Достоинства и недостатки цифрового звука

Цифровое представление звука ценно прежде всего возможностью бесконечного хранения и тиражирования без потери качества, однако преобразование из аналоговой формы в цифровую и обратно все же неизбежно приводит к частичной его потере. Наиболее неприятные для слуха искажения, вносимые на этапе оцифровки — гранулярный шум, возникающий при квантовании сигнала по уровню из-за округления амплитуды до ближайшего дискретного значения. Гранулярный шум сильно коррелирован с сигналом (зависит от него) и представляет собой гармоники сигнала, искажения от которых наиболее заметны в верхней части спектра. Проявления гранулярного шума и его связь с сигналом легко определить, прослушав синусоидальный сигнал с частотой около 0,1— 5 Гц (гранулярный шум в этом случае проявляется в виде изменяющегося по высоте паразитного тона, частота которого зависит от частоты, формы и максимальной амплитуды полезного сигнала). Мощность гранулярного шума обратно пропорциональна количеству ступеней квантования, однако из-за логарифмической характеристики слуха при линейном квантовании (постоянная величина ступени) на тихие звуки приходится меньше ступеней квантования, чем на громкие, и в результате основная плотность нелинейных искажений приходится на область тихих звуков. Во время восстановлении звука из цифровой формы в аналоговую возникает проблема сглаживания ступенчатой формы сигнала и подавления гармоник, вносимых частотой дискретизации. Из-за неидеальности амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) фильтров может происходить либо недостаточное подавление этих помех, либо избыточное ослабление полезных высокочастотных составляющих. Плохо подавленные гармоники искажают форму аналогового сигнала (особенно в области высоких частот), что создает впечатление «шероховатого», «грязного» звука.

Ключевые операции ЦОС

Цифровая обработка сигналов (ЦОС) выполняется либо специальными процессорами, либо на универсальных ЭВМ и компьютерах по специальным программам. Наиболее просты для рассмотрения линейные системы. Линейными называются системы, для которых имеет место суперпозиция (отклик на сумму двух входных сигналов равен сумме откликов на эти сигналы по отдельности) и однородность, или гомогенность (отклик на входной сигнал, усиленный в определенное число раз, будет усилен в то же число раз). Линейность позволяет рассматривать объекты исследования по частям, а однородность - в удобном масштабе. Для реальных объектов свойства линейности могут выполняться приближенно и в определенном интервале входных сигналов.

Если входной сигнал x (t - t ₀) порождает одинаковый выходной сигнал y (t - t ₀) при любом сдвиге t ₀, то систему называют инвариантной во времени. Ее свойства можно исследовать в любые произвольные моменты времени. Для описания линейной системы вводится специальный входной сигнал - единичный импульс (импульсная функция). В силу свойства суперпозиции и однородности любой входной сигнал можно представить в виде суммы таких импульсов, подаваемых в разные моменты времени и умноженных на соответствующие коэффициенты. Выходной сигнал системы в этом случае представляет собой сумму откликов на эти импульсы, умноженных на указанные коэффициенты. Отклик на единичный импульс называют импульсной характеристикой системы h (n), а отклик на произвольный входной сигнал s (k) можно выразить сверткой g (k) = h (n)_* s (k - n).

Если h (n)=0 при n <0, то систему называют каузальной (причинной). В такой системе реакция на входной сигнал появляется только после поступления сигнала на ее вход. Некаузальные системы реализовать физически невозможно. Если требуются физически реализовать свертку сигналов с двусторонними операторами (при дифференцировании, преобразовании Гильберта, и т.п.), то это выполняется с задержкой (сдвигом) входного сигнала минимум на длину левосторонней части оператора свертки.

Существует большое количество разнообразных алгоритмов ЦОС, еще больше находится в стадии разработ­ки или ждет своего открывателя. Однако для всех этих алгоритмов, включая самые сложные, необходимы одни и те же основные операции. Для начала будет полезно рас­смотреть некоторые из них, чтобы оценить простоту реализации ЦОС.

