Теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной и интегральной форме.

Теорема об изменении кинетической энергии м.т.: дифференциал кинетической энергии мат точки равен элементарной работе действующей на точку силы.              Т-Т₀=∑A(F_k) –производная в окончательной форме.

Производная от кинетической энергии точки по времени равна мощности действующей на точку силы.

Теорема об изменении кинетической энергии мех системы:T-T₀=∑A_k^e+∑A_kⁱ

38. Силовое поле. Потенциальное силовое поле. Работа сил потенциального поля. Две задачи в теории потенциальных силовых полей.

Силовым полем называется такая область пространства в которой на точку системы находящиеся в этой области действующие силы зависящие от положения точки или положения точки и независящие от скорости. Силовое поле силы которого не зависят от времени наз стационарным. Стационарное силовое поле наз потенциальным если работа силы поля на точку не зависит от траектории движения точки а определяется лишь начальным и конечным положением. Силы потенциальных силовых полей наз потенциальными или консервативными.

Работа силы поля равна разности работ или потенциальной энергии по переносу почки из нулевого положения в заданное. А=П₀-П₁

Две задачи в теории потенциальных силовых полей:1) по известной силовой ф-ции определить силу поля. Задача решается с помощью формулы 

2)По известной силе определить силовую ф-цию.

интергируем

 

39. Потенциальная энергия точки и механической системы.

Потенциальная энергия равна взятой с обратным знаком силовой ф-ции.

Потенциальной энергией системы P(x, y, z) = P(x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂, …, x_n, y_n, z_n) называется сумма работ сил потенциального поля, действующих на точки системы при ее перемещении из данного положения в нулевое.

Силовое поле F(x, y, z) будет потенциальным, если его можно представить в виде градиента скалярного поля:

F(x, y, z) = – grad P = – [(dP/dx)i + [(dP/dy)j + [(dP/dz)k], где P(x, y, z) – потенциальная энергия системы.

40. Полная механическая энергия. Закон сохранения механической энергии.

При действии на систему потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергий остается постоянной в процессе движения. Т+П=const. Доказательство. Теорема об изменении кинетической энергии системы: T₂ – T₁  = A₁₂

для потенциального поля сил примет вид: T₂ – T₁  = P₁ – P₂, или T₁ + P₁ = T₂ + P_{2… чтд}

При наличии трения полная механическая энергия изменяется и часть ее переходит в др. виды энергии(тепловую, электрическую, и др.). 

 

41. Количество движения, момент количества движения и кинетическая энергия твердого тела.

    Количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс. Кинетическая энергия твердого тела равна кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенного с кинетической энергией вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс. Т=(Мv²_c)/2+(_Jc ω²)/2

 

42. Дифференциальные уравнения поступательного движения тел.

При поступательном движении все точки тела имеют одинаковые кинетические характеристики,поэтому для его изучения достаточно изучить движение одной его точки – центра масс.

Mx_c”=∑F_kx^e

My_c”=∑F_ky^e

Mz_c”=∑F_kz^e

 

43. Дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси. Колебания физического маятника.

I_zφ”=∑M_z(F_k^e) – ДУ поступательного движения твердого тела.

Φ”=ε – угловое ускорение.

Физический маятник- твердое тело имеющее неподвижную горизонтальную ось вращения не проходящую через центр тяжести и совершающее колебательные движения в горизонтальной плоскости под действием силы тяжести. Ось крепления физ маятника наз ось привеса.

+ *sinφ=0 - ДУ движения физического маятника.

L_пр=  приведенная длина физ маятника.

К=    - частота

Т=2π  - период

 

  44. Экспериментальные методы определения моментов инерции.

1) способ качений – используются для тел неправильной формы имеющих отверстия.

Тело подвешивают, определяют его положение центра тяжести, отклоняют из равновесного состояния и приводят в колебательное движение. Экспериментально определяют время τ, n – колебаний и Период Т=τ/n и находят Iz

2)Метод крутильных колебаний

 Тело, момент инерции которого необходимо определить, подвешивается на упругом стержне, поворачивается на некоторый угол и отпускается. Начинаются крутильные колебания. Угол закручивания стержня связан с моментом следующим соотношением

= φ        K=    -частота крутильных колебаний      Т=2пи/к

class=WordSection2>

3. способ падающего груза

Метод падающего груза. Недостатком описанных выше двух методов

определения момента инерции ротора является необходимость разборки

двигателя. Метод падающего груза позволяет определить момент инерции

без разборки.

