Линейные операции над матрицами

 

1 Сложение (вычитание) матриц.

Правило: Для того, чтобы сложить (вычесть) две матрицы, нужно сложить (вычесть) их соответствующие элементы (т.е. элементы, стоящие на одинаковых местах в обеих матрицах). Очевидно, что складывать и вычитать можно матрицы одного размера и результатом будет матрица того же размера.

Пример: Даны матрицы .

                       Найти  и .

Решение:

.

 

.

 

 

2 Умножение матрицы на число

Правило: Для того чтобы умножить (разделить) матрицу на отличное от нуля число, нужно умножить (разделить) на это число все элементы этой матрицы.

Аналогично можно определить обратное действие – вынесение общего множителя из всех элементов матрицы за знак матрицы.

 

Пример: Даны матрицы  и .

                       Найти  и общий множитель матрицы .

Решение:

1) .

 

2) .

Нелинейные операции над матрицами

1 Произведение матриц

Правило: Произведением матрицы А размера m × k, на матрицу В, размера k × n, называется матрица С, размера m × n, каждый элемент которой получен по формуле .

Пример:

Даны матрицы  и . Вычислить матрицу .

Решение:

Матрица А имеет размер 2×3, матрица В – 3×2, следовательно искомая матрица С будет иметь размер 2×2. Найдем ее элементы:

Таким образом, получили матрицу .

Замечание 1: Умножение матриц не обладает переместительным законом умножения, т.е. .

Действительно, при умножении матрицы В на матрицу А из данного примера, то будет получаться матрица размера 3×3, а это уже другая матрица (проверить самостоятельно).

Замечание 2: Число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй матрицы. В противном случае произведение матриц не определено.

Квадратные матрицы можно умножать, если они одного порядка.

Пример: Выполнить действия над матрицами , где , .

Решение:

         

                  

              

 

.

 

Примеры для самоконтроля

Выполнить действия над матрицами

1) , где  и

2) , где  и .

 

Ответы:

1) ; 2)

Определитель матрицы

 

Определение: Определителем или детерминантом квадратной матрицы порядка n называется число, вычисляемое из элементов этой матрицы по определенному правилу.

Обозначается символами  или .

Строки и столбцы определителя называются его рядами.

 

В определителе различают главную и побочную диагонали.

Главная диагональ образована элементами, стоящими на линии, соединяющей левый верхний элемент с правым нижним.

Побочная диагональ образована элементами, стоящими на линии, соединяющей левый нижний и правым верхним

 

Определитель матрицы 1-го порядка равен самому элементу этой матрицы

 

Определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали, т.е .

 

Определителем третьего порядка, обозначается  и определяется равенством .

Дл удобства запоминания данного равенства используется так называемое правило треугольников:

                     

                                           +                        –

Пример: Вычислить определители 2-го и 3-го порядка для соответствующих матриц: , .

Решение:

1) ;

2)

Определение: Минором элемента a_ij  матрицы А порядка n называется определитель порядка (n -1), полученный из элементов матрицы после вычёркивания из неё строки с номером i и столбца с номером j, на пересечении которых стоит этот элемент. Обозначается минор символом М _ij.

Например, в матрице

Запишем минор элемента a ₂₃. Для этого вычеркнем 2-ю строку и 3-ий столбец и оставшиеся элементы запишем определителем 2-го порядка.

Заметим, что определитель 3-го порядка имеет 9 таких миноров.

Определение: Алгебраическим дополнением элемента a_ij матрицы А порядка n называется минор этого элемента М _ij, взятый со знаком , т.е.

Если сумма номеров строки и столбца данного элемента четная, то алгебраическое дополнение и минор элемента совпадают, а если эта сумма нечётная, то алгебраическое дополнение и минор имеют одинаковую величину, но разные знаки. Например, для рассматриваемой матрицы

Основное правило вычисления определителей

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведения элементов какого-либо ряда матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения, .

 

Это правило называется разложением определителя по элементам какого-либо ряда. Результат вычисления определителя не зависит от выбора ряда, по которому ведется разложение.

