Дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки в форме Эйлера.

Кинетический момент при сложном движении тела. Закон сохранения кинетического момента.

Кинетический момент системы в сложном движении

Наряду с инерциальной системой отсчета с осями xyz введем поступательно движущиеся С координаты с началом в центре масс С (Рис.3). Теперь движение каждой точки можно представить как сложное. Скорость точки будет складываться из переносной скорости, равной для всех точек скорости центра масс С и относительной скорости v_jr

v_j=v_C+v_jr    (7)

Кроме того, из рисунка видно, что

r_j=r_C+ r _j       (8)

Теперь

K_o= S m_j(r_C+ r _j) × (v_C+v_rj)=

r_C × v_C S m_j+ r_C × S m_j v_rj+ (S m_j r _j) × v_C+ S m_j r _j × v_rj             (9)

Здесь второе и третье слагаемые равны нулю поскольку по определению центра масс

Sm_jr_j=Mr_C=0          Sm_jv_rj=d/dtSm_jr_j=0 (10)

Последнее слагаемое логично назвать относительным кинетическим моментом системы

K_C= S m_j r _j × v_rj           (11)

Теперь

K_O= K_C+ r_C × M v_C               (12)

 

Импульс силы. Импульс равнодействующей. Импульс внутренних сил.

Импульс силы — это векторная физическая величина, равная произведению силы на время её действия.

За конечный промежуток времени:   

Изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей сил, действующих на данное тело.

 

31. Элементарная работа силы и момента. Работа равнодействующей.

Элементарная работа силы может определяется по формуле δA(f)=F*dσ*cos(F,v) независимо от направления происходящего движения. Если точка перемещается под действием переменной силы F то δA(F)=F_x dx+F_y dy+F_z dz

Работа равнодействующей: Теорема 1.

Я и 2-я основные задачи динамики и методы их решения.

Дифференциальные уравнения движения точки в декартовых

Дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки в

Прямолинейное движение материальной точки.

Интегрирование ДУ движения в случаях, когда сила зависит от скорости, времени,

Колебания математического маятника.

Динамика относительного движения точки. Динамическая теорема

Свободные колебания точки, частота и период колебания.

Колебания при наличии сил вязкого трения (затухающие колебания).

Вынужденные колебания материальной точки. Явление резонанса.

Вынужденные колебания при наличии вязкого сопротивления.

13. Понятие о механической системе. Основные определения. Свойства внутренних  

Масса системы. Центр масс, определение его положения. Положение центра.

15. Моменты инерции твёрдого тела: полярные и осевые моменты. Зависимость

Центробежные моменты инерции. Центробежные моменты для тел, имеющих

17. Теорема Гюйгенса-Штейнера о вычислении моментов относительно

Вычисление моментов инерции однородных тел: тонкая пластина, тонкий

Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей.

Эллипсоид инерции. Центральные оси инерции. Экстремальные свойства

Дифференциальные уравнения движения точек механической системы.

Теорема о движении центра масс. Закон сохранения движения центра масс.

Меры механического движения (количество движения, момент количества

Меры силового воздействия (импульс силы, работа силы).

25. Количество движения. Теорема об изменении количества движения точки.

Теорема об изменении количества движения механической системы в

Момент количества движения точки и механической системы относительно.

Теорема об изменении кинетического момента. Теорема Резаля.

Кинетический момент при сложном движении тела. Закон сохранения момента.

Импульс силы. Импульс равнодействующей. Импульс внутренних сил.

Элементарная работа силы и момента. Работа равнодействующей.

Работа внутренних сил мех. сист. и твердого тела. Теоремы о работе силы.

Вычисление работы силы тяжести, сил трения скольжения и качения, силы

Работа постоянной силы во вращательном движении. Работа момента. качению.

Кинетическая энергия точки и механической системы.

Дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки в форме Эйлера.

Если точка является несвободной (на движение точки наложены связи), в число действующих на точку сил включаются реакции связей.

 

Силы, входящие в правую часть дифференциальных уравнений движения, в общем случае могут являться функциями от времени t, скорости v и координат х, у, z точки.

 - равнодействующая реакция связи

                       

5.Прямолинейное движение материальной точки.

Равномерным прямолинейным движением называется движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Уравнение такого движения в векторной форме записывается так:

где — перемещение, — скорость движения, t — время.

При прямолинейном движении ось координат направлена по направлению движения точки, в результате чего из 3-х ДУ

остаётся одно:   

6.Интегрирование ДУ движения в случаях, когда сила зависит от скорости, времени, координаты.

