Лабораторная работа № 4. Прогнозирование временных рядов на основе уравнений регрессии

Цель работы: Освоить технологию построения регрессионных моделей для прогнозирования временных рядов в среде Excel

 

Теоретическая часть

Временной ряд (ВР) y (t) можно интерпретировать в виде суммы двух компонент – детерминированной составляющей f (t) и случайного отклонения e (t).

                                        (4.1)

где - математическая модель временного ряда;

  t – порядковый номер элемента ВР, t =1,2, 3....

В основе моделирования и прогнозирования ВР лежат операции идентификации (определения) функций f (t) и e (t).

Функция f (t) должна иметь такой вид, чтобы сумма квадратов отклонений e (t) была минимальной, т.е.

                                     .                      (4.2)

При построении детерминированной и случайной составляющих модели ВР сначала определяют общий вид функций f (t) и e (t), а затем – их коэффициенты.

Для определения вида f (t) (иногда ее называют трендом) чаще всего используют следующие функции:

                                       ,                             (4.3)

                                                                 (4.4)

                                     ,                              (4.5)

где: выражение (4.3) представляет собой полином первой степени (линейная зависимость), (4.4) - полином второй степени (параболическая зависимость), а (4.5) – гиперболическая зависимость.

Вид тренда можно выбрать визуально по графическому отображению y (t). В данной работе принимается гипотеза о параболической зависимости, т.е. f (t) определяется по выражению (4.4). Тогда задача нахождения тренда формулируется следующим образом: найти значения коэффициентов а ₀, а ₁ и а ₂ в соответствии с выражениями (4.2) и (4.4). Эта задача решается с использованием метода наименьших квадратов (МНК) и инструментальных средств Excel.

После оценки коэффициентов производят экстраполяцию детерминированной основы модели, позволяющую перенести выводы, полученные на участке наблюдения, на явления, находящиеся вне этого участка. Экстраполяция – процедура установления значений ряда в точках, лежащих вне интервала (t ₁, t_n). Экстраполяция дает точечную прогнозную оценку, вычисление которой осуществляется путем решения найденного уравнения регрессии f (t) для значения аргумента t_{n +к}, соответствующего требуемому времени упреждения . Например, для параболического тренда точечная оценка детерминированной части прогноза вычисляется следующим образом:

                                                  (4.6)

Прогнозирование случайной компоненты e (t) производится методом авторегрессии. Процессом авторегрессии называется процесс, значения которого в последующие моменты времени зависят от его же значений в предшествующие моменты времени:

                                       (4.7)

                                               (4.8)

где b ₁ – b_n    – коэффициенты уравнения авторегрессии;

n – порядок авторегрессии;

u (t) – ошибка авторегрессии.

Расчет коэффициентов b ₁ – b_n также производится методом наименьших квадратов. Выбор порядка авторегрессии является одним из этапов построения модели авторегрессии. В настоящей работе задается порядок авторегрессии n =1.

Построение прогнозирующей модели временного ряда рекомендуется проводить в три этапа:

- построение детерминированной части модели ВР;

- построение стохастической части модели;

- определение полного прогноза ВР на основе результатов двух предыдущих этапов.

Порядок выполнения работы

4.2.1 Построение детерминированной части прогнозирующей модели ВР

 

1.  Ввести исходные данные ВР (не менее 20 чисел) в столбец A первого листа программы Excel, как показано на рисунке 4.1;

2. Предположим, что исходный временной ряд описывается выражением 4.4. Для построения параболической зависимости необходимо в столбец B ввести нумерацию элементов ВР t, а в столбец С квадрат t, т.е. t ²;

3. Для вычисления коэффициентов модели и дополнительных результатов статистики в правой части экрана с помощью левой кнопки мыши выделить область пустых ячеек размером 5´3 (5 строк и 3 столбца, количество столбцов должно соответствовать количеству оцениваемых коэффициентов).;

3. Активизировать режим вычисления коэффициентов уравнения регрессии в следующем порядке:

- для Excel 2003: «Вставка→Функция→Статистические →Линейн. →Ок»;

- для Excel 2007:перейдите на вкладку «Формулы» и выбрать пункты «Вставить функцию→Функция→Статистические →Линейн. →Ок»;

4. В появившемся окне ввести следующие исходные данные:

- Известные_значения_у – диапазон, содержащий данные об объекте (выделить мышью столбец А);

- Известные_значения_х – диапазон, содержащий данные времени и квадрата времени (выделить столбцы B и C);

- Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении 4.4 (если вставить “1”, то свободный член a ₀  рассчитывается, если  -«0», то свободный член равен 0);

- Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет.

Для подтверждения выбранных параметров нужно нажать комбинацию клавиш <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.

В рассмотренном примере на рисунке 4.1 данные коэффициенты приняли следующие значения: а ₀= 4.2828, а ₁= -0.032, а ₂= 0.0023. Искомое уравнение регрессии детерминированной части модели (4.4) выглядит следующим образом:

                                       ŷ _t                                        (4.9)

5. Рассчитать модельные значения y_t в диапазоне t =1-20, подставляя в полученное уравнение значения t и t ². Все данные в таблице должны быть отцентрированы, дробные числа округлены до третьего знака после запятой. Результаты расчетов примера представлены на рисунке 4.1 в столбце D (Y _пр1).     

6. Используя графические инструменты Excel, построить графики исходного ВР Y  и прогнозируемого ВР Y _пр1, расcчитанного по выражению (4.4). Сопоставить сходство графиков. Если они сильно отличаются, то возможна ошибка в расчетах.   

7. Рассчитать прогнозные оценки ВР на моменты времени t =21; t =22; t =23. Построить график модельных данных для t =1,2,3,...,23 (рисунок 4.1 «б»).

 

4.2.2 Построение стохастической части модели ВР

 

1. Для каждого наблюдения ряда в столбце E рассчитать отклонения e (t), как разность между соответствующими данными столбцов A и D так, как показано на рисунке 4.1 «а»;

2. Для определения коэффициента b ₁ уравнения (4.7) расположим в расчетной таблице данные случайной компоненты так, как показано в столбце F на рисунке 4.1«а»;

а)

б)

Рисунок 4.1 – Расчетные данные («а») и графики прогнозирующей модели ВР  («б»)

 

3. Определим коэффициент b ₁ модели авторегрессии, для этого повторить пункты 3-4 раздела 4.2.1. с учетом того, что в данном случае определяются коэффициенты уравнения первого порядка. В окно исходных данных вставить следующие значения:

- Известные_значения_у – выделить мышью диапазон ячеек E 3- E 21;

- Известные_значения_х – выделить мышью диапазон ячеек F 3- F 21.

В ячейке I 9 представлено расчетное значение коэффициента b 1= 0.6257. В результате расчетов методом наименьших квадратов уравнение авторегрессии первого порядка имеет вид: 

                                                             (4.10)

Уравнение (4.10) построено без свободного члена b ₀;

4. В столбце G расчетной таблицы (рисунок 4.1 «а») по выражению (4.10) рассчитать модельные значения случайной компоненты для t =2,3,4,...,21.

     5. Используя выражение (4.10), в ячейках G 23- G 25 рассчитать прогнозные значения случайной компоненты для t =22,23,24. При вычислении e (22) в ячейке G 23 использовать значение e (21) из ячейки G 22, при вычислении e (23) в ячейке G 24 использовать значение e (22) из ячейки G 24 и так далее.

 

4.2.3 Расчет оценок полного прогноза

 

Расчет оценок полного прогноза  производится по выражению (4.1) для t =21,22,23,24 в ячейках H 22- H 25 по данным ячеек D 22 и G 22, D 23 и G 23, D 24 и G 24, D 25 и G 25. По результатам расчетов, представленных в колонках A, D и H построить графики исходного ВР, прогноза на основе детерминированной модели и графика оценок прогноза с учетом случайной компоненты. На рисунке 4.1 «б» для выбранного примера эти графики обозначены как Y, Y _пр1 и Y _пр2.    

Как видно из рисунка, график Y _пр2 более близок к графику Y, что свидетельствует о повышении точности прогнозных оценок при учете случайной компоненты. Дать анализ графиков, полученных в результате выполнения заданного варианта. 

 

4.3 Контрольные вопросы

1. Привести примеры экономических и технических задач, где нужны прогнозные оценки.

2. Дать характеристику модели прогноза.

3. Как выбираются модели детерминированной и стохастической составляющей прогноза?

4. Описать процесс определения коэффициентов модели в среде Exсel.

5. Чем отличаются процедуры интерполяции и экстраполяции ВР?

Варианты заданий

В таблице 4.1 представлены данные временных рядов для прогнозирования.

 

Таблица 4.1 – Таблица временных рядов

t\Y	Y1(t)	Y2(t)	Y3(t)	Y4(t)	Y5(t)	Y6(t)	Y7(t)	Y8(t)	Y9(t)	Y10(t)
1	4,545	4,100	4,121	4,181	4,152	4,156	4,587	4,301	4,584	4,623
2	4,544	4,215	4,102	4,148	4,159	4,141	4,589	4,303	4,592	4,633
3	4,578	4,228	4,112	4,153	4,164	4,139	4,584	4,316	4,584	4,638
4	4,579	4,213	4,131	4,156	4,165	4,120	4,587	4,304	4,592	4,641
5	4,574	4,235	4,168	4,146	4,166	4,087	4,599	4,316	4,584	4,645
6	4,574	4,233	4,174	4,143	4,169	4,031	4,580	4,200	4,586	4,648
7	4,584	4,251	4,201	4,161	4,167	4,018	4,577	4,206	4,589	4,645
8	4,585	4,225	4,216	4,139	4,151	3,987	4,580	4,200	4,589	4,647
9	4,569	4,245	4,198	4,128	4,153	4,072	4,572	4,313	4,592	4,648
10	4,577	4,253	4,221	4,155	4,132	4,138	4,582	4,300	4,594	4,653
11	4,601	4,259	4,228	4,143	4,135	4,164	4,584	4,309	4,597	4,650
12	4,588	4,243	4,210	4,155	4,131	4,190	4,575	4,289	4,594	4,655
13	4,580	4,261	4,222	4,145	4,099	4,216	4,565	4,316	4,602	4,653
14	4,592	4,245	4,209	4,172	4,103	4,203	4,575	4,323	4,604	4,648
15	4,616	4,276	4,237	4,216	4,096	4,189	4,575	4,343	4,616	4,650
16	4,613	4,280	4,265	4,245	4,083	4,190	4,580	4,358	4,626	4,649
17	4,632	4,274	4,367	4,262	4,057	4,243	4,580	4,353	4,626	4,648
18	4,680	4,292	4,459	4,256	4,062	4,277	4,584	4,361	4,631	4,650
19	4,938	4,289	4,491	4,267	4,009	4,287	4,584	4,376	4,636	4,658
20	4,978	4,113	4,731	4,276	4,013	4,167	4,577	4,311	4,645	4,658