На конце вала или шкива на валу навивают несколько витков гибкого

шнура. Другому концу шнура с прикрепленным к нему грузом дают воз-

можность опускаться (рис. 1.4). При эксперименте измеряют время t, за

которое груз опускается на высоту h. Момент инерции

где m – масса груза, кг;

r – радиус вала или шкива, м;

t –время опускания груза, с;

h – высота опускания груза, м.

45. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.

Плоское движение можно рассматривать как сумму двух движений:

поступательного вместе с центром масс.

Вращательного вокруг оси проходящей через центр масс.

M =∑F_kx^e

M =∑F_ky^e

M =∑F_kz^e ДУ плоского движения.

 

46. Динамика сферического движения. Динамические уравнения Эйлера.

При сферическом движении рассматривается три независимых вращения:

1 – движение вокруг подвижной оси О_z с угловой скоростью собственного движения ω_φ

2 – вращение вокруг неподвижной оси О_z1 с угловой скоростью прицесии ω_ψ

3 - вращение вокруг вокруг линии узлов с угловой скоростью нутации ω_θ.

=M_x^e        I_x +ω_y ω_z(I_z-I_y)=M_x^e

=M_y^e         I_y +ω_z ω_x(I_x-I_z)=M_y^e

=M_z^e          I_z +ω_x ω_y(I_y-I_x)=M_z^e        ДУ Эйлера.

 

 

47. Приближенная теории гироскопов. Гироскоп с двумя, тремя степенями свободы. Гироскопический эффект, гироскопический момент.

   Гироскоп – твёрдое тело, имеющее одну неподвижную точку и совершающее движение вокруг этой точки с большой угловой скоростью. Если центр тяжести гироскопа совпадает с неподвижной точкой, гироскоп называется астатическим. В любом другом случае - тяжёлым. В общем случае гироскоп имеет три степени свободы. Если угол нутации не меняется, то гироскоп имеет две степени свободы. Гироскоп с двумя степенями свободы участвует одновременно в двух движениях: в собственном вращении с угловой скоростью; и прецессионном. При расчётах с использованием приближённой теории используется теорема Резаля.

U= =M₀^e

У гироскопа с тремя степенями свободы все три угла Эйлера изменяются в процессе движения. Поэтому его движение ограничивается только одной неподвижной точкой О.

М₀ вызывает действие на опоры в точках А и В дополнительного момента М_r= - М₀^r – гироскопического момента. Наличие гироскопического момента называется гироскопическим эффектом.

48. Принцип Даламбера для механической системы. Принцип Даламбера для материальной точки. Примеры.

  При движении механической системы главный вектор и главный момент внешних сил относительно произвольного центра как бы устанавливается главным вектором и главным моментом относительно того же центра сил инерции.

∑F_k^e+R^u=0

∑M₀(F_k^e)+M₀^u=0

Принцип Даламбера устанавливает единый подход к исследованию движения любой механической системы вне зависимости от характера налагаемых на это движение условий. При этом динамическим дифференциальным уравнениям движения придается вид уравнений равновесия. Рассмотрим несвободную материальную точку М, движущуюся по кривой АВ под действием активных сил, равнодействующая которых равна F. Обозначив через N силу реакции, с которой кривая АВ действует на точку М, запишем основное уравнение динамики точки/ Силы F, N, Ф образуют сходящуюся систему сил и полученное уравнение выражает условие равновесия этой системы, что и составляет принцип Даламбера для материальной точки.
В каждый момент движения материальной точки действующие на нее активные силы, силы реакций наложенных на точку связей и условно приложенная к точке сила инерции образуют уравновешенную систему сил.
Прикладывая силу инерции к движущейся точке, мы можем говорить лишь об условном равновесии приложенных к ней сил. Однако такая трактовка динамического уравнения движения в некоторых случаях обеспечивает наиболее простое и удобное решение задач динамики - (особенно первой), и поэтому принцип Даламбера широко применяется во многих прикладных дисциплинах.

