Гармоническая четверка (продолжение)

В предыдущей главе гармоническая четверка точек была построена одной линейкой, в духе проективной геометрии. Вернемся на привычную евклидову плоскость и проведем построение с использованием параллельности, равенства отрезков, углов, и прочих непроективных понятий. Впоследствии эти построения приведут к новым проективным теоремам.

Заметим во-первых, что если точка М – середина отрезка АВ, а точка Р – бесконечно удаленная, то АВ,МР – гармоническая четверка. Это произойдет, если одна из диагоналей четырехвершинника станет бесконечно удаленной прямой, а сам четырехвершинник будет выглядеть, как параллелограмм. Построив проекцию такой четверки на любую прямую, получим также гармоническую четверку.

Чтобы построить проекцию бесконечно удаленной точки Р, достаточно провести через центр проекции прямую, параллельную АВ.

Пусть на прямой АВ задана произвольная точка М. Проведем через точку В произвольную прямую и отложим на ней два равных отрезка ВМ' и М'А'. Прямые АА и ММ' пересекаются в точке О. Проводя через точку О прямую, параллельную М'А', до пересечения с АВ в точке Р, получаем гармоническую четверку АВ,МР.

 

Действительно, четверка АВ,МР является проекцией гармонической четверки А'В,М'Р_∞, где М' – середина отрезка А'В, а Р_∞ – бесконечно удаленная точка прямой А'В.

Однако, гораздо более важные следствия можно получить из другого построения, известного еще Аполлонию.

Проведем в треугольнике АВС биссектрису угла С и перпендикулярную к ней биссектрису угла, внешнего к С. Эти биссектрисы пересекают прямую АВ в точках Р и М. По известной теореме планиметрии  и . Следовательно,  и АВ,МР – гармоническая четверка.

 

Угол между биссектрисами СР и СМ – прямой, значит точка С лежит на окружности с диаметром МР (окружность Аполлония). Оказывается, если двигать точку С по этой окружности, то СР и СМ все время будут оставаться внутренней и внешней биссектрисами угла С в треугольнике АВС. Докажем это, а заодно получим еще один способ построения гармонической четверки с помощью окружности.

Для доказательства заметим, что прямые СА и СВ вторично пересекают окружность Аполлония в точках, симметричных относительно диаметра МР. Это следует из того, что равные вписанные углы при вершине С опираются на равные дуги PD и PE.

Наоборот, пусть А – произвольная точка на прямой, содержащей диаметр МР(точка А может лежать и снаружи окружности). Проведем через нее произвольную секущую CD и построим точку окружности Е, симметричную точке С относительно диаметра МР. Тогда прямая ЕС пересечет МР в точке В, и АВ,МР – гармоническая четверка. Действительно, СР и СМ будут являться внутренней и внешней биссектрисами угла С в треугольнике АВС в силу равенства соответствующих вписанных углов.

Интересно, что само построение возникает у Аполлония при решении такой задачи: найти геометрическое место точек плоскости, таких, что отношение расстояний от каждой из них до фиксированных точек А и В постоянно и равно k.

Две из этих точек – М и Р, гармонически разделяют данную пару А и В, а остальные лежат на окружности с диаметром МР. Это следует из свойства биссектрисы .

Можно также заметить, что если на чертеже точки С и Е совпадут, то прямая ВС станет касательной к окружности. Легко доказать, что и в этом случае СМ и СР останутся биссектрисами соответствующих углов. Треугольник АВС станет прямоугольным, тогда из подобия треугольников АСО и СВО следует:

 или , где R – радиус окружности.

Если теперь рассмотреть прямую АВ, как ось координат с началом в точке О, то точки М,Р,А,В будут иметь координаты , или если положить R = 1, то получим .

Точки А и В, гармонически сопряженные относительно концов диаметра МР называются симметричными относительно окружности. Построить их можно также, проводя касательные к окружности, как это видно на чертеже.

Можно рассмотреть преобразование плоскости, которое обменивает местами симметричные точки. При этом все точки, находившиеся внутри окружности, оказываются снаружи, и наоборот. Это преобразование называется инверсией плоскости и обладает многими интересными свойствами, однако подробный разговор о нем – задача другой статьи.

 

Полюс и поляра

Рассмотрев точки, гармонически сопряженные относительно концов диаметра, естественно попытаться рассмотреть точки, гармонически сопряженные относительно концов произвольной хорды. Возьмем произвольную точку А внутри или снаружи окружности и проведем через нее все прямые, пересекающие окружность. Будем для каждой хорды МР строить точку В так, чтобы точки АВ,МР образовали гармоническую четверку.

Докажем, что геометрическое место точек В является некоторой прямой. Эта прямая называется полярой точки А. Для доказательства рассмотрим два случая: 1) точка А расположена вне окружности, 2) точка А расположена внутри окружности.

 

Интересно, что несмотря на различия между чертежами, текст доказательства практически не меняется.

Проведем через точку А диаметр и построим точку С, которая вместе с точкой А гармонически разделяет концы диаметра. Проведем через точку С перпендикуляр р к диаметру и покажем, что любая прямая, проходящая через точку А, пересекает этот перпендикуляр в такой точке В, а окружность в таких точках М, Р, что АВ,МР – гармоническая четверка.

По предыдущей задаче прямые МС и МА пересекают окружность в точках D и Р, симметричных относительно диаметра. Отсюда следует, что прямая СА является биссектрисой угла С в треугольнике МРС. В случае (1) – это внешний угол, в случае (2) – внутренний. Прямая р, перпендикулярная диаметру, является биссектрисой смежного угла. Биссектрисы СА и СВ пересекают основание треугольника СМР в точках А и В, следовательно, АВ, МР – гармоническая четверка.

Прямая р называется полярой точки А. Точка А называется полюсом прямой р. Если полюс лежит внутри окружности, то поляра не пересекает окружность, если полюс лежит вне окружности, то поляра пересекает окружность. Легко видеть, что если точка А лежит на окружности, то ее полярой будет касательная в точке А. Полярой центра окружности служит бесконечно удаленная прямая. Если поляра проходит через центр, то ее полюс – бесконечно удаленная точка.

На первый взгляд между чертежами (1) и (2) есть существенное различие. На чертеже (2) любая точка В прямой р обладает тем свойством, что пара точек АВ гармонически разделяется концами хорды МР. На чертеже (1) это верно только для тех точек прямой р, которые лежат внутри окружности. Для других точек прямой р окружность и прямая АВ вообще не пересекаются, и точки М и Р отсутствуют.

С точки зрения классической (школьной) геометрии естественно считать, что в случае (1) искомым геометрическим местом точек служит отрезок прямой р, находящийся внутри окружности, а в случае (2) – вся прямая р. Однако, мы будем считать, что и в том и другом случае полярой точки А является вся прямая р. К сожалению, оправдать эту точку зрения можно, только рассмотрев точки с комплексными координатами, что явно не удастся сделать в пределах статьи. (Для этого лучше написать учебник.)

 

Поскольку точки, симметричные относительно окружности, можно построить, проводя касательные, то касательные и поляры оказываются тесно связаны. В частности, если полюс лежит вне окружности, то для построения поляры достаточно провести пару касательных из полюса. Полярой будет прямая, проходящая через точки касания.