Итак, основные операции ЦОС — это свертка, корреляция, фильтрация, дискретные преобразования. Дадим краткое описание каждой из них. При этом заметим, что для всех основных операций ЦОС потребуется выполнение толь­ко простых арифметических действий — умножения, сложения, вычитания и операции сдвига. Кроме того, отметим сходство между многими операциями.

Свертка

Свертка — это одна из наиболее используемых операций в ЦОС. Например, это основная операция цифровой фильтрации. Для двух массивов x (n) и h (n) длиной  и  соответственно, их свертка определяется соотношением:

, (2.1)

где  - символ свертки, а .

Если h (n) трактовать как импульсную характеристику линейной цифровой системы, значения отсчетов которой приведены в таблице 1, а x (n) - как сигнал на входе цифровой системы (см.табл.2), тогда массив y (n) представляет собой сигнал на выходе линейной цифровой системы (см.табл.3).

Действительно, учитывая финитность данных конкретных массивов, соотношение (4.1) можно переписать в виде:

.                                                               (2.2)

Для  получим:

.

Для :

.

Продолжая таким образом вычисления и учитывая, что , получим результаты, сведенные в таблицу 3.

 

Таблица 1

	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
	0	0	0	1	0.5	0.2	0	0	0

Таблица 2

	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
	0	0	0	2	3	4	0	0	0

Таблица 3

	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
	0	0	0	2	4	5.9	2.6	0.8	0

 

Графически результаты вычисления свертки представлены на рис.2.1.

 

                                    

 

 

                                   0  1  2  3  4                   

 

                                  

 

 

                                   0  1  2  3  4                   

 

                                  

 

 

                                   0  1  2  3  4                   

Рис.2.1

Цифровая фильтрация

Цифровая фильтрация для одной из разновидностей цифровых фильтров – так называемых КИХ-фильтров (трансверсальных фильтров), математически описывается соотношением:

.                                                                                      (2.3)

Сравнивая соотношения (2.2) и (2.3), нетрудно заметить их принципиальное сходство. Таким образом, цифровая фильтрация есть свертка сигнала с импульсной характеристикой фильтра. На рис.2.2 показана блок-схема такого фильтра. Символом  обозначена задержка на один интервал дискретизации.

                                         

 

                                                         

 

 

                                                                                    

Рис.2.2

Основное применение цифровой фильтрации – подавление помех, маскирующих сигнал. Однако существует ряд иных интересных применений цифровых фильтров: моделирование резонансных свойств речевого тракта человека, физическое моделирование музыкальных звуков, выравнивание сигнала (эквалайзинг) и др.

Корреляция

Корреляциясуществует в двух формах: автокорреляции и взаимной корреляции.

Взаимно-корреляционная функция (ВКФ, cross-correlation function - CCF), и ее частный случай для центрированных сигналов функция взаимной ковариации (ФВК)– это показатель степени сходства формы и свойств двух сигналов. Для двух последовательностей x (k) и y (k) длиной К с нулевыми средними значениями оценка взаимной ковариации выполняется по формулам:

.                                                                       (2.4)

ВКФ – это показатель степени сходства формы и свойств двух сигналов.

Автокорреляционная функция (АКФ, correlation function, CF) является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, дает информацию о структуре сигнала и его динамике во времени. Она, по существу, является частным случаем ВКФ для одного сигнала и представляет собой скалярное произведение сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига:

,                                                                          (2.5)

Нетрудно видеть известное сходство операций корреляции и свертки – разница лишь в том, что при свертке один из сигналов инвертируется, а при корреляции такой инверсии нет.

Автокорреляционная функция успешно применяется для выявления так называемой «скрытой» периодичности сигнала.

Взаимно-корреляционная функция применяется в задачах обнаружения сигнала известной формы, маскируемого помехами.