Интегрирование ДУ движения для случая F = F (t)

Уравнение задачи Коши с помощью первой подстановки a = dv / dt приводится к системе двух ДУ. получим первый интеграл – закон изменения скорости и второй интеграл – закон движения:

v = v ₀ + (1/ m) ,

x = x ₀ + v ₀ t + (1/ m) .      

 

 Интегрирование ДУ движения для случая F = F (x)

 

 

Уравнение задачи Коши с помощью второй подстановки a = vdv / dx позволяет получить первый интеграл

и второй – аналогичный:

 

Интегрирование ДУ движения для случая F = F (v)

В этом случае рекомендуется пользоваться следующим правилом:

Если в задаче дано или нужно найти время t,применять первую подстановку a = dv / dt.

Если в задаче можно обойтись без определения времени, следует применять вторую подстановку a = vdv / dx.

7. Колебания математического маятника.

Математический маятник – м.т. подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, совершающая движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

- ДУ колебательного движения

- период

- частота  

8. Динамика относительного движения точки. Динамическая теорема Кориолиса. Частные случаи её применения. Влияние вращения земли на движение тела.

В динамике встречаются случаи когда движение точки происходит относительно (неинерциальной) системы отсчёта.В этом случае основные законы динамики неприменимы.

аа = аr + ae + ac

аr – относит. ускорение ae – перенос. ускорение ac – кориол. ускорение

-mae = Фe – переносная сила инерции -maс = Фс – кориолисовая сила инерции

mar =  + N + Фс + Фе

Все уравнения динамики абсолютного движения будут справедливы и в случае относительного движения точки, если ко всем действующим на точку силам присоединить переносное и кориолисовое ускорения.

9. Свободные колебания точки, частота и период колебания.

 - ДУ свободных колебаний - циклическая частота  - период

 

Влияние постоянной силы на свободные колебания. Определение эквивалентной жесткости при последовательном и параллельном соединении пружин.

Постоянная действующая сила не влияет на характер колебательного движения, но вызывает смещение равновесного состояния на величину fcm.

Последовательное соединение:

Паралельное соединение:

10. Колебания при наличии сил вязкого трения (затухающие колебания). Декремент колебаний. Апериодическое движение.

- ДУ затухающих колебаний при силе сопротивления прямопропорц. скорости.

k - циклическая частота колебаний.

n - коэффициент учитывающий сопротивление.

- декремент колебаний  - показ. насколько быстро измен. амплитуда колебаний

 - такое движение наз. апериодическим

 

11. Вынужденные колебания материальной точки. Явление резонанса. Коэффициент динамичности. Поведение системы в околорезонансной зоне. Биение.

Вынужденные колебания будут происходить если на точку помимо востонавливающей силы действует сила периодического характера – возмущающая сила.

Появление возмущающей силы может возникать при непосредственной её приложении к движущей точке (силовое возбуждение и действий на основание к которому точка прикреплена кинимотическое возбуждение)

В случае когда возмущающая сила Р меньше частоты свободных колебаний то колебания происходят с малой частотой. Если Р > K – вынужденные колебания большой частоты.

Отношение амплитуды вынужденных колебаний А к статической деформации называется коофициентом динамичности.Η=А/f_ct=    

В случаях когда частота свободных колебаний близка к возмущающей силе возникает биение.

Если частота собственных колебаний совпадает с частотой собственной силы возникает резонанс.

 

12. Вынужденные колебания при наличии вязкого сопротивления. Коэффициент динамичности. Сдвиг фаз.

Коэффициентом динамичности в теории колебаний называют безразмерную скалярную физическую величину, определяемую следующим выражением:

где

А — амплитуда

А_0 — равновесная амплитуда представляющая собой статическую деформацию упругой связи под действием максимальной силы P_0

ω — частота возмущения

p — собственная частота колебаний

n — коэффициент, характеризующий силы вязкого трения

Непосредственное определение коэффициента n, затруднительно. Поэтому в формулу (1) целесообразно вместо n ввести коэффициент поглощения ψ. Тогда

Преимуществом формулы (2) является, то что коэффициент динамичности ставиться в зависимость от энергетической характеристики трения ψ, что позволяет использовать эту формулу не только для вязкого трения, но и для других законов трения.

Сдвиг фаз — разность между начальными фазами двух переменных величин, изменяющихся во времени периодически с одинаковой частотой. Сдвиг фаз является величиной безразмерной и может измеряться в градусах, радианах или долях периода. В электротехнике сдвиг фаз между напряжением и током определяет коэффициент мощности в цепях переменного тока.