При движении материальной точки векторная сумма действующих на ней активных сил, равнодействующих реакций и сила инерции будет равна нулю.

Сила инерции равна произведению массы тела на его ускорение и направлена противоположно ускорению. Ф=-ma

 

49.Главный вектор и главный момент сил инерции в различных случаях движения твердого тела.

 

 Главный вектор и главный момент сил инерции в различных случаях движения твердого тела:

Поступательное движение

R^u=-M*a_c        M_z^u=0

Вращение тела вокруг оси не проходящей через центр масс.

R^u=-M*a_c        M_z^u=-I_z*ε

Вращение вокруг оси проходящей через центр масс.

R^u=0   M_z^u=-I_z*ε

Качение.

R^u=-M*a_c= Фщ                       M_z^u=-I_z*ε ε= a_c/R

50. Определение динамических реакций подшипников при вращательном движении твердого тела.

 

 

51. Связи и их классификация. Возможные перемещения. Возможная и действительная работа. Понятие о степенях свободы. Идеальные связи.

     Механическая система называется свободной если её положение или движение не ограничено другими телами не входящими в эту систему (связями).

Связи конструктивно реализуются в виде шарниров, стержней, нитей и т.д. и может описываться в виде уравнений и неравенств.

Виды связи:

Геометрические – связи ограничивающие только координаты точек механической системы

f(x,y,z)=0

Дифференциальные – связи оказывающие ограничения на координаты или скорости системы

f(x,y,z, )=0

Голономные – все геометрические связи и те дифференциальные, которые могут быть проинтегрированы.

Неголономные – дифференциальные неинтегрируемые связи.

Стационарные – связи характеризующие свое действие в течении времени.

f(x,y,z)=0

Нестационарные – связи действие которых на тело меняется с течением времени.

f(x,y,z,t)=a

Удерживающие – связи ограничивающие положение точки в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Неудерживающие – связи ограничивающие положение точки в одном направлении и допускают ее перемещение в противоположном.

Возможными являются любые бесконечно малые перемещения точки или тел системы, допускаемые наложенными связями.

Число независимых возможных перемещений называется степенью свободы.

Возможная работа силы δА равна произведению силы на возможное перемещение точки приложения и на косинус угла между направлением силы и перемещением.

δА(F)=F*δS*cos(F,δS)

Возможная работа момента равна взятому со знаком + или- произведению момента на возможный угол поворота.

δА(М)= + Мδφ

Если сумма работ реакций связей на людом возможном перемещении системы =0, то такие связи называются идеальными(связи без трения).

51. Принцип возможных перемещений.

Возможными перемещениями точки называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в каждый момент времени наложенными на нее связями.

Под возможными перемещениями системы мы будем понимать множество возможных перемещений всех ее точек.

Система материальных точек или тел подчинённых идеальным связям и наход. В положении равновесия.

(F1a, F2a, Fna) – положение активных сил в равновесии.

F1a =-R1; F2a =-R2;..

∑бАк=∑бАкa+∑бАкR=∑FкaбSk*cos(Fкa^;бSk)+

∑RкaбSk*cos(Rк^;бSk)=0 т.к. Fka=-Rk

∑RкaбSk*cos(Rк^;бSk)=0 – идеальная система

∑бАкa=∑FкaбSk*cos(Fкa^;бSk)=0

∑бАкa=0. Для уравнений систем с идеальными связями алгебраическая сумма элементарных работ активных сил на любом возможном перемещении системы =0

 

53. Общее уравнение динамики (принцип Даламбера- Лагранжа).

∑δА_к^а+∑δА_к^и=0 - принцип Даламбера- Лагранжа

При движении механической системы с идеальными связями алгебраическая сумма возможной работы активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы =0.

 

54. Обобщенные координаты, скорости, ускорения. Обобщенные силы. Определение числа степеней свободы систем тел.

Любые независимые параметры определяющие положение точек или тел системы в пространстве называются обобщенными координатами и обозначаются (q_1,q₂,…,q_n).

Обобщенная скорость равна первой производной от обобщенной координаты по времени, обобщенное ускорение – 2-й производной от обобщенной коодинаты по времени.

