Сис-мы однородных линейных урав-й.

Однородная сис-а лин ур в матричн форме имеет вид A*X=0, где A- основ-я матрица сис-ы (x₁,…,x_n)^T?R. Однород сист всегда совместна. Теорем: для того чтоб однородая сис-а имела не нулевое решена надо, чтобы rangA<n, где n-число её столбцов или неизвестных. Следствие: 1)чтобы однородная система n*n имела не нулевое решение надо, чтобы определитель матрицы |A|=0, т.е. когда r(A)<n. 2)чтобы однородная система n*n имела одно ненулевое решение, надо, чтобы r(a)=n или |A| не=0; Теорема: множество решений однородной системы образует подпространство лин пространства Rⁿ, размерность которого =(n-r(A)). Пусть r(A)<n. Если число решений = размерности пространства решений, то их можно брать в качестве базиса этого пространства. Совокупность (n-r) лин нез решений однород системы наз фундаментальной системой решений. => всякий вектор решения X есть лин комбинация векторов E обознач X =Сумма от 1 до n-1 CiEi, где Ci- постоянная, а Ei –лин независ сист реш. (1) Решение X (1) наз общим решением лин однор систем a*x=0.

9.1 Ранг матрицы. Теорема об инвариантности ранга матрицы.

Ранг матрицы

Рангом матрицы А наз наивысший из порядков миноров этой матрицы не равных нулю.А=(аij)=(a11 a12 … a1n; a21 a22 … a2n; …; am1 am2 … amn) m*x Возьмем и выделим какой-нибудь минор порядка А (а11 а12; а21 а22). Если этот минор не равен нулю то его строки(столбцы) линейно независимы, тогда первые 2-е строки этой матрицы линейно независ. Ранг матрицы А будет не меньше 2-х. При нахождении ранга матрицы пользуются методом окомляющих миноров. Этот метод состоит в том что минор второго порядка окомляют одной строкой и одним столбцом, т.е строят минор 3-го порядка. Если же миноры 3-его порядка окомляющие данный минор 2-го порядка равны нулю, то матрица А не содержит миноров порядка большего 2-х, не равных нулю и ее ранг равен 2-м.Если же есть хотя бы один минор 3-го порядка который не равен нулю, то ранг матрицы не менее 3-х и процедуру окомления 3-порядка продолжают, в итоге будет найден минор 4-го порядка не равный нулю. Для которого все окомляющие миноры n+1-го порядка равны нулю. Тогда ранг матрицы А равен n. Разность матрицы обозн. R(A). Замечания: 1)Ранг нулевой матрицы равен нулю; 2)ранг матрицы равен max числу его линейно независимых строк.

Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение А~В для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если А~В, то их ранги равны.

7.1Системы линейных уравнений. Основные определения. Матричная запись

7)Система линейных Ур-ий.Теорема Кронекра-Капели. Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. RgA = RgA^*.Очевидно, что система (1)может быть записана в виде:x₁ + x₂ + … + x_n Доказательство. 1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация толбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А^* не изменяют ранга.2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, то верна запись, приведенная выше.

Опред: система уравнений наз совместной, если имеет хотя бы одно решение, иначе она несовместна. Совместная система наз определённой, если она имеет единственное решение. Опред: системы наз равносильными, если они имеют одно и то же решение. Замечание: эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях при условии, что преобраз вып только под строками. Опред: cистема лин алг уравнений наз однородной, если все свободные члены=0.

18.1 Векторы наз компланарными,

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов a = (x, y, z), b = (u, v, w) и c = (p, q, r):

 

Урав плоскости, проходящей через данную точку перпендик-рно даному вектору. Общ урав плоскости. Урав плоскости в отрезках.

Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.

N -вектор нормали

M₀M {x-x₀,y-y₀,z-z₀}

 

Для того, чтобы точка MÎP, необходимо и достаточно чтобы вектора N ^ M₀M (т.е. N * M₀M =0)

A(x-x₀)+B(y-y₀)+С(z-z₀)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^вектору.

Общее уравнение плоскости.

Ax+By+Сz-Ax₀-By₀-Сz₀=0

-Ax₀-By₀-Сz₀=D, где D=Ax+By+Сz

Ax+By+Сz+D=0

Частный случай:

Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)

Если A=0, то By+Сz+D=0

Если B=0, то Ax +Сz+D=0

Если C=0, то Ax+By+D=0

Если A=B=0, то Сz+D=0

Если A=C=0, то By+D=0

Если A=D=0, то By+Сz=0

Если B=D=0, то Ay+Сz=0