Поставим экстремальную задачу.

Пусть издержки управления запасами товаров в магазине состоят из:

а) Издержек хранения запасов товара в магазине.

б) Издержек вследствие дефицита.

Пусть - издержки хранения единицы товара в промежутке времени единичной длины.

Пусть - издержки вследствие дефицита в единицу времени.

- общее количество вызовов.

- издержки хранения, - издержки дефицита, - доля дефицита.

- коэффициент пропорциональности. - среднее число вызовов в СМО.

; .

 

; . (**)

Так как (должно быть, чтобы сходилаь сумма геометрической прогрессии) выбираем при знаке «-» в (**)

, .

Замечание: Функционирование стоянки такси. Поток: 1. Пассажиров. 2. Автомашин. Входящий поток – поток автомашин. - оптимальная интенсивность прибытия автомашин.

 

ТЕМА 4. СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕДЬЮ

Модель, ПГР, стационарное решение и распределение времени ожидания для систем с ограниченной очередью

I. Модель. Исходные данные те же самые

Входящий поток – простейший с параметром . - количество линий, - максимально допустимый размер очереди.

Если в момент поступления вызова существует свободная линия – вызов приступает к разговору. Если все линии заняты, то

а) вызов остается в СМО, если длина очереди ;

б) вызов получает отказ, если длина очереди .

Пример – система с ограниченным числом мест ожидания (зал ожидания).

Система с ограниченной очередью (СОЧ) относится к классу смешанных СМО (есть и время обслуживания, и время ожидания)

Состояние СМО.

Всего состояний.

означает, что:

а) - линий заняты ( вызовов на обслуживании), свободны.

б) - заняты все линий ( вызовов на обслуживании) и имеется очередь .

 

II. ПГР.

Утверждение: в случае СОЧ случайный процесс является марковским ПГР с параметрами ;

Доказательство: ◄ То же, что и для СОЖ.

1. – марковский по Теореме (входящий поток простейший, а время обслуживания распределено по показательному закону).
2. – ПГР

а)

б)

в)

III. Стационарное решение: - такие же, что и для СОЖ выражение через таково:

(**)

- другое. -?

 

Ряд конечен и нет проблем со сходимостью { - первый член прогрессии, - знаменатель. } Конечная геометрическая прогрессия, подставляя в (**), получаем . ( – число слагаемых).

 

IV. Распределение времени ожидания.

 

Сохраняем обозначения и рассуждаем в случае СОЖ получим: ; для есть свободная линия и для

причем - поток освобождений (простейший).

так как – сумма геометрической прогрессии.

При этом - длина очереди освобождений линий.

Показатели эффективности СОЧ

1. Вероятность отказа

. Вероятность того, что вызов будет обслужен - коэффициент обслуживания (средняя доля обслуженных).

2 исхода Потоки отказов и обслуженных вызовов являются простейшими с параметрами и соответственно (из свойства расщепления простейшего потока).

 

Среднее число занятых линий.

- число занятых линий.

Состояния СО: 0, 1, …

: 0, 1, …

Вероятности: , , … ,

. При - СОТ ; ; Замечание: .

а) = [интенсивность обслуженных вызовов ]:[интенсивность обслуживания на любой линии ].

б) = [среднее число обслуженных за единицу времени] = [среднее число обслуженных вызовов за ]

1. 

Способ 1: (используя стационарное решение - )

Способ 2: (используя функцию распределения)

;

.

Замечания:

а) - СОТ.

б) ; для СОЖ.

1. Вероятность полной загрузки (вероятность того, что заняты все линии).

Пусть - полная загрузка. геометрическая прогрессия .

Смежный показатель – вероятность того, что существует свободная линия (вероятность немедленного обслуживания).

 

1. Среднее время ожидания обслуживания.

 

- не надо в соответствии с площадью под кривой Пуассона

Среднее время пребывания вызова в СМО

 

7. Средняя длина очереди:

, поскольку

 

Среднее число вызовов в СО

§3. Оптимальное число линий в СОЧ (на примере расчета оптимального размера максимального запаса товара при задалживании спроса)

СМО – магазин.

Входящий поток – поток покупателей.

Допущения и исходные данные:

1. Поток покупателей – простейший с параметром :

; ; .

2. В одни руки отпускается только одна единица товара (спрос Пуассоновский). .

3. Как только происходит продажа товара, сразу же происходит заказ на ее замену другой единицей. Следовательно, число, равное сумме размера запаса товара и количества поданных заявок, является константой на любой момент времени.

4. - время выполнения заказа на пополнение запаса. Распределено по показательному закону - .

5. При отсутствии товара в магазине спрос задалживается, но не более чем для покупателей.

6. Пусть - доход от продажи единицы товара за вычетом издержек выполнения заказа на его доставку.

7. - среднее время выполнения заказа. Пусть - издержки хранения единицы товара за времени. Пусть - средняя прибыль магазина за . . - либо максимальный размер запаса товара в магазине, либо максимальное число поданных заявок.

Для решения можно воспользоваться моделью СОЧ.

Линия – ячейка. - количество линий.

Линия занята/свободна ~ ячейка пуста/заполнена. Обслуживание – выполнение заказа на заполнение пустой ячейки. Время обслуживания распределено показательно.

Состояние СО -

- количество поданных заказов.

Если , то:

а) при - подано «» заявок. Следовательно, размер запаса товара равен .

б) при - подано «» заявок и имеется очередь из покупателей.

- средняя прибыль за ; - средний доход за ; - средние издержки за .

, где - доходы; - издержки.

а) Доходы приносят реализованные единицы товара. Среднее число реализованных единиц товара за - .

б) Издержки . Тогда

Практические приложения

I. Срочная доставка грузов

СМО – АТК, принимающая заказы на доставку грузов.

Обслуживание – доставка груза. Так как доставка должна быть срочной, объем заявок ограничен величиной .

- количество автомашин в гараже.

Поток заявок – простейший с параметром .

- показательно распределенная случайная величина с параметром .

Числовые данные: а/м; .

Пусть .

1. Найти вероятность того, что все машины находятся в гараже. .

. Пусть .

2. Найти вероятность того, что в СМО подано ровно заявок.

3. Вероятность того, что все линии заняты.

. Пусть .

4. Средняя длина очереди заявок

. Пусть .