Свойства скалярного произведения

Обрати внимание!

3. Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов равно нулю, так как косинус прямого угла равен 0.

Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

Вектор, умноженный на самого себя, будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора и обозначается как 2.

Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: .

, а , И так как , как произведение чисел , .

2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя:

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством:

.

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:

В частности: вектор  возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль , т.е.  ( ).

5. Если векторы  и  (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если , то . Справедливо и обратное утверждение: если  и , то .

Так как , . Следовательно, . Если же  и , то . Отсюда , т.е. . В частности: .

Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть заданы два вектора  и .

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Пример 1. Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин , , , , взаимно перпендикулярны.

Решение: Составим вектора  и , лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем:   и . Найдем скалярное произведение этих векторов:

.

Отсюда следует, что . Диагонали четырехугольника  взаимно перпендикулярны.

Угол между векторами. Определение угла  между ненулевыми векторами  и   , т.е.

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов  и :

Два вектора называются коллинеарными, если выполняется:

Свойство: Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Использование скалярного произведения