Геометрический смысл смешанного произведения

Длина вектора

Длина вектора , заданного своими координатами, находится по формуле:

Длина (модуль) вектора, координаты которого известны, равен корню квадратному из суммы квадратов координат.

Задание. Найти длину вектора

Решение. Используя формулу, получаем:

Угол между векторами

Угол между двумя векторами , :

Если угол между двумя векторами острый, то их скалярное произведение положительно; если угол между векторами тупой, то скалярное произведение этих векторов отрицательно. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.

Задание. Найти угол между векторами и

Решение. Косинус искомого угла

Векторным произведением ненулевых векторов и называется вектор , обозначаемый символом или , длина которого (рис. 1).

Свойства векторного произведения:

1° , тогда и только тогда, когда

2°

3° Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на заданных векторах и (рис. 2), т.е.

 

4°

5°

Если векторы заданы своими координатами , , то векторное произведение находится по формуле:

Задание. Найти векторное произведение векторов и

Решение. Составляем определитель и вычисляем его:

Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах , ,

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для этого составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов , и :