Расчет скорости и ускорения точки при координатном задании движении.

§4. Расчет скорости и ускорения точки при координатном задании движении.

 

     Движение точки в декартовых осях координат задается функциями:

x = x (t); y = y (t);  z = z (t).

     Вектор скорости точки рассчитывается по формулам:

                     

; ; ;

;

 

; ; .

 

Вектор ускорения точки рассчитывается по формулам:

 

; ; ;

; ; .

 

Для расчета траектории точки необходимо исключить время из уравнений движения точки.

 

 

§5. Расчет скорости и ускорения точки при естественном задании движения.

 

     Для изучения движения точки, траектория которой известна, вводятся криволинейная координатная линия вдоль траектории и три взаимно - перпендикулярных оси в соответствии со схемой

 

 

     Оси (t, n, b) называются естественными осями траектории. Центр их всегда находится в точке, движение которой исследуется. Оси (t, n, b) друг относительно друга в пространстве расположены так же, как и оси (x, y, z) в правосторонней системе координат. Векторы  - единичные векторы или орты естественных осей. Очевидно, что

 

; ;  .

 

     Соприкасающаяся плоскость строится по следующему правилу:

 

n рассматриваются два последовательных положения точки на траектории;           

n изображаются единичные векторы касательных осей  и ;

n в исходной точке на векторах  и  строится плоскость Q;

 

Соприкасающаяся плоскость

                                s                     в точке

                                                                    t₂

            ^{пл. Q}                       M₂

                t₂

                                                                                   

                                           t₁

              M₁

                 

Нормальная плоскость строится перпендикулярно касательной оси.

Спрямляющая плоскость строится перпендикулярно нормальной оси.

     При исследовании движения точки в естественных осях векторы скорости и ускорения точки раскладываются на составляющие вдоль этих осей.

Разложение вектора скорости

Из определения вектора скорости следует

                                    

                                                                 

 

 

                                                                            Закон движения

                           

 

 

Отсюда                                       

                            

Разложение вектора ускорения

 

     Из определений вектора ускорения и соприкасающейся плоскости следует, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. W_bє0, следовательно

По определению

Можно показать, что выполняется

, тогда

 

; ; ; ;

 

Величина r - называется радиусом кривизны траектории в данной точке. Это радиус окружности, которая строится так: на траектории выбираются три близкие точки М₁, М₂, М₃ через которые проводится окружность . Тогда окр.