вынужденные колебания ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ

 

 

13. Понятие о механической системе. Основные определения. Свойства внутренних сил механической системы.

Система – совокупность тел, связанных между собой. Силы, действующие на тела системы делятся на внешние и внутренние.

Внешние () – называются силы взаимодействия между телами данной системы и телами, которые в данную систему не входят. Внутренние () – наз. Силы взаимодействия между телами. Одна и та же сила может быть одновременно и внешней и внутренней, в зависимости от того какая система рассматривается.

Свойства внутренних сил:

1) главный вектор (геом.сумма) и сумма проекций всех внутренних сил на произвольно выбранной оси координат равны нулю.

2) главный момент (геометрическая сумма моментов) действующих внутренних сил относительно произвольного центра и сумма моментов внутренних сил относительно произвольных осей координат равны нулю.

3)система м.т. на которую не налагаются внешние связи называется свободной, в любом другом случае система является несвободной.

 

14. Масса системы. Центр масс, определение его положения. Положение центра масс при наличии оси или плоскости симметрии. Понятие о центре тяжести.

Масса системы равна алгебраической сумме масс точек или тел её составляющих.

Положение центра масс системы определяется радиусом-вектором либо координатами.

, где rk – радиус-вектор k-той точки или системы

Координаты центра масс определяются с помощью этой же формулы относительно (x,y,z)

Центр тяжести- точка пересечения осей, статический момент которой равен нулю.

Центр тяжести двух материальных точек имеет весьма простой механический смысл. Представим себе жёсткий “невесомый” стержень АВ, в концах которого помещены массы а и b. “Невесомость” стержня практически означает, что его масса по сравнению с массами a и b настолько незначительна, что ею можно пренебречь. Центр тяжести С материальных точек (A, a) и (B, b) — это такая точка, в которой надо подпереть стержень AB, чтобы он был в равновесии.

 

15. Моменты инерции твёрдого тела: полярные и осевые моменты. Зависимость между ними. Радиус инерции.

Моментом инерции относительно плоскости называется сумма произведений массы каждой из точек тела на квадрат расстояния от точки до плоскости.

Моментом инерции относительно оси наз. Сумма произведений массы каждой из точек системы на квадрат расстояния от точки до оси.

 Полярный момент инерции (относительно полюса) наз. Сумма произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от точки до полюса.

РАДИУС ИНЕРЦИИ - величина r, имеющая размерность длины, с помощью к-рой момент инерции тела относительно данной оси выражается ф-лой I = Мr, где М - масса тела.

 

16. Центробежные моменты инерции. Центробежные моменты для тел, имеющих ось или плоскость симметрии.

Центробежный момент инерции относительно двух осей координат называется сумма произведений массы каждой из точек тела на координаты вдоль соответствующих осей.

Если тело имеет ось симметрии, то центробежный момент инерции тела равен нулю и оси у, х являются главными

 

17. Теорема Гюйгенса-Штейнера  о вычислении моментов относительно параллельных осей.

Момент инерции твёрдого тела относительно оси не проходящей через центр масс равен сумме моментов инерции относительно центральной оси проходящей через центр масс и параллельной заданной и произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

где

JC — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

J — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

m — масса тела,

d — расстояние между указанными осями.

18.Вычисление моментов инерции однородных тел: тонкая пластина, тонкий стержень, кольцо, цилиндр, конус.

Тонкий стержень:             Тонкий цилиндр:

Тонкая пластина:         Конус:

Тонкое кольцо:                                 Шар:

 

19. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей.

Позволяет найти момент инерции относительно любой оси проходящей через оси координат и составляющие угля

 с этими осями, через величины осевых и центробежных моментов инерции этих осей.

20. Эллипсоид инерции. Центральные оси инерции. Экстремальные свойства моментов инерции.

Центр эллипсоида находится в начале координат.

3 оси симметрии эллипсоида называются главными осями инерции, моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Если в качестве осей координат принять главные оси инерции, то центробежные моменты инерции относительно этих осей будут равны нулю.

ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ -поверхность, характеризующая распределение моментов инерции тела относительно пучка осей, проходящих через фиксированную точку О. Строится Э. и. как геом. место концов отрезков OK= 1/ , отложенных вдоль Ol от точки О, где Ol- любая ось, проходящая через точку О; Il - момент инерции тела относительно этой оси (рис.). Центр Э. и. совпадает с точкой О, а его ур-ние в произвольно проведённых координатных осях Oxyz имеет вид

где Ix, Iy, Iz - осевые, а Ixу, Iyz, Lzx - центробежные моменты инерции тела относительно указанных координатных осей. В свою очередь, зная Э. и. для точки О, можно найти момент инерции относительно любой оси Оl, проходящей через эту точку, из равенства Il= 1/R2, измерив в соот-ветдтвующих единицах расстояние R = OK.

