Комбинированные модели (А-схемы)

 

Наиболее общим подходом формализованного описания функционирования систем является подход, предложенный Н.П. Бусленко, который позволяет описать поведение непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем – является универсальным.

Базируется этот подход на понятии агрегативной системы – А -схема. При агрегативном описании сложная система разбивается на конечное число частей, подсистем, сохраняя при этом связи, обеспечивающие их взаимодействие. Эти подсистемы могут быть разбиты на более мелкие части и в результате такой декомпозиции сложные системы могут быть представлены в виде многоуровневых конструкций из взаимосвязанных элементов.

В качестве элемента А -схемы выступает агрегат, а связь между ними осуществляется с помощью оператора сопряжения R. Агрегат сам может рассматриваться как А -схема, то есть разбиваться на элементы (агрегаты) следующего уровня. Любой агрегат характеризуется множествами:

– моментов времени t,

– входных Х,

– выходных У,

– состояний Z в каждый момент времени.

Переход агрегата из состояния z₁(t) в z₂(t) (z₁ z₂) происходит за малый интервал времени и при этом имеет место скачок D z изменения состояний. Этот скачок определяется внутренними параметрами агрегата h(t) Î H и входными сигналами Х. В начальный момент времени t₀ состояние агрегата – z₀. Пусть процесс функционирования агрегата в случае воздействия входного сигнала x_n описывается случайным оператором V. Тогда в момент поступления в агрегат t_n T входного сигнала x_n определяется состояние

 

z(t_n+0) = V[t_n, z(t_n), x_n].                                           (5.7)

 

Если на интервале времени [t_n, t_n+1] не содержится ни одного момента поступления сигнала, то для этого интервала времени состояние агрегата описывается оператором U:

 

z (t) = U [ t, t_n, z (t_n +0)].                                   (5.8)

 

Совокупность случайных операторов V и U рассматривается как оператор переходов агрегата в новое состояние. На оператор не накладывается никаких ограничений, поэтому допустимы скачки состояний D z в моменты времени, не являющиеся моментами поступления сигналов. Моменты скачков состояний без поступления входного сигнала d z называются особыми моментами времени t _d, а состояния z(t _d) – особые состояния А -схемы. Для описания этих скачков используется случайный оператор W

 

z (t _d +0) = W [ t _d, z (t _d)],                                  (5.9)

 

который является частным случаем оператора U.

На множестве состояний Z выделяется такое подмножество z^(y), что если z(t _d) достигает z^(y), то состояние является моментом выдачи выходного сигнала и определяется оператором выходов G

 

y = G [ t _d, z (t _d)].                                  (5.10)

 

Таким образом, агрегат – это любой объект, определяемый упорядоченной совокупностью множеств T, X, