![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Глава 10. Стохастические модели
Случайные процессы при описании популяций
Рассматриваемые выше модели – детерминистские. Это должно иметь какие-то основания, которые мы и попытаемся сейчас обсудить. Если речь идет о динамике популяций, то можно выделить по крайней мере два аспекта, по которым детерминистская модель не может служить точным отражением реальной экологической системы: во-первых, она допускает бесконечно большую численность популяции; во-вторых, не учитывает случайных колебаний, происходящих в среде во времени. В качестве примера детерминистской экологической модели рассмотрим уравнение
где N – число особей в момент времени t, а – истинная скорость роста. Решением этого уравнения, удовлетворяющим начальному условию N(0)=No, (10.2) является функция N(t)=N0eat, (10.3) (так называемый закон Мальтуса – закон роста популяции без конкуренции). В основе главного допущения здесь лежит то, что за короткий промежуток времени t каждая особь порождает a Δ t новых особей. В соответствующей стохастической модели принимается более правдоподобное допущение, согласно которому за период Δ t одна особь с вероятностью λ производит одного потомка и с вероятностью μΔ t умирает. Обозначим через рi(t) вероятность того, что в момент времени t численность популяции равна i, i = 0, 1, 2,... Рассмотрим величину pi(t + Δt). В силу малости Δ t можно считать, что численность популяции останется прежней, равной i, в результате трех независимых событий – появления потомков в популяции с численностью i – 1, отсутствия случаев рождения и смерти в популяции с численностью i и смерти в популяции с численностью i+1. При этом вероятность pi(t + Δt) равна сумме вероятностей этих событий: pi(t + Δt) = (i-1) λ pi-1 (t) Δt+(1-i(λ+μ) pi(t) Δt+(i+1) μi+1(t) Δt, откуда
Переходя в полученном соотношении к пределу при t → ∞, получим систему уравнений Колмогорова
В виде (10.4) уравнения справедливы при i= 2, 3, 4,.... При i = 1 из (10.4) получаем уравнение
а при i = 0 – уравнение
(естественно считать, p-1(t)≡0). Если в начальный момент времени t =0 в популяции имелось N0 особей, то начальные условия для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (10.4)–(10.6) имеют вид:
Рассматриваемый процесс гибели и рождения является случайным процессом (классическим примером цепей Маркова [17]), а само решение задачи (10.4)–(10.7) можно получить стандартными методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [47]). Нас интересуют следующие вероятностные характеристики: ожидаемое значение, т. е. среднее значение популяции в момент времени t N(t)= и вариация (дисперсия), т. е. среднее квадратичное отклонение от N(t)
Для вычисления N(t) заметим, что из уравнения (10.5) и первого уравнения из (10.4) вытекает Продолжая этот процесс сложения, получим т. е. обыкновенное дифференциальное уравнение N'(t)=(λ - μ)N(t) (10.10) с начальным условием (10.7)
Решение его, очевидно, равно N(t)= в частности, при λ > μ численность популяции экспоненциально возрастет (при λ=μ+a определяется уравнением (10.3)), а при λ < μ экспоненциально убывает при t → ∞. Аналогично (см. [17]) вычисляется вариация
откуда при λ > μ для коэффициента вариации получаем выражение
которое при t → ∞ стремится к величине
Случайные изменения среды
Рассмотрим теперь модель, учитывающую случайные изменения среды. Простейшая модель, соответствующая уравнению (10.1), имеет вид
N(0)=N0, (10.16) где y(t) – случайная величина со средним значением, равным нулю. Решение задачи (уравнения (10.15) при условии (10.16)) имеет вид
Чтобы придать смысл интегралу
Численные параметры т и σ – это математическое ожидание (среднее значение) и среднее квадратичное отклонение случайной величины X. Действительно, Применяя замену переменной
Нетрудно убедиться, что первый из двух интегралов в уравнении (10.19) равен нулю, а второй представляет собой известный интеграл Эйлера–Пуассона
поэтому из уравнения (10.19) вытекает, что М[Х]=т. Вычислим дисперсию величины X: Применив снова замену переменной
Интегрируем это выражение по частям:
Следовательно, σ в выражении (10.18) равна корню из дисперсии, т. e. среднему квадратичному отклонению. Итак, Е[уi]=т, D[yi]=var(yi)=σ2. (10.23) Покажем, что если т= Применив снова замену х =
Вернемся к формуле (10.17), которая в наших предположениях имеет вид
откуда для среднего значения N(t) получаем выражение
а для дисперсии D[N] = var(N) –
Теперь имеем
Следовательно,
и коэффициент вариации при t → ∞ равен
Из формул (10.26) и (10.30) следует, что хотя, как и в детерминистском случае, среднее значение N(t) экспоненциально возрастает, экспоненциально возрастают и отклонения от среднего значения. Таким образом, с течением времени колебания численности популяции становятся все более резкими. В этом отражается то обстоятельство, что детерминистская система не имеет стационарного состояния, более того, при определенных соотношениях между а и σ вероятность ее вымирания приближается к единице. Найдем вероятность вымирания популяции за время t – функцию p0(t): Положим Полагая
где Ф(х) = Если Проведенный анализ показывает, что преимущественное использование детерминистских, а не стохастических моделей оправдано лишь тем, что в математическом плане они проще и удобнее. При этом если детерминистская модель свидетельствует об устойчивом равновесии, то соответствующая стохастическая модель предсказывает длительное выживание; если же детерминистская модель не выявляет равновесия или предсказывает неустойчивое равновесие, то стохастическая модель может предсказать вероятность вымирания. Контрольные задания
1. Допустим, вероятность λ рождения особью детеныша в два раза больше вероятности μ гибели самой особи. Определить среднее значение N(t) популяции в момент времени t = 100, вычислить также вариацию var (N(t)), коэффициент вариации
2. В модели, учитывающей случайные изменения среды, будем предполагать, что а=
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-20; просмотров: 517; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.137.78 (0.037 с.) |