Смешанное произведение векторов и его свойства.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Смешанное произведение векторов и его свойства.



Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом: a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c], где

a={ax,ay,az}

b={bx,by,bz}

c={cx,cy,cz}

Св-ва:
1. При перестановке 2х сомножителей:

a*b*c=-b*c*a

2. не меняется при перестановке циклических сомножителей:

a*b*c=c*a*b=b*c*a

3.а)(Геометрич. смысл) необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a*b*c=0

б)если некомпланарные вектора a,b,c привести к 1 началу, то |a*b*c|=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах

если a*b*c>0, то тройка a,b,c - правая

если a*b*c<0, то тройка a,b,c - левая

1.1.Матрицы (основные понятия). Линейные операции над матрицами, их свойства

Матрицей наз прямоуг таблица чисел, содерж m-строк и n-столбцов. Матрицы равны между собой, если равны соответств элементы этих матриц. Матрица, в которой m=n наз квадратной или n-ого порядка. Квадр матрица, у которой все элементы, кроме элементов гл диагонали, равны 0 еаз диагональной. Диаг матрица, у которой каждый элемент главной диаг =1 наз единичной. Квадратная матрица наз треуг, если все элементы, расположенные по одну сторону её гл диаг =0. Матрица, у которой все числа, стоящие на гл диаг не нулевые, а также некоторое кол ненулевых строк, наз трапециевидной. Матрица, содерж один столбец или строку, наз вектором из Rn пр-ва. Действия. Сложение – только для матриц одинакового размера. Умножение на число. Множества матриц одинакового размера обознач Mm*n. Тогда введённое на этом мн-ве операции сложения и умнож на число превращ Mm*n в линейное пр-во, векторами которого явл матрицы m*n. Умножение на вектор-столбец. Для умножения матрицы на вектор-столбец надо, чтобы число столбцов матрицы было равно числу координат вектора. Две матрицы наз эквивалентными, если одна из них получена из другой с помощью эл. Преобраз. Любую матрицу можно привести к канонической.

 

Обратная матрица. Необходимое и достаточное условия существования обратной матрицы

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.Опр.Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратнойк матрице А и обозначается А-1.Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну. Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.Исходя из определения произведения матриц, можно записать:AX = E Þ , i=(1,n), j=(1,n), eij = 0, i ¹ j,

eij = 1, i = j .Таким образом, получаем систему уравнений: Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

3.1 Определители 2-го и 3-го порядков. Понятие определителя n-го порядка.

Квадр матрицей A порядка n можно сопоставить число detA(∆A,|A|) называемое определителем и определяемое: n=2 a11*a22-a12*a21; n=3 a11a22a33+a21a32a13+a12a23a31-a31a22a13-a32a23a11-a21a12a33. Теорема: опред 3-его порядка = сумме произв элементов любой его строки (столбца) на их алг допол. Теорема: сумма произ элементов строки(столбца) определителя на алг допол соотв элементов др. строки(столбца)=0.

С помощью опред 4-ого порядка можно посчитать опред n-ого порядка. Для опред любых порядков остаются в силе определение минора и алг доп некоторого элемента, а также 2-теоремы об алг доп. Обозначим Mik –минор для элемента Аik и для определителя n-ого порядка: Aik=(-1)i+kMik. Пусть D-опред n-ого порядка. Раскрывая его сначала по элементам i-той строки, а затем по – k-ого столбца в силу теоремы1 получим D=ai1Ai1+…ainAin. D=a1kA1k+…ankAnk. C другой стороны, если i не=j и kне=l, то D=ai1A1i+…+ajnAni=0; D=a1kA1l+…ankAnl=0. Теорема: сумма все произведений элементов любой строки определителя на соотв алг доп равна этому определителю. Замечание: определитель треуг матрицы А равен произ элементов, стоящих на диагонали. Теорема: опред произ 2х матриц одинакового порядка=произв опред n-ого порядка. Теорема: опред матрицы порядка n равен сумме произ всевозможн миноров k-ого порядка (k<n), которые можно получить из произв выбранных k-направелнных рядов и алг. доп этих миноров.

 

Свойства Определителей

Св-ва: 1)Определитель не измениться, если его строки заменить столбцами и наоборот; 2) При перестановке 2-х парал рядов опред меняет знак на противоположный; 3)Определитель, имеющ два одинаковых ряда=0; 4)Общий множитель элементов какого-то ряда опред, можно вынести за знак опред; 5)если все элем ряда пропорц соотв элем парал ряда, то такой опред=0; 6)если все элем строки(столбца) определителя=0, то опред=0; 7) если элем определителя представ собой суммы двух слогаемых, то опред может быть разложен на сумму двух соотв определителей; 8)Определитель не изменится, если к элем одного ряда прибавить соотв элементы парал ряда, умноженного на число; 9)для разлож опред обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т.к. соотв им слаг будут=0; 10)сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алг. дополнение параллельного ряда соотв элементов равно 0;

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.204.2.146 (0.004 с.)