Основні формули. Рівняння Шредінгера. Основні формули. Рентгенівське  випромінювання

Основні формули

1. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга

де Dx, Dy, Dz – невизначеності координат x, y, z частинки; Dp_x, Dp_y, Dp_z – невизначеності відповідних проекцій імпульсу частинки.

2. Співвідношення невизначеностей для енергії частинки

де DE – невизначеність енергії частинки;  Dt, -час (тривалість) життя частинки у стані з даним значенням енергії.

 

 

28.1 Пучок електронів рухається вздовж осі 0X зі швидкістю v = 10⁶ м/с, яка визначається з точністю до 0,01 % від її числового значення. Знайти невизначеність Dx координати електрона. (1,16×10^-6 м)

28.2 Пилинка масою m = 10^-12 кг має лінійні розміри порядку 10^-6 м. Координату пилинки можна визначити з точністю до 0,01 її розмірів. Знайти невизначеність швидкості Dv_x пилинки. (1,05×10^-14 м/c)

28.3 Електронний пучок прискорюється в електронно-променевій трубці різницею потенціалів U = 500 В. Приймаючи, що невизначеність імпульса дорівнює 0,1 % від його числового значення, визначити невизначеність координати Dx електрона. (8,8 нм)

28.4 Електрон рухається в атомі водню по першій борівській орбіті зі швидкістю v = 2,18×10⁶ м/с. Вважаючи, що невизначеність швидкості дорівнює 10% від її числового значення, знайти невизначеність Dx координати електрона. ( 5,31×10^-10 м)

28.5 Електрон рухається в атомі водню по першій борівській орбіті. Нехай невизначеність координати електрона є порядку розмірів самого атома, тобто Dx = 10^-10 м. Знайти невизначеність швидкості Dv  руху електрона по орбіті. (1,16×10⁶ м/с)

28.6 Кінетична енергія електрона в атомі водню Е_к = 10 еВ. Використовуючи співвідношення невизначеностей, оцінити мінімальні лінійні розміри атома. ( 1,23×10^-10 м)

28.7 Електрон знаходиться в нескінчено глибокій „потенціальній ямі” шириною ℓ = 100 пм. Використовуючи співвідношення невизначеностей, знайти мінімальну енергію Е_min електрона. (3,8 еВ)

28.8 У скільки разів довжина хвилі де Бройля l частинки менша невизначеності Dx її координати, яка відповідає відносній невизначеності імпульса в 1 %? (15,9)

28.9 Вважаючи, що невизначеність координати рухомої частинки Dx дорівнює довжині хвилі l де Бройля, визначити відносну неточність Dр/р імпульсу цієї частинки. (15,9 %)

28.10 Атом водню спочатку перебуває в основному стані, а потім переходить у збуджений стан, час життя в якому t = 10^-8 с. Оцінити ширину DЕ енергетичного рівня атома в основному і збудженому станах. (0; 0,07 мкеВ)

28.11 Атом переходить із збудженого стану, в якому час життя t = 10^-8 с, в основний стан, випромінюючи хвилю довжиною l = 0,6 мкм. Визначити природну ширину Dl спектральної лінії випромінювання атома. (0,02пм)

 

 

29. Рівняння Шредінгера

Основні формули

1. Умова нормування хвильової функції y

де V – повний об’єм, в якому може перебувати частинка.

2. Ймовірність W знаходження частинки в заданому об’ємі V

де y - хвильова функція, яка описує стан частинки

3. Значення енергії частинки, En в одномірній прямокутній нескінченно глибокій потенціальній ямі

де m – маса частинки; ℓ - ширина потенціальної ями; n – квантове число.

4. Коефіцієнт прозорості D потенціального бар’єра прямокутної форми

де U – висота потенціального бар’єра; m – маса частинки; E – енергія частинки; ℓ- ширина бар’єра.

 

 

29.1 Хвильова функція, яка описує стан електрона в одномірній прямокутній нескінченно глибокій потенціальній ямі, має вигляд y_n(x) = A sin kx + B cos kx. Ширина ями ℓ =  0,01 м. Визначити енергію електрона Е₂ на другому енергетичному рівні. (1,4×10^-14еВ)

29.2 Хвильова функція, що описує стан електрона в одномірній прямокутній нескінченно глибокій потенціальній ямі, має вигляд . Використовуючи умову нормування, визначити сталу А. ( )

29.3 Електрон знаходиться в одномірній прямокутній нескінченно глибокій потенціальній ямі. Знайти відношення різниці сусідніх енергетичних рівнів DЕ_n до енергії електрона Е_n у таких випадках: 1) n = 1; 2) n = 10; 3) n = 100; 4) n = ¥. (3; 0,21; 0,0201; 0)

29.4 Електрон знаходиться в одномірній прямокутній нескінченно глибокій потенціальній ямі. Визначити різницю енергій двох сусідніх енергетичних рівнів DЕ₂ при розмірах ями ℓ₁ = 10^-1 м і ℓ₂ = 10^-10 м. (18,6×10^-17 еВ; 186,2 еВ)

29.5 Електрон знаходиться в одномірній прямокутній нескінченно глибокій потенціальній ямі. Обчислити імовірність W виявлення електрона в середній третині ями. (0,195)

29.6 Електрон в одномірній прямокутній нескінченно глибокій потенціальній ямі перебуває у збудженому стані (n = 4). Визначити імовірність W виявлення електрона в першій чверті ями. (0,250)

29.7 У додатному напрямку осі 0X рухаються електрон і протон з енергією Е = 4 еВ кожний і зустрічають на своєму шляху прямокутний потенціальний бар’єр висотою U = 9 еВ і шириною ℓ = 0,5 пм. Визначити відношення імовірностей We/Wp проходження електроном і протоном цього бар’єру. (1,62)

29.8 Електрон з енергією Е = 2 еВ рухається в додатному напрямку осі 0X і зустрічає на своєму шляху прямокутний потенціальний бар’єр висотою U = 12 еВ. Коефіцієнт прозорості бар’єра D = 0,02. Визначити ширину ℓ бар’єра. (0,12 нм)

29.9 Електрон з енергією Е рухається в додатному напрямку осі 0X і зустрічає на своєму шляху прямокутний потенціальний бар’єр висотою U і шириною ℓ = 0,5 нм. Коефіцієнт прозорості бар’єра D = 0,05. Визначити різницю енергій U - E. (0,34 еВ)

29.10 Нормована хвильова функція, що описує стан 1s-електрона в атомі водню має вигляд , де r – відстань електрона від ядра, r₁ - радіус першої орбіти електрона. Визначити імовірність W виявлення електрона в атомі всередині сфери радіусом r = 0,021 r₁. (1,03×10^-5)