Пример:

Запишем разложение определителя по элементам 2-го столбца.

Таким образом, вычисление определителя 3-го порядка свелось к вычислению трёх определителей 2-го порядка.

Примеры: Вычислить определители:

1) ;    2) ; 3) .

Решение:

1) Запишем разложение определителя по элементам 1-ой строки.

 

2) Очевидно, что наиболее выгодным является разложение определителя по элементам 2-ой строки, так как в разложении останется только одно слагаемое.

Таким образом, вычисление определителя 3-го порядка свелось к вычислению определителя 2-го порядка.

 

Свойства определителя

 

1 Определитель матрицы не изменится при ее транспонировании.

Транспонирование – перемена ролями строк и столбцов матрицы. Это свойство говорит о равноправности строк и столбцов матрицы. Например

Определители этих матриц равны, так как столбцы матрицы А^т  являются строками матрицы А.

 

2 Если переставить в определители матрицы два параллельных ряда, то он сменит знак на противоположный.

 

 

3  Множитель, общий элементам какого-нибудь ряда, можно вынести за знак определителя:

Или обратное: чтобы умножить на число, нужно умножить на это число элементы одного из рядов определителя.

 

4 Определитель матрицы равен нулю, если все элементы матрицы какого-либо ряда равны нулю

 

5 Определитель матрицы равен нулю, если матрица содержит два одинаковых ряда

 

6 Определитель матрицы равен нулю, если матрица содержит два ряда, которые пропорциональны

(видно, что 1-ой строки получается умножением элементов 3-ей строки на . Это число можно вынести за знак определителя и получится определитель с двумя одинаковыми строками).

7  Определитель матрицы равен нулю, если в матрице есть ряд, элементы которого представляют собой линейную комбинацию соответствующих элементов других рядов.

 

Поясним это свойство и понятие линейной зависимости на примере определителя

Если все элементы 1-ой строки умножить на (-1) и сложить соответствующими элементами 2-ой строки, предварительно умноженным на 2, то получится элементы 3-ей строки. Это значит, что третья строка есть линейная комбинация двух других.

Конечно, такую линейную комбинацию сразу не видно, но если в результате вычисления определителя получится ноль, то можно утверждать, что его ряды линейно зависимы, т.е. какой-либо ряд можно представить в виде линейной комбинацией остальных.

 

8 Если все элементы какого-либо ряда определителя представить в виде суммы двух слагаемых, то определитель можно записать в виде суммы двух определителей.

 

9 Определитель матрицы не изменится, если все элементы какого-либо ряда умножить на отличное от нуля число и прибавить к соответствующим элементам другого ряда.

Проиллюстрируем это свойство на примере определителя 3-го порядка

Умножили все элементы 1-ой строки на (-3) и прибавили к соответствующим элементам 2-ой строки. При этом элементы 1-ой строки не изменяются, а изменяются только элементы 2-ой строки.

Получили новый определитель, но по свойству 9 его величина равна величине исходного определителя.

 

Замечание: Если в исходном определителе нет нулей, то их можно получить, выполняя с рядами определителя различные линейные операции: умножить элементы какого-либо ряда на число и сложить с соответствующими элементами другого ряда так, чтобы при этом какой-либо элемент стал равен нулю. Согласно свойству 9 величина определителя при этом не изменится. Такие действия можно проводить необходимое число раз.

 

Получаем нули в 1-ой строке вместо чисел (-2) и 3. Для этого умножаем все элементы 1-го столбца на 2 и складываем с элементами 2-го столбца. Аналогично умножаем элементы 1-го столбца на (-3) и складываем с элементами 3-го столбца. (При этом элементы 1-го столбца не меняются).

 

Заметим, что всегда легко получить нули, если в определителе есть 1 или (-1). Если же таких нулей нет, то путём аналогичных линейных операций над рядами можно сначала получить 1 или (-1) вместо какого-либо элемента, а затем получать нули, как в приведенном выше примере.