Q_i=∑(F_kx +F_ky +F_kz ) – обобщенная сила

Если на систему действуют только потенциальные силы то Q_i=-

Свободная система n материальных точек имеет 3n степеней свободы, у несвободной меньше 3n.

 

55. Уравнение Лагранжа 2-го рода.

()- =Q_i - Уравнение Лагранжа 2-го рода

Число уравнений Лагранжа равно числу обобщенных координат(числу степеней свободы)

 

56. Уравнение Лагранжа 2-го рода для консервативных систем. Кинетический потенциал.

()- =    - Уравнение Лагранжа 2-го рода для консервативных систем

Функция L=T-П – кинетический потенциал.

 

57. Основные гипотезы элементарной теории удара. Теорема об изменении количества движения и момента количества движения при ударе.

Ударом называется такое явление при котором скорости точек тела за бесконечно малый промежуток времени меняется на конечную величину. Время за которое это происходит называется временем удара. В теории удара рассматриваются не ударные силы а ударные импульсы.

mv-mu=∑S_k^e - Теорема об изменении количества движения

Теорема об изменении количества движения точки при ударе.

=∑M₀(F_k^e) – относительно точки

=∑M_z(F_k^e) – относительно оси

 

58. Коэффициент восстановления. Экспериментальное определение.

Одним из способов определения коэффициента восстановления при ударе может служить определение высоты отскока шара от неподвижной поверхности, падающего на нее с высоты  без начальной скорости. Скорость шара в начале удара     . В конце удара , где  − высота, на которую шар поднимется после удара. Тогда:

K=U/v – коофициент восстановления

К=0 –неупругий удар

К=1 – обсалютно упругий удар

0<K<1 – упругий удар

 

59.Упругий и неупругий удар. Прямой и косой удар по гладкой поверхности. Прямой удар двух шаров.

Взаимодействие тел, при котором за малый промежуток времени скорости точек изменяются на конечную величину, называется ударом. Силы, возникающие при таком взаимодействии, называются ударными. Из теоремы об изменении количества движения следует, что импульс этих сил за время удара есть конечная величина

Прямой центральный удар двух тел.

Удар называется прямым и центральным, если центры масс тел до удара двигались по одной прямой, по оси х, точка встречи их поверхностей оказывается на этой же прямой и общая касательная Т к поверхностям будет перпендикулярна оси х (рис.112).

 

 

Если касательная Т не перпендикулярна этой оси, удар называется косым

Пусть тела двигались поступательно со скоростями их центров масс  и  . Определим каковы будут их скорости  и   после удара.

За время удара   на тела действуют ударные силы  , импульсы   которых, приложенные в точке касания, показаны на рис.112,б. По теореме об изменении количества движения, в проекциях на ось х, получим два уравнения    

        (1)

 

где   и   - массы тел;    - проекции скоростей на ось х.

 

60. Теорема об изменении кинетической энергии при ударе (теорема Карно). Действие ударной нагрузки на вращающееся тело. Центр удара.

Теорема об изменении кинетического момента механической системы при ударе.

При неупругом ударе в механической системе потеря кинетической энергии равна кинетической энергии данной системы, если бы она двигалась с потерянными скоростями.Изменение кинетического момента механической системы относительно любого неподвижного центра за время удара равно сумме моментов всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы, относительно этого же центра.

 Первая теорема Карно

Потерянная кинетическая энер­гия равна энергии точки массой , которая движется со скоростью, равной

разности ско­ростей точек до удара: . М называется в механике приведенной массой системы.

Центр удара - это точка вращающегося тела, при действии на которую ударного импульса, не возникают ударные реакции. Если что такая точка существует.  .Для системы координат с началом в точке   и направлением оси   таким образом, чтобы она проходила через точку приложения ударного импульса, то для обращения в ноль импульсов реакций необходимо , т.е. ось  должна быть главной осью инерции для точки .

Для того чтобы при действии ударного импульса на вращающееся тело в подшипниках не возникали ударные реакции, надо, чтобы выполнялись условия: 

Центр удара лежит в плоскости, проходящей через центр масс и ось вращения, на расстоянии  от оси.

Ударный импульс направлен перпендикулярно этой плоскости. 

Ось вращения является главной для точки ее пересечения с плоскостью действия ударного импульса.

1.Законы динамики. Основное уравнение динамики точки.