Теоретический предел трудоемкости задачи.

Рассматривая некоторую алгоритмически разрешимую задачу, и анализируя один из алгоритмов ее решения, мы можем получить оценку трудоемкости этого алгоритма в худшем случае – fa()=O(g()). Такие же оценки мы можем получить и для других известных алгоритмов решения данной задачи. Рассматривая задачу с этой точки зрения, возникает резонный вопрос – а существует ли функциональный нижний предел для g() и если «да», то существует ли алгоритм, решающий задачу с такой трудоемкостью в худшем случае.

Другая, более точная формулировка, имеет следующий вид: какова оценка сложности самого «быстрого» алгоритма решения данной задачи в худшем случае? Очевидно, что это оценка самой задачи, а не какого либо алгоритма ее решения. Таким образом, мы приходим к определению понятия функционального теоретического нижнего предела трудоемкости задачи в худшем случае:

= min { ( (D)) }

Если мы можем на основе теоретических рассуждений доказать существование и получить оценивающую функцию, то мы можем утверждать, что любой алгоритм, решающий данную задачу работает не быстрее, чем с оценкой в худшем случае:

(D) = ()

Приведем ряд примеров:

1. Задача поиска максимума в массиве A=(a1,…,an) – для этой задачи, очевидно должны быть просмотрены все элементы, и = (n).

2. Задача умножения матриц - для этой задачи можно сделать предположение, что необходимо выполнить некоторые арифметические операции со всеми исходными данными, теоретическое обоснование какой–либо другой оценки на сегодня не известно, что приводит нас к оценке =Q (). Отметим, что лучший алгоритм умножения матриц имеет оценку Q (). Расхождение между теоретическим пределом и оценкой лучшего известного алгоритма позволяет предположить, что либо существует, но еще не найден более быстрый алгоритм умножения матриц, либо оценка Q () должна быть доказана, как теоретический предел.

Сложностные классы задач.

 

В начале 1960-х годов, в связи с началом широкого использования вычислительной техники для решения практических задач, возник вопрос о границах практической применимости данного алгоритма решения задачи в смысле ограничений на ее размерность. Какие задачи могут быть решены на ЭВМ за реальное время?

Ответ на этот вопрос был дан в работах Кобмена (Alan Cobham, 1964), и Эдмнодса (Jack Edmonds, 1965), где были введены сложностные классы задач.

1) Класс P (задачи с полиномиальной сложностью)

Задача называется полиномиальной, т.е. относится к классу P, если существует константа k и алгоритм, решающий задачу с (n)=O(), где n - длина входа алгоритма в битах n = |D| [6].

Задачи класса P – это интуитивно, задачи, решаемые за реальное время.

Отметим следующие преимущества алгоритмов из этого класса:

o для большинства задач из класса P константа k меньше 6;

o класс P инвариантен по модели вычислений (для широкого класса моделей);

o класс P обладает свойством естественной замкнутости (сумма или произведение полиномов есть полином).

Таким образом, задачи класса P есть уточнение определения «практически разрешимой» задачи.

2) Класс NP (полиномиально проверяемые задачи)

Представим себе, что некоторый алгоритм получает решение некоторой задачи – соответствует ли полученный ответ поставленной задаче, и насколько быстро мы можем проверить его правильность?

Рассмотрим, например задачу о сумме:

Дано N чисел – А = (a1,…an) и число V.

Задача: Найти вектор (массив) X=(x1,…,xn), xiє{0,1}, такой, что aixi = V.

Содержательно: может ли быть представлено число V в виде суммы каких-либо элементов массива А.

Если какой-то алгоритм выдает результат – массив X, то проверка правильности этого результата может быть выполнена с полиномиальной сложно-стью: проверка aixi = V требует не более Q (N) операций.

Формально: Dє , |D|=n поставим в соответствие сертификат Sє , такой что |S|=O () и алгоритм = (D,S), такой, что он выдает «1», если решение правильно, и «0», если решение неверно. Тогда задача принадлежит классу NP, если F ()=O ().

Содержательно задача относится к классу NP, если ее решение некоторым алгоритмом может быть быстро (полиномиально) проверено.