Понятие о случайном процессе и его марковости

] - вещественное число: .

] - случайная величина при фиксированном . Если меняется, то - случайный процесс – семейство случайных величин, зависящих от . Случайный процесс считается заданным (известным), если для конечной группы значений : , ; известен закон распределения вектора .

В ТМО - состояние СМО.

: 0, 1, 2,… ,… ;

- дискретный случайный процесс . . ; - целые, неотрицательные,

Возьмем ; ;

; ; ; ; за

- марковский (без последействия), если не зависит от состояний, в которых был процесс до . ;

 

Понятие о процессах гибели и размножения (ПГР). Стационарное решение и его интерпретация.

ОПР: : 0, 1, 2,… ,… ;

- произвольный момент времени;

; .

за

а) с вероятностью

б) с вероятностью

в) с вероятностью

Если для случайного процесса выполняются эти условия, он называется ПГР.

- параметры процесса, не зависящие от прошлых состояний системы.

Вероятность перехода за равна , если

В биологии: состояние - численность популяции.

для ПГР. Если - это процесс размножения (ПР).

Если , то . Если либо (для случая ) – это процесс гибели (ПГ).

 

Постановка задачи Эрланга для ПГР

Нахождение семейства функций .

Семейства :

1. Неотрицательность: (; )
2. Вся совокупность этих функций удовлетворяет нормировочному условию:

Если , - взрыв невозможен.

]

, , - начальные вероятности.

зависит от .

; :

1. , ; при некоторых условиях.
2. не зависят от .

Нахождение - задача Эрланга в предельной форме – задача нахождения стационарного решения.

Свойства :

1. 
2. 

Замечание: если ,

] правое слагаемое меньше , если

. . Тогда

 

Интерпретация :

- вероятность -го состояния (ровно вызовов в системе). . .

]

 

- время пребывания СМО в состоянии

- среднее относительное время пребывания СМО в состоянии .

Теорема (эргодическая):

, то есть

- среднее относительное время пребывания процесса в состоянии . Если – большое, то - средняя длина промежутка времени, в течение которого в системе было ровно вызовов.

 

Задание потока вызовов

Способ 1: Поток вызовов как случайный процесс. . - число вызовов, поступивших в промежутке .

Если меняется, то - семейство случайных величин, зависящих от - случайный процесс.

Свойства :

1. Дискретность:
2. Монотонность реализации: количество вызовов не уменьшается с течением времени.

Необходимо знать функцию распределения вектора

; ; ;

, где - произвольный набор целых неотрицательных чисел.

;

Способ 2: - начальный момент потока.

- момент поступления -го вызова

Свойства :

1. - непрерывная случайная величина
2. 
3. . Возможно групповое поступление вызовов.

] ; . - длина промежутка времени между и .

Свойства :

1. - непрерывная случайная величина.

2.

ОПР: Поток вызовов – последовательность моментов их поступления. , образуется с помощью случайной величины .

Поток задан, если известна

 

Простейший поток вызовов

. Первое определение простейшего потока: поток вызовов простейший, если:

1. – марковский.
2. Вероятность поступления ровно вызовов в промежутке времени длиной не зависит от начального момента этого промежутка (условие стационарности).
3. ; (1)

, - параметр простейшего потока.

- кривая Пуассона -го порядка.

Графики

,

,

,

 

1. Два простейших потока могут отличаться друг от друга только значением параметра.
2. 
3. 

Академик Хинчин: простейшим является любой поток, который складывается из достаточно большого числа независимых источников вызовов.

Простейший поток есть ПГР: , :

, где

с вероятностью 0.

с вероятностью , где

 

Примеры простейших потоков:

1. Поток вызовов на АТС.
2. Поток судов, прибывающих в данный порт.
3. Поток поломок (скажем, телевизоров).

аргумент - площадь.

аргумент - объем.

ОПР: – интенсивность данного стационарного потока – среднее число вызовов, поступающих за промежуток единичной длины . Среднее число вызовов в промежутке пропорционально длине этого промежутка, причем является коэффициентом пропорциональности.

; ;

Для простейшего потока .

Расчёт (или ) на практике.

Пусть существует 100 промежутков единичной длины.

- фактическое число вызовов.

Рассмотрим второе определение: поток вызовов называется простейшим, если для него выполняется следующее:

1. – марковский
2. - независимые случайные величины
3. Все распределены по одному и тому же закону, P для .

Определения эквивалентны.

 

Замечание: . вызовов