Дискретные преобразования

Дискретные преобразования позволяют описывать сигналы с дискретным временем в частотных координатах или переходить от описания во временной области к описанию в частотной. Переход от временных (пространственных) координат к частотным необходим во многих приложениях обработки данных. Дискретных преобразований достаточно много (преобразования Фурье, Хаара, Уолша, Гильберта и др.), однако самым распространенным является дискретное преобразование Фурье (ДПФ), с помощью которого осуществляют спектральный анализ сигналов:

.                                                                              (2.6)

Если соотношение (4.6) переписать в виде:

,

тогда становится очевидным, что ДПФ можно трактовать как результат цифровой фильтрации сигнала  гребенкой узкополосных цифровых фильтров – с той лишь особенностью, что из результата фильтрации оставляется только один отсчет.

При достаточно большом значении параметра  вычисление ДПФ весьма трудоемко. Благодаря изобретению алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) стало возможным весьма эффективное вычисление ДПФ (  арифметических операций вместо  операций).

Модуляция сигналов

Системы регистрации, обработки, интерпретации, хранения и использования информационных данных становятся все более распределенными, что требует коммуникации данных по высокочастотным каналам связи. Как правило, информационные сигналы являются низкочастотными и ограниченными по ширине спектра, в отличие от широкополосных высокочастотных каналов связи, рассчитанных на передачу сигналов от множества источников одновременно с частотным разделением каналов. Перенос спектра сигналов из низкочастотной области в выделенную для их передачи область высоких частот выполняется операцией модуляции. При модуляции значения информационного (модулирующего) сигнала переносятся на определенный параметр высокочастотного (несущего) сигнала.

Самые распространенные схемы модуляции для передачи цифровой информации по широкополосным каналам – это амплитудная (amplitude shift keying – ASK), фазовая (phase shift keying – PSK) и частотная (frequensy shift keying – FSK) манипуляции. При передаче данных по цифровым сетям используется также импульсно-кодовая модуляция (pulse code modulation – PCM).

 

Формы преобразования Фурье

Непрерывное преобразование Фурье

Известно несколько форм представления ряда Фурье:

1) синусно-косинусная;

2) амплитудно-фазовая;

3) комплексная.

А. Синусно-косинусная форма

Функция  - периодическая с периодом . «Классическая» синусно-косинусная форма представления этой функции в виде ряда Фурье имеет вид:

,                                                  (2.7)

где , .

Здесь  - «основная» частота ряда частот  гармоник, на которые раскладывается сигнал .

                                                                                                                

 

               0                  0 1 2 3          0 1 2 3

Достоинство такого представления – вещественность величин  и .

Недостаток – не очень понятна необходимость функций  и .

Б. Амплитудно-фазовая форма

Запишем (2.7) в виде:

. (5.2)

Или, что то же,

.

Сравнивая с (5.1), видим, что:

откуда

.

 

В. Комплексная форма

В амплитудно-фазовой форме полагаем:

.

Получаем:

;                           (2.8а)

(2.8б)

 

Дискретное преобразование Фурье

Пару непрерывных преобразований Фурье обычно записывают в виде:

                                                                                       (2.9а)

                                                                                       (2.9б)

 

Перепишем соотношения (2.8) в виде:

;

.

При  эти соотношения превращаются в пару непрерывных преобразований Фурье, поэтому:

                                                                                                          (2.10)

.

Можно рассуждать и по-иному. Сравним соотношения:

;

.

Если функция , тогда, периодизируя ее, можем записать:

, что совпадает с полученным ранее соотношением (2.8).

Таким образом, с учетом соотношений (2.6) и (2.8) можем записать:

;                                                                          (2.11а)

,                                                                       (2.11б)

где обозначено . Сравнивая пары соотношений (2.9) и (2.11), видим, что пару (5.6) можно формально и абсолютно точно получить, заменяя в (2.9а) бесконечные пределы интегрирования на конечные, а в (2.9б) – заменяя интеграл суммой. Причина точности произведенной замены – периодическое продолжение функции времени, приводящее к дискретизации спектра. Чтобы подчеркнуть периодический характер функции времени, мы и применили обозначение .