21. Дифференциальные уравнения движения точек механической системы.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек M_i   c массами m_i (i = 1, 2, …, n), на каждую из которых действует равнодействующая внешних F_i ^{( e )} и внутренних F_i ^{( i )} сил.

Для каждой точки системы можно записать основное уравнение динамики:

m_i a_i = F_i ^(e) + F_i ⁽ⁱ⁾, (i = 1, 2, …, n). (3.4)

Проектируя каждое из уравнений (3.4) на оси координат, получим систему 3 n дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих движение системы

(3.5)

 

(i = 1, 2, …, n).
Эти уравнения и называются дифференциальными уравнениями движения системы. Вместе с соответствующими начальными условиями они образуют задачу Коши, решив которую, мы найдем закон движения механической системы.

О том, насколько сложной является поставленная задача можно судить хотя бы по тому, что к настоящему времени в общем виде она решена только для n = 2.

22. Теорема о движении центра масс. Закон сохранения движения центра масс.

Центр масс — воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение масс этой системы.

Закон движения центра масс — в инерциальных системах отсчёта центр масс системы движется как материальная точка, в которой находится масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

; ;

Система центра масс — система отсчёта, относительно которой центр масс механической системы неподви жен.

Центр масс механической системы движется как точка, масса которой равна массе всей системы M=Σm_i, к которой приложены все внешние силы системы:

или в координатной форме:

где - ускорение центра масс и его проекции на оси декартовых координат; внешняя сила и ее проекции на оси декартовых координат.

 

23. Меры механического движения (количество движения, момент количества движения, кинетическая энергия).

Количество движения, мера механического движения, равная для материальной точки произведению её массы m на скорость v.

Количество движения Q механической системы равно геометрической сумме Количество движения всех её точек или произведению массы М всей системы на скорость v её центра масс.

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ - одна из динамич. характеристик движения материальной точки или механич. системы.

Кинети́ческая эне́ргия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек.

 

24. Меры силового воздействия (импульс силы, работа силы).

Элементарным импульсом силы называется векторная величина равная произведению силы на бесконечно малый промежуток времени её действия. Импульс силы за конечный промежуток времени равен интегральной сумме:

Работа силы - мера действия силы, зависящая от численной величины и направления силы и от перемещения точки её приложения.

 

25. Количество движения. Теорема об изменении количества движения материальной точки.

1)теорема в дифференциальной форме

Производная по времени количества движения м.т. равна векторной сумме действующих на неё сил:

2)теорема в конечной (интегральной форме): изменение количества движения м.т. за некоторый промежуток времени, равно векторной сумме импульсов действующих на неё сил:

Количество движения, мера механического движения, равная для материальной точки произведению её массы m на скорость v. К. л. mv — величина векторная, направленная так же, как скорость точки.

Закон сохранения количества движения м.т.: 

2)

 

26. Теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и интегральной форме. Закон сохранения количества движения.

- производная по времени от количества движения мех.сист. равна векторной сумме приложенных к ней внешних сил.

 - изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот-же промежуток времени.

 

27. Момент количества движения точки и механической системы относительно полюса и оси. Вычисление кинетического момента тела относительно оси вращения.

Вектор момента количества движения точки  равен векторному произведению радиус-вектора r проведённого из точки О в точку приложения вектора mv на вектор mv:

Алгебраический момент количества движения точки относительно некоторого центра, равен произведению модуля q на плечо h (кратчайшее расстояние от точки 0 до линии действия вектора q):

Момент количества движения положителен если вектор mv стремится вращать плоскость действия против часовой стрелки.

Моментом количества движения q=mv относительно некоторой оси Oz наз. Взятое со знаком + или – произведение проекции вектора q на плоскость перпендикулярную оси Oz на плечо h этой проекции относительно точки O (пересечение оси и плоскости):

Кинетическим моментом или главным моментом количества движения системы относительно некоторого центра наз. вектор равный геометрической сумме моментов количества движения точек или тел её составляющих.

Кинетический момент механической системы относительно некоторой оси равен алгебраической сумме моментов количества движения точек или тел относительно этой же оси.

28. Теорема об изменении кинетического момента. Теорема Резаля.

1) теорема моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения системы относительно некоторого центра, равна главному моменту действующих на систему внешних сил относительно того-же центра