Понятие матрицы. Действия над матрицами

Элементы линейной алгебры

 

Учебно-методическое пособие

 

 

Учебная дисциплина: Элементы высшей математики

 

Специальности:  230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и

автоматизированных систем»

230106 «Техническое обслуживание средств вычислительной

                                          техники и компьютерных сетей»

 

 

Разработал:

Е.В. Тышкевич

 

 

2010

Содержание

 

Пояснительная записка	3
1 Понятие матрицы. Действия над матрицами	4
1.1 Линейные операции над матрицами	4
1.2 Нелинейные операции над матрицами	5
1.3 Примеры для самоконтроля	7
2 Определитель матрицы	8
2.1 Свойства определителя	10
2.2 Определителя высших порядков	13
2.3 Примеры для самоконтроля	14
3 Обратная матрица	15
3.1 Примеры для самоконтроля	16
4 Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)	17
4.1 Решение СЛАУ матричным способом	17
4.2 Примеры для самоконтроля	18
4.3 Формулы Крамера для решения СЛАУ	19
4.4 Примеры для самоконтроля	20
4.5 Ранг матрицы	20
4.6 Метод Гаусса (метод последовательного исключения)
неизвестных	21
4.7 Примеры для самоконтроля	23

 

Пояснительная записка

 

Данное методическое пособие предназначено в помощь студентам по изучению Модуля ЕН.01.М.01 «Элементы линейной алгебры», а также выполнения самостоятельной работы по данному модулю.

Уровни усвоения

Знать:

- определение матрицы, типы матриц, действия над ними;

- правила вычисления определителя матрицы (частный и общий случаи);

- алгоритм обращения матриц;

- основные (точные) методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Уметь:

- выполнять действия над матрицами;

- вычислять определители матриц;

- обращать матрицы;

- находить решение СЛАУ с помощью точных методов.

Для усвоения материала и достижения целей, студенты должны выполнить:

1 Практическую работу 1 «Действия над матрицами, вычисление определителя матрицы, обращение матриц».

2 Практическую работу 2 «Матричные уравнения. Решение СЛАУ по формулам Крамера и методом Гаусса».

3 Практическую работу 3 «Решение произвольных СЛАУ».

4 Самостоятельную работу, которая содержит типовые задания по модулю «Элементы линейной алгебры».

По окончанию изучения модуля студенты выполняют тест на выходе.

В данном методическом пособии представлен краткий теоретический курс по модулю «Элементы линейной алгебры» с примерами выполнения типовых заданий.

Примеры для самоконтроля

Выполнить действия над матрицами

1) , где  и

2) , где  и .

 

Ответы:

1) ; 2)

Определитель матрицы

 

Определение: Определителем или детерминантом квадратной матрицы порядка n называется число, вычисляемое из элементов этой матрицы по определенному правилу.

Обозначается символами  или .

Строки и столбцы определителя называются его рядами.

 

В определителе различают главную и побочную диагонали.

Главная диагональ образована элементами, стоящими на линии, соединяющей левый верхний элемент с правым нижним.

Побочная диагональ образована элементами, стоящими на линии, соединяющей левый нижний и правым верхним

 

Определитель матрицы 1-го порядка равен самому элементу этой матрицы

 

Определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали, т.е .

 

Определителем третьего порядка, обозначается  и определяется равенством .

Дл удобства запоминания данного равенства используется так называемое правило треугольников:

                     

                                           +                        –

Пример: Вычислить определители 2-го и 3-го порядка для соответствующих матриц: , .

Решение:

1) ;

2)

Определение: Минором элемента a_ij  матрицы А порядка n называется определитель порядка (n -1), полученный из элементов матрицы после вычёркивания из неё строки с номером i и столбца с номером j, на пересечении которых стоит этот элемент. Обозначается минор символом М _ij.

Например, в матрице

Запишем минор элемента a ₂₃. Для этого вычеркнем 2-ю строку и 3-ий столбец и оставшиеся элементы запишем определителем 2-го порядка.

Заметим, что определитель 3-го порядка имеет 9 таких миноров.

Определение: Алгебраическим дополнением элемента a_ij матрицы А порядка n называется минор этого элемента М _ij, взятый со знаком , т.е.

Если сумма номеров строки и столбца данного элемента четная, то алгебраическое дополнение и минор элемента совпадают, а если эта сумма нечётная, то алгебраическое дополнение и минор имеют одинаковую величину, но разные знаки. Например, для рассматриваемой матрицы

Основное правило вычисления определителей

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведения элементов какого-либо ряда матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения, .

 

Это правило называется разложением определителя по элементам какого-либо ряда. Результат вычисления определителя не зависит от выбора ряда, по которому ведется разложение.

Пример:

Запишем разложение определителя по элементам 2-го столбца.

Таким образом, вычисление определителя 3-го порядка свелось к вычислению трёх определителей 2-го порядка.

Примеры: Вычислить определители:

1) ;    2) ; 3) .

Решение:

1) Запишем разложение определителя по элементам 1-ой строки.

 

2) Очевидно, что наиболее выгодным является разложение определителя по элементам 2-ой строки, так как в разложении останется только одно слагаемое.

Таким образом, вычисление определителя 3-го порядка свелось к вычислению определителя 2-го порядка.

 

Свойства определителя

 

1 Определитель матрицы не изменится при ее транспонировании.

Транспонирование – перемена ролями строк и столбцов матрицы. Это свойство говорит о равноправности строк и столбцов матрицы. Например

Определители этих матриц равны, так как столбцы матрицы А^т  являются строками матрицы А.

 

2 Если переставить в определители матрицы два параллельных ряда, то он сменит знак на противоположный.

 

 

3  Множитель, общий элементам какого-нибудь ряда, можно вынести за знак определителя:

Или обратное: чтобы умножить на число, нужно умножить на это число элементы одного из рядов определителя.

 

4 Определитель матрицы равен нулю, если все элементы матрицы какого-либо ряда равны нулю

 

5 Определитель матрицы равен нулю, если матрица содержит два одинаковых ряда

 

6 Определитель матрицы равен нулю, если матрица содержит два ряда, которые пропорциональны

(видно, что 1-ой строки получается умножением элементов 3-ей строки на . Это число можно вынести за знак определителя и получится определитель с двумя одинаковыми строками).

7  Определитель матрицы равен нулю, если в матрице есть ряд, элементы которого представляют собой линейную комбинацию соответствующих элементов других рядов.

 

Поясним это свойство и понятие линейной зависимости на примере определителя

Если все элементы 1-ой строки умножить на (-1) и сложить соответствующими элементами 2-ой строки, предварительно умноженным на 2, то получится элементы 3-ей строки. Это значит, что третья строка есть линейная комбинация двух других.

Конечно, такую линейную комбинацию сразу не видно, но если в результате вычисления определителя получится ноль, то можно утверждать, что его ряды линейно зависимы, т.е. какой-либо ряд можно представить в виде линейной комбинацией остальных.

 

8 Если все элементы какого-либо ряда определителя представить в виде суммы двух слагаемых, то определитель можно записать в виде суммы двух определителей.

 

9 Определитель матрицы не изменится, если все элементы какого-либо ряда умножить на отличное от нуля число и прибавить к соответствующим элементам другого ряда.

Проиллюстрируем это свойство на примере определителя 3-го порядка

Умножили все элементы 1-ой строки на (-3) и прибавили к соответствующим элементам 2-ой строки. При этом элементы 1-ой строки не изменяются, а изменяются только элементы 2-ой строки.

Получили новый определитель, но по свойству 9 его величина равна величине исходного определителя.

 

Замечание: Если в исходном определителе нет нулей, то их можно получить, выполняя с рядами определителя различные линейные операции: умножить элементы какого-либо ряда на число и сложить с соответствующими элементами другого ряда так, чтобы при этом какой-либо элемент стал равен нулю. Согласно свойству 9 величина определителя при этом не изменится. Такие действия можно проводить необходимое число раз.

 

Получаем нули в 1-ой строке вместо чисел (-2) и 3. Для этого умножаем все элементы 1-го столбца на 2 и складываем с элементами 2-го столбца. Аналогично умножаем элементы 1-го столбца на (-3) и складываем с элементами 3-го столбца. (При этом элементы 1-го столбца не меняются).

 

Заметим, что всегда легко получить нули, если в определителе есть 1 или (-1). Если же таких нулей нет, то путём аналогичных линейных операций над рядами можно сначала получить 1 или (-1) вместо какого-либо элемента, а затем получать нули, как в приведенном выше примере.

 

Примеры для самоконтроля

 

           

Обратная матрица

Определение: Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

Определение: Матрица  называется обратной для невырожденной матрицы А, если произведение матриц А и  равно единичной матрице:

.

Итак, обратная матрица существует, если исходная матрица квадратная имеет отличный от нуля определитель.

 

Схема нахождения обратной матрицы

1 Вычисляем определитель матрицы А. Если , делаем вывод, что обратная матрица существует.

2 Транспонируем данную матрицу.

3 Составляем союзную матрицу , элементами которой являются алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы.

4 Все элементы матрицы  делим на величину определителя матрицы А.

 

Формулу для нахождения обратной матрицы можно записать в виде

Пример1: Найти матрицу обратную к данной .

Решение:

Действуем по схеме:

1  – существует.

2 Транспонируем данную матрицу: .

3 Составляем союзную матрицу: на место каждого элемента матрицы  ставится его алгебраическое дополнение:

            

             

Союзная матрица: .

4 Находим обратную матрицу:

.

Проверка: Произведение

 

Пример2: Найти матрицу, обратную данной .

Решение:

1

.

2 .

3Находим союзную матрицу:

               

Итак, союзная матрица .

4 . Проверку сделать самостоятельно.

 

Примеры для самоконтроля

Найти обратные матрицы для данных.

1     2           3

4 5 6

Ответы:

1)                      2)              3)

4)   5)       6)

Примеры для самоконтроля

1  ,                   

2  ,                           

 

Заметим еще раз, что правильность нахождения обратной матрицы можно проверить условием , а правильность решения матричного уравнения – подстановкой найденной матрицы Х в это уравнение.

Примеры для самоконтроля

1 2         3

Ответы:

1 ;              2 ;  3 .

Ранг матрицы

Определение: Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

 

Из определения ранга следует, что если ранг матрицы равен r, то в матрице имеется хотя бы один минор r -го порядка, не равный нулю, а все миноры (r +1) -го порядка и более высоких порядков равны нулю.

Отметим, что ранг нулевой матрицы  равен нулю, а ненулевой матрицы-строки (столбца) равен единице.

При вычислении ранга матрицы необходимо найти минор максимального порядка, отличный от нуля. В этом случае переходят от миноров меньших порядков (начиная с первого) к минорам больший порядков, придерживаясь следующего правила: пусть найден минор r -го порядка М _ij, отличный от нуля; тогда нужно вычислить лишь миноры (r +1)-го порядка, окаймляющие данный минор. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен r; если же хотя бы один из них отличен от нуля, то эту операцию следует применить к нему, причем в этом случае ранг матрицы заведомо больше r.

Этот метод вычисления носит название метода окаймления.

Так как количество определителей различных порядков, порождаемых матрицей, обычно велико, то вычисление ранга окаймлением очень трудоемко.

Эти вычисления можно сократить, если находить ранг с помощью элементарных преобразований матрицы:

1 Перестановка двух строк (столбцов).

2 Умножение строки (столбца) на некоторое ненулевое число.

3 Прибавление к одной строке (столбцу) другой, умноженной на какое-либо ненулевое число.

4 Исключение из матрицы строки (столбца), состоящей из нулей.

5 Исключение из матрицы строки (столбца), являющейся линейной комбинацией другой строк (столбцов).

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. В результате таких преобразований получают новую матрицу, эквивалентную данной. Для обозначения эквивалентности матриц используют знак ~. Количество линейно независимых строк матрицы определяет ее ранг.

Пример:

Применяя элементарные преобразования, определить ранг матрицы .

Решение:

~ ~

Строки 2, 3 и 4 линейно зависимы, можно вычеркнуть из матрицы третью и четвертую строку, получим

~ .

Получили матрицу, состоящую из двух линейно независимых строк.

Следовательно, ранг исходной матрицы А равен 2 ().