Используя дуальность времени t и частоты f, а также полученный выше результат о возможности формального перехода от пары непрерывных преобразований Фурье к паре дискретно-непрерывных преобразований Фурье, сразу запишем:

;                                                                    (2.12а)

,                                                                    (2.12б)

Продолжая развивать идею «дискретизации-периодизации», приходим к паре дискретных соотношений:

;

, где  .

                                                                                                                 

                   0                                                                                         -                                        

                                                                                                               

 

Обозначая , получим «классическую» пару дискретных преобразований Фурье (ДПФ):

;                                                                                  (2.13а)

                                                                                  (2.13а)

 

 

Быстрое преобразование Фурье (БПФ)

 

Пару ДПФ часто записывают в виде:

 

где

,

 - отсчеты сигнала,  - коэффициенты ДПФ.

 

Для вычисления одного элемента последовательности  необходимо примерно  операций комплексных умножений и сложений, если вычисления производить «в лоб», т.е. в соответствии с приведенным выше соотношением. БПФ – это «хитроумная» схема вычислений, при которой количество вычислительных операций удается сделать существенно меньшим. Например, если N - степень двойки, тогда количество вычислительных операций пропорционально величине . Преимущества алгоритма БПФ быстро увеличиваются с ростом N, что существенно при обработке массивов большой размерности.

Еще более заметен выигрыш алгоритма БПФ при обработке двумерных массивов чисел, например, при обработке изображений. В этом случае необходимо  операций против  при «лобовых» вычислениях.

Существует несколько разновидностей алгоритма БПФ. Ниже будет изложена модификация алгоритма БПФ: с прореживанием по времени. Существует и вторая - с прореживанием по частоте. При этом рассмотрим случай, когда N - степень двойки.

А. Прореживание по времени

Разделим последовательность , состоящую из  отсчетов, на две подпоследовательности  и , каждая из N/ 2 отсчетов (рис.5.3).

Отсчеты  образованы из четных отсчетов исходной последовательности , а отсчеты  - из нечетных:

.  

Поскольку подпоследовательности  и  состоят из N/ 2 отсчетов каждая, ДПФ для них имеет вид:

 

Нам нужна последовательность , которую мы можем представить через четные и нечетные элементы исходной последовательности :

 

   

                                     Рис.2.3                                                     Рис.2.4

 

Поскольку  и  периодичны с периодом , можем записать:

. 

Таким образом, первые  и последние  отсчетов ДПФ от  могут быть получены комбинацией отсчетов ДПФ двух подпоследовательностей  и .На рис.2.4 представлен сигнальный граф, наглядно представляющий процедуру конструирования отсчетов  из отсчетов  и  для случая .

      

                          Рис.2.5                                                              Рис.2.6

 

Поскольку нам удалось задачу вычисления N -точечного ДПФ редуцировать к задаче вычисления двух N /2-точечных ДПФ, естественно попытаться “развить” успех в данном направлении. На рис.2.5 и 2.6 показаны два следующих аналогичных шага, после которых отсчеты сигнала  оказываются связанными с коэффициентами ДПФ своеобразными нитями-операциями, похожими на своеобразную «бабочку».

Итак, для случая N = 2³ = 8 вычисления совершаются в 3 этапа. На первых двух этапах вычисляются некие “промежуточные” массивы из 8 точек каждый. На третьем этапе вычисляется “окончательный” 8-точечный массив. Для вычисления каждого элемента этих 3-х массивов необходимо выполнить одно комплексное умножение и одно комплексное сложение – итого  комплексных умножений и сложений вместо  комплексных умножений и сложений при “лобовых” вычислениях.

Обобщая наши рассуждения на случай N -точечных массивов, заключаем, что для вычислений в соответствии с алгоритмом БПФ необходимо N log₂ N комплексных умножений и сложений, тогда как при прямых вычислениях требуется N операций.

Таким образом, при прореживании по частоте, как и при прореживании по времени, процедуру вычислений делят наlog₂ N этапов. При этом на каждом этапе на вычисление элементов N -точечного массива затрачивается N комплексных сложений и умножений. В результате вычисления производятся примерно за N log₂ N комплексных сложений и умножений против N ² при “лобовых” вычислениях.