Электрические цепи с катушками взаимной индуктивности

 

Задача 35. Катушки расположены на магнитном сердечнике, как показано на рис. 10.37. Активные сопротивления катушек равны 20 Ом, 10 Ом, индуктивности 20 мГн, 30 мГн. Абсолютные величины взаимных индуктивностей равны 20 мГн, 15 мГн. Первая и вторая катушки соединены параллельно и подключены к источнику синусоидального напряжения 100 В с круговой частотой 1000 1/с. Определить показания приборов (рис. 10.37), считая их идеальными. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Рис. 10.37

 

Решение. Разметим однополярные зажимы катушек, как показано на рис. 10.37, и выберем направления токов в них. Пусть токи направлены одинаковым образом относительно однополярных зажимов (каждый ток направлен от помеченного зажима катушки внутрь этой катушки). Такой выбор направлений токов удобен для определения знаков взаимных индуктивностей. По правилу правого винта определим направления магнитных потоков в сердечниках (рис. 10.37). Потоки и направлены одинаковым образом (по часовой стрелке) вдоль замкнутого контура, проходящего через первый и второй сердечники, поэтому взаимная индуктивность положительна ( =20 мГн). Потоки и направлены одинаковым образом вдоль контура, проходящего через первый и третий сердечники, значит, 15 мГн. Наконец, потоки и направлены навстречу друг другу вдоль контура, проходящего через второй и третий сердечники, поэтому, -20 мГн.

Составим систему уравнений Кирхгофа, в которую войдут токи трех катушек, ток источника и напряжение на зажимах вольтметра, подключенного к третьей катушке:

,

,

,

.

Так как токи направлены одинаковым образом относительно однополярных зажимов, какую бы пару катушек мы ни рассматривали, то напряжения взаимной индуктивности входят в уравнения с теми же знаками, что и напряжения самоиндукции катушек (с плюсами).

Так как сопротивление идеального вольтметра бесконечно велико, то ток в третьей катушке равен нулю ( =0). Система уравнений Кирхгофа упрощается:

,

,

,

.

После подстановки численных значений параметров получаем систему уравнений

, (10.5)

, (10.6)

, (10.7)

. (10.8)

В последнем уравнении учтено, что взаимная индуктивность отрицательна.

Решив уравнения (10.6) и (10.7) совместно, находим

А, А.

Правильность решения проверяется подстановкой этих значений токов в уравнения.

По уравнению (10.5) находим комплексный ток источника

А,

показание амперметра

А.

По уравнению (10.8) находим комплексное напряжение на третьей катушке

В,

показание вольтметра

В.

Для построения векторной диаграммы найдем составляющие напряжения на первой катушке

В,

В,

В,

составляющие напряжения на второй катушке

В,

В,

В,

составляющие напряжения на третьей катушке

В,

В.

Векторная диаграмма токов и напряжений показана на рис. 10.38 (масштаб токов 0,5 А на клетку, масштаб напряжений 10 В на клетку). Векторы и в выбранных масштабах совпадают. Напряжения складываются по правилу многоугольника, токи - по правилу параллелограмма.

Рис. 10.38

Дополнительные упражнения.

1. Вычислите входные сопротивления (полное и комплексное) двухполюсника, состоящего из двух параллельно включенных катушек взаимной индуктивности (рис. 10.37). Попробуйте определить, увеличится или уменьшится полное сопротивление двухполюсника, если устранить взаимную индуктивность между катушками, сохранив их активные и индуктивные сопротивления. Вычислите полное сопротивление двухполюсника при отсутствии взаимной индуктивности между катушками, проверьте правильность своего ответа на предыдущий вопрос.

2. Изменяя разметку однополярных зажимов катушек на рис. 10.37 попробуйте добиться того, что , и стали положительными величинами. Можно ли сделать все эти величины отрицательными?

 

Задача 36. Катушки расположены на магнитном сердечнике, как показано на рис. 10.39. Активными сопротивлениями катушек можно пренебречь. Индуктивности катушек одинаковы и равны 20 мГн, абсолютная величина взаимной индуктивности любой пары катушек равна 10 мГн. Действующее значение приложенного синусоидального напряжения 100 В, его круговая частота 1000 1/с. Определить показания приборов. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Рис. 10.39

 

Задача 37. Известны параметры электрической цепи (рис. 10.40) 10 Ом, 5 Ом, 3 Ом. Амперметр показывает ток 1 А. Определить показания вольтметров.

Рис. 10.40

 

Задача 38. Известны параметры электрической цепи (рис. 10.41) 30 Ом, 40 Ом, 90 Ом, 30 Ом. Действующее значение приложенного синусоидального напряжения равно 60 В. Определить показания амперметров. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Рис. 10.41