Обратный ход:

В последнем уравнении мы пришли к противоречию, следовательно, исходная система неразрешима.

Пример 3. Рассмотрим систему

Прямой ход:

.

, т.е. система совместна и неопределенная.

Обратный ход: Получили систему

Переменную х₃ можно взять в качестве произвольного параметра, от которого будут зависеть значения переменных х₁ и х_{2 .}

В этом случае переменную х₃ называют свободной переменной, а х₁ и х₂ – зависимыми. Результат можно записать следующим образом:

.

Примеры для самоконтроля

1)                2)

Ответы:

1) решения нет              2) .

 

 

Элементы линейной алгебры

 

Учебно-методическое пособие

 

 

Учебная дисциплина: Элементы высшей математики

 

Специальности:  230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и

автоматизированных систем»

230106 «Техническое обслуживание средств вычислительной

                                          техники и компьютерных сетей»

 

 

Разработал:

Е.В. Тышкевич

 

 

2010

Содержание

 

Пояснительная записка	3
1 Понятие матрицы. Действия над матрицами	4
1.1 Линейные операции над матрицами	4
1.2 Нелинейные операции над матрицами	5
1.3 Примеры для самоконтроля	7
2 Определитель матрицы	8
2.1 Свойства определителя	10
2.2 Определителя высших порядков	13
2.3 Примеры для самоконтроля	14
3 Обратная матрица	15
3.1 Примеры для самоконтроля	16
4 Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)	17
4.1 Решение СЛАУ матричным способом	17
4.2 Примеры для самоконтроля	18
4.3 Формулы Крамера для решения СЛАУ	19
4.4 Примеры для самоконтроля	20
4.5 Ранг матрицы	20
4.6 Метод Гаусса (метод последовательного исключения)
неизвестных	21
4.7 Примеры для самоконтроля	23

 

Пояснительная записка

 

Данное методическое пособие предназначено в помощь студентам по изучению Модуля ЕН.01.М.01 «Элементы линейной алгебры», а также выполнения самостоятельной работы по данному модулю.

Уровни усвоения

Знать:

- определение матрицы, типы матриц, действия над ними;

- правила вычисления определителя матрицы (частный и общий случаи);

- алгоритм обращения матриц;

- основные (точные) методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Уметь:

- выполнять действия над матрицами;

- вычислять определители матриц;

- обращать матрицы;

- находить решение СЛАУ с помощью точных методов.

Для усвоения материала и достижения целей, студенты должны выполнить:

1 Практическую работу 1 «Действия над матрицами, вычисление определителя матрицы, обращение матриц».

2 Практическую работу 2 «Матричные уравнения. Решение СЛАУ по формулам Крамера и методом Гаусса».

3 Практическую работу 3 «Решение произвольных СЛАУ».

4 Самостоятельную работу, которая содержит типовые задания по модулю «Элементы линейной алгебры».

По окончанию изучения модуля студенты выполняют тест на выходе.

В данном методическом пособии представлен краткий теоретический курс по модулю «Элементы линейной алгебры» с примерами выполнения типовых заданий.

Понятие матрицы. Действия над матрицами

Определение: Числовой матрицей размера  называется прямоугольная таблица, состоящая из m строк и n столбцов.

 

Матрица в развернутом виде записывается следующим образом: , говорят «дана матрица размера m × n».

 

Сокращенная запись матрицы имеет вид , где i -первый индекс, показывает номер строки (номер уравнения в системе), а j -второй индекс указывает на номер столбца (номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент).

Строки и столбцы матрицы называются ее рядами.

 

Если число строк в матрице равно числу столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной матрицей n -го порядка, а в противном случае прямоугольной.

Две матрицы называются равными, если равны их размеры и соответствующие элементы.

 

Над матрицами можно выполнять как линейные, так и нелинейные операции.

К линейным операциям относятся:

1. Сложение (вычитание) матриц.

2. Умножение матрицы на число.

К нелинейным операциям относится:

1. Произведение матриц.

Замечание. Отметим, что в результате всех перечисленных действий над матрицами всегда получается матрица.

Неопределенны такие действия над матрицами, как деление матриц и возведение в дробную или отрицательную степень.