Рассеяние на одном центре. Формула Резерфорда

В реальном эксперименте важное требование предъявляется к толщине мишени. Мишень должна быть "тонкой", только в этом случае a-частицы могут испытывать однократные столкновения. На рис. 2 изображены две близкие траектории рассеиваемых a-частиц в кулоновском поле ядра (заряд +Ze). Траектории отличаются значениями прицельного параметра b - расстояния до оси (слева на рисунке 2), соответствующего положению a-частицы, когда она находится вдали от ядра, q - угол рассеяния.

Расчет траектории движения a-частицы в кулоновском поле показывает, что ее траектория – гипербола, при этом прицельный параметр b связан с углом рассеяния q формулой:

      ,                                          (1)

где Z₂e - заряд ядра атома мишени, Z₁e - заряд a-частицы (Z₁=2), Е - энергия a-частицы.

Рис. 2. Рассеяние a-частицы на ядре атома.

Рассеяние характеризуют величиной дифференциального сечения рассеяния, которое определяет вероятность рассеяния a-частицы в зависимости от угла рассеяния q. 

Пусть (см. рис. 2) под углом q к оси падающего на мишень пучка a-частиц в элементе телесного угла dW расположен детектор. Если j – плотность потока пучка, n – число рассеивающих центров (число частиц, находящихся в объеме мишени), пересекаемых пучком, то число частиц, рассеянных в единицу времени в элемент телесного угла dW, будет равно

dA = ds(q)×j×n,                                                    (2)

где ds(q) есть дифференциальное сечение. Поскольку число рассеянных в единицу времени частиц dA зависит от плотности потока j и числа рассеивающих центров n, то удобно ввести дифференциальное сечение, которое не содержит этих зависимостей:

.                                                               (3)

Величина ds(q) имеет размерность площади, зависит от угла рассеяния q и характеризует вероятность упругого рассеяния под данным углом q. Чтобы исключить зависимость дифференциального сечения от величины телесного угла dW, занимаемого детектором, используют еще одно определение дифференциального сечения, приведенного к единице телесного угла:

.                                                               (4)

Выражение для дифференциального сечения рассеяния на одном центре (4) можно преобразовать к следующему виду:

,                                                    (5)

где

                                                                    (6)

есть число рассеянных a-частиц в единицу времени на одном центре. Выражение (5) удобно для выражения зависимости макроскопического параметра рассеяния q от микроскопического (неизмеряемого) прицельного параметра b.

Таким образом, для нахождения  дифференциального сечения рассеяния I(q) необходимо определить величины j и dA и рассчитать число рассеивающих центров

n=n₀LS_m                                                                  (7)

(n₀ - концентрация атомов мишени, L - ее толщина, S_m - площадь поперечного сечения пучка, ограниченная отверстием коллиматора) и элемент телесного угла, определяемый следующим образом:

,                                                  (8)

(S_d - площадь детектора, R - расстояние от мишени до детектора).

Нетрудно видеть, что частицы, попавшие в площадку dS, обязательно пройдут через элемент площади 2pbdb кольца, расположенного на расстоянии b от оси, проходящей через  рассеивающий центр.

Если проинтегрировать выражение (5) по j от 0 до 2p, то dS будет представлять собой площадь кругового пояса, изображенного слева на рис. 2. Поскольку b - микроскопический, неизмеряемый параметр, воспользуемся формулой (8) и выразим dS через измеряемую величину – угол рассеяния q. В результате будем иметь:

,                            (10)

где dW=dS/R²=sinq dq dj, R - расстояние от рассеивающего центра до детектора dS.

Полученное соотношение (10) называют формулой Резерфорда. Соотношению (10) можно придать иной вид:

,                                     (11)

где параметр а равен толщине мишени.

Экспериментальная установка

Экспериментальная установка состоит из прибора-модели и персонального компьютера, который управляет экспериментальной установкой и позволяет проводить математическую обработку результатов измерений. Физическая часть установки представляет собой вакуумированную камеру, в которой находятся (см. рис. 3) радиоактивный источник альфа-частиц, мишень толщиной ~ 1 мкм и полупроводниковый детектор.

 

1

2

4

3

Рис. 3. Внешний вид УЛК “Опыт Резерфорда”. Под прозрачной крышкой расположены: 1) источник a-частиц, 2) мишень и коллиматор, формирующий пучок a-частиц, 3) подвижный детектор, 4) жидкокристаллический индикатор для работы без компьютера. В нижней части передней панели расположены кнопки управления: «сеть», «включение детектора», «поворот детектора», «проверка вакуума», на левой боковой стенке расположена ручка управления мишенью (убрать/выставить под пучок).

       На рабочем столе Windows имеется ярлык "Эксперимент" для входа в программу. Войдя в нее, пользователь может попасть в любой пункт, указанный на дереве программы. Если, например, интересует пункт "Эксперимент", наведем на него курсор и нажмем “Enter” или дважды левую клавишу мыши. В результате появится оглавление, соответствующее содержанию этого пункта.

Параметры установки

1. Источник α-частиц: Pu²³⁸. E=5,48 МэВ с интенсивностью счета под прямым пучком ~ 10⁵-10⁶ имп/с.

2. Мишень: Золотая фольга толщиной L = 1 мкм и плотностью ρ=19,3 г/см³. Число Авогадро N_A=6,022 10²³ моль^-1. Атомный вес золота A_Au=197,2. Заряд ядра золота Z_Au=79.

3. Отверстие коллиматора имеет диаметр D_n=0,4 см.

4. Диаметр детектора D_Д=0,5 см.

5. Расстояние от центра мишени до детектора R=12 см.

6. Давление в камере рассеяния P ~ 1 мм рт столба.