результаты выводятся на экран дисплея в следующем виде (рис. 5.20).

 

Р и с. 5.20

 

9. Вставьте на графике подписи данных.

9.1. Щелкните правой кнопкой мыши на диаграмме и на появившейся вкладке нажмите кнопку <Исходные данные>.

9.2. В диалоговом окне Исходные данные измените подписи оси Х. Для этого выделите ячейки Е64:Е70 (рис. 5.21).

 

Р и с. 5.21

 

9.3. Нажмите клавишу <Enter>.

Результаты выводятся на экран дисплея в следующем виде (рис. 5.22).

 

Р и с. 5.22

 

Пример 2. При скрещивании черных комолых быков с красными рогатыми коровами во втором поколении было получено 97 черных комолых, 25 черных рогатых, 26 красных комолых и 12 красных рогатых потомков. Необходимо уста­новить соответствие данного расщепления расщеплению по закону Менделя 9: 3: 3: 1 с уровнем вероятности 0,99.

Теоретическое расщепление определим в со­ответствии с соотношением 9: 3: 3: 1 и общим поголовьем потомков в выборочной совокупности (табл. 5.5).

Т а б л и ц а 5.5

Распределение поголовья

Вид потомка	Фактическое распределение поголовья	Теоретическое распределение (9: 3: 3: 1)	Взвешенные квадраты разностей
расщепление	поголовье, гол.
f
Черный комолый Черный рогатый Красный комолый Красный рогатый		9/16 3/16 3/16 1/16		0,5444 0,8333 0,8333 0,4000
Итого		16/16		c ^2 = 2,3111

 

Фактическое значение критерия равно 2,3111. Табличное значение критерия при заданном уровне значимости и сте­пенях свободы вариации равно 11,344 (таблица «Значение χ ² при уровне значимости 0,10, 0,05 и 0,01»).

Поскольку фактическое значение критерия меньше таб­личного, то нулевая гипотеза о соответствии эмпирического распределения теоретическому принимается. Расщепление соответствует закону Менделя.

Технология решения задачи втабличном процессоре Microsoft Excel следующая.

1. Введите исходные данные в соответствии с рис. 5.23.

Р и с. 5.23

 

2. Рассчитайте общее поголовье и их теоретическое распределение.

2.1. Выделите ячейку В7.

2.2. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на букве S кнопки <Автосумма > .

2.3. Выделите ячейки В3:В6.

2.4. Нажмите клавишу <Enter>.

2.5. Скопируйте ячейку В7 в ячейки С7:D7.

2.6. Введите в ячейку D3 формулу =$B$7*C3/$C$7.

2.7. Скопируйте ячейку D3 в ячейки D4:D6.

3. Рассчитайте степени свободы вариации. Введите в ячейку D11 формулу =(2-1)*(4-1).

4. Рассчитайте фактический уровень значимости.

4.1. Выделите ячейку D12.

4.2. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на кнопке <Вставка функции> или выполните команду Вставка, f_x Функция, щелкнув поочередно левой кнопкой мыши.

4.3. В диалоговом окне Мастер функций - шаг 1 из 2 с помощью левой кнопки мыши установите: Категория ® <Статистические>, Выберете функцию ® <ХИ2ТЕСТ> (рис. 5.24).

 

Р и с. 5.24

 

4.4. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

4.5. На вкладке ХИ2ТЕСТ установите параметры в соответствии с рис. 5.25.

 

Р и с. 5.25

 

4.6. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

5. Рассчитайте фактическое значение критерия .

5.1. Выделите ячейку D13.

5.2. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на кнопке <Вставка функции> или выполните команду Вставка, f_x Функция, щелкнув поочередно левой кнопкой мыши.

5.3. В диалоговом окне Мастер функций - шаг 1 из 2 с помощью левой кнопки мыши установите: Категория ® <Статистические>, Выберете функцию ® <ХИ2ОБР> (рис. 5.26).

 

Р и с. 5.26

 

5.4. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

5.5. На вкладке ХИ2ОБР установите параметры в соответствии с рис. 5.27.

 

Р и с. 5.27

5.6. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

6. Определите табличное значение критерия , используя статистическую функцию ХИ2ОБР. Для этого вставьте в ячейку D11 функцию =ХИ2ОБР(D10;D11). Порядок вставки изложен в пункте 5.

Результаты решения выводятся на экран дисплея в следующем виде (рис. 5.28).

 

Р и с. 5.28

4. Критерий c ² как критерий независимости

 

Критерий c ² как критерий независимости используют в тех случаях, когда теоретическое распределение неизвестно, и требуется проверить гипотезу о независимости двух выбо­рок, представленных распределением численностей. Напри­мер, при сравнении данных полевого опыта.

В этом случае теоретические численности по группам оп­ределяют на основе общего процента распределения числен­ности по подгруппам, который распространяется на группы:

,

где − теоретические частоты;

− фактические частоты;

n − число вариант (сумма частот);

i − номер группы;

k − число групп;

j − номер подгруппы;

l − число подгрупп.

Критерий рассчитывают на основе полученных тео­ретических и фактических частот. Если фактическое значение критерия выше табличного, гипотеза о независимости рас­сматриваемых признаков отвергается, то есть различия меж­ду ними носят систематический, неслучайный характер. Если фактическое значение критерия ниже табличного, гипотеза о независимости признаков принимается, различия между ни­ми носят случайный характер

Рассмотрим методику применения критерия c ² как крите­рия независимости.

Пример. В стаде, состоящем из 170 коров, был высокий процент абортов. Для проверки препаратов против абортирования поставлен опыт на 50 коровах, остальные 120 коров были контрольными. Распределение численности коров пред­ставлено в табл. 5.6.

Т а б л и ц а 5.6