Еще о вписанном четырехвершиннике

Тот же самый четырехвершинник, вписанный в окружность, приводит к разным интересным задачам.

Проводя три диагонали вписанного четырехвершинника ABCD, получаем автополярный трехвершинник PQR. Каждая его вершина является полюсом противоположной стороны. Значит, поляра PQ перпендикулярна прямой ОR, соединяющей полюс R и центр окружности O. Точно так же перпендикулярны прямые PR и OQ, а также QR и ОР. Исключая из формулировки полюса и поляры, получаем теорему Брокара.

Пусть точки A, B, C, D лежат на окружности, а пары прямых АВ и CD, ВС и AD, АС и BD пересекаются соответственно в точках Р, Q, R. Тогда высоты треугольника PQR пересекаются в центре окружности.

 

 

Конечно же можно (в принципе) доказать эту теорему без привлечения проективной геометрии, «школьными» методами. Попробуйте!

Вот еще одна теорема, которую легко получить, используя полюса и поляры. Возьмем на окружности (коническом сечении) четыре точки А, В, С, D. Пусть прямые АВ и CD пересекаются в точке S, а прямые АС и BD – в точке М. Как известно, поляра точки S проходит через точку М.

В то же время из принципа двойственности следует, что поляру точки S можно построить, соединив полюса Р и Q прямых АВ и CD. Эти полюса легко найти, как точки пересечения касательных в вершинах А, В и C, D. Значит, точки P, Q, M лежат на одной прямой.

Применяя это же построение к прямым AD и ВС, получаем следующую теорему:

 

Теорема

Если вокруг окружности (конического сечения) описан четырехвершинник, то прямые, соединяющие точки касания противоложных сторон, и диагонали четырехвершинника пересекаются в одной точке.

 

Эту теорему, конечно же, возможно доказать обычным образом, используя подобие треугольников. Кроме того в дальнейшем будет доказана теорема Брианшона, для которой теорема об описанном четырехвершиннике является естественным частным случаем.

 

Попробуем теперь применить доказанные теоремы для исследования свойств гиперболы. Напомним, что гиперболой называется коническое сечение, пересекающее бесконечно удаленную прямую. Касательные в двух бесконечно удаленных точках называются асимптотами гиперболы.

На евклидовой плоскости гипербола и окружность – это две различные кривые второго порядка. С проективной точки зрения между ними нет никакой разницы. Они просто по-разному расположены по отношению к наблюдателю. Все проективные свойства окружности будут также и проективными свойствами гиперболы, параболы и эллипса.

 

Пусть асимптоты гиперболы пересекаются в точке Р, полюсе бесконечно удаленной прямой. Проведем касательную в произвольной точке М. Эта касательная пересекает поляру точки Р и две касательные, проведенные из точки Р, в точках А, В, К таких, что АВ, МК – гармоническая четверка (почему?). Это верно для любой точки Р, лежащей вне конического сечения.

Но если точка К является бесконечно удаленной, то точка М, как известно, будет серединой отрезка АВ. Получаем теорему:

Отрезок касательной к гиперболе, отсеченный асимптотами, делится точкой касания пополам.

Еще одно важное свойство гиперболы можно получить с помощью теоремы об описанном четырехвершиннике.

Рассмотрим четырехвершинник ABCD, сторонами которого являются две касательные и две асимптоты (тоже касательные). В силу доказанной теоремы, прямые АС и BD пересекаются в точке, лежащей на прямой, соединяющей точки касания гиперболы с прямыми AD и ВС, то есть в бесконечно удаленной точке.

Это означает, что прямые АС и BD параллельны. Следовательно, площади треугольников АВС и ADC равны, откуда следует равенство площадей треугольников АВР и СDР. Значит верна теорема:

 

 

 

Треугольник, образованный асимптотами гиперболы и произвольной касательной, имеет постоянную площадь.