Получите с помощью закона био-савара-лапласа и принципа суперпозиции выражение для индукции магнитного поля на оси и в центре кругового тока.

;

Два диаметрально противоположных элемента образуют равные , но противоположные по направлению.

 =>

при h=0 (центр кругового тока)

 

, тогда магнитный момент контура с током , ,  при .

6)

Напишите выражение и дайте формулировку теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции.

Циркуляция вектора индукции магнитного поля равна произведению магнитной постоянной на сумму токов, которые охватывает контур интегрирования.

Получите с помощью этой теоремы выражение для индукции магнитного поля прямого бесконечно длинного проводника с током.

Рассмотрим плоский контур в виде окружности радиуса b (результат не изменится, если взять произвольный контур с током). В каждой точке этого контура вектор  одинаков по величине и направлен по касательной к окружности. => циркуляция = произведению B на длину окружности 2πb. Таким образом,  =>

7)

Напишите выражение и дайте формулировку теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции.

Циркуляция вектора индукции магнитного поля равна произведению магнитной постоянной на сумму токов, которые охватывает контур интегрирования.

Получите с помощью этой теоремы выражение для индукции магнитного поля внутри длинного соленоида.

Выбираем замкнутый контур-прямоугольник так, чтобы одна из сторон заходила внутрь соленоида а другая нет(эти стороны параллельны оси соленоида, индукция магнитного поля направлена по ней же). Посчитаем циркуляцию вектора индукции по этому замкнутому контуру:

(последний интеграл равен нулю поскольку на участке 3-4 нет магнитной индукции(отсутствует поле))= (по теореме о циркуляции)= = (n- число витков на единицу длины)
8)

Напишите выражение для потока вектора магнитной индукции через элементарную площадку, поверхность конечных размеров и замкнутую поверхность.

; ( - угол между нормалью к поверхности и направлением индукции магнитного поля)

Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции, напишите выражение и дайте формулировку.

 (так как нет магнитных зарядов)

Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Вихревой характер магнитного поля.

, преобразуем левую часть по теореме Стокса:  должно быть выполнено для любой поверхности, => . Таким образом, ротор магнитного поля отличен от нуля, такие поля – вихревые.

 

 

Тема 10.

Т10.1

Пусть n – концентр. точечных зарядов. В единице объёма ndV зарядов и все они движутся со скоростью u. Тогда на них действует сила(Лоренца),равная

dF = ne[dV u * B ], а т.к. ne = ρ, en u = ρ u = j, то d F = [ j * B dV] – это соотношение и есть закон Ампера

Переход от объёмных токов к линейным

dV = S dl и I = S j => j dV = j S dl = I d l

отсюда очевидно следует

d F = I [d l * B ] или dF = I Bdl sin t,где t – угол между вект. B и d l

Т10.2

По закону Ампера сила, действ. на часть dl проводника равна d F = I [d l * B ] в векторном виде и dF = I Bdl sin t в скалярном(t = 90⁰ => sin t можно опустить). Известно, что инд. прямого проводника с током B = (μ₀ / 4π)(2I/b).

Следовательно на единицу длины тока I₂ действует сила

F_21ед = I₂ B₁ = (μ₀ / 4π)(2I₁ I₂ /b)

Силы F_21ед и F_12ед равны по модулю, но разнонаправлены. Легко видеть, что при одинаковом направлении токов проводники притягиваются, при различном – отталкиваются. 

Т10.3     

Рассмотрим плоский контур с током в однородном магнитном поле В. Контур считаем ориентированным в соответствии с правилом правого винта.

N = ∫[ r,d F ],где r – радиус-вектор, проведенный из произвольной О в точку приложения сил

 

dF₁ = I B dl₁ sin α₁ = IBdy

dF₂ = I B dl₂ sin α₂ = IBdy

Силы, приложенные к контуру обр-ют пару, момент которой равен

dN = IBxdy = IBdS

d N = I[ n B ]dS

N = ∫ I[ n B ]dS = I[ n B ]∫ dS = I[ n B ] S

N = [(I S n), B ]

P_m = IS n => N = [ P_m, B ], где P_m   - дипольный магнитный момент, а n - вектор нормали

 

Т10.4

На элементарный фрагмент контура d l действует сила d F = I[d l * B ]. Результирующая таких сил равна F =∫I[d l * B ]. Если поле однородно(B - const), то вынеся I и B из-под знака интеграла, получим F = I[(∫d l)* B ].

∫d l = 0, поэтому F = 0.Это справедливо для контура любой формы(Во всех 3 случаях инт-л брался по замкнутому контуру).

В случае неоднородного поля (B ≠ const) выражение F =∫I[d l * B ] не обязано быть нулем. Сила dF перпендикулярна B,т.е. к линии магнитной инд. в месте её пересечения с d l.

Поэтому силы, приложенные к различным элементам контура, образуют симметричный конический веер.Их результирующая F направлена в сторону возрастания В и => втягивает контур в область более сильного поля.

F_х = -- ∂W_{p мex} / ∂x = p_m (∂B/∂x) cos α, где α - ориентация магнитного момента по отношению к полю(считается постоянной)

В других направлениях  поле изменяется слабо, поэтому проекциями на другие оси можно пренебречь.

F = F_х

F = p_m (∂B/∂x) cos α

Т10.5

Cила, действующая на перемычку

F = I[ lB ]

При перемещении перемычки на dh сила сов. работу

dA = F d h = I[ lB ] d h

Осуществив в вект. произведении цикл. замену имеем

dA = I B [ l d h ] = I Bn dS

Если контур перемещается на беск малое расстояние, то можно считать совершаемую силой работу равной

dA_эл = I[d l B ] d h

Осуществив в вект. произведении цикл. замену имеем

dA_эл = I B [d h d l ]

|[d h d l ]| = dS => B [d h d l ] = Bn dS = dФ_Эл

dA_Эл = IdФ_Эл

dA = ∫ dA_Эл = ∫ IdФ_Эл = I∫ dФ_Эл = IdФ

A₁₂ = ∫ dA = I∫ dФ = I(Ф₂ – Ф₁)

Ф₂ и Ф₁ – значения магнитного потока в начальном и конечном положении.

 

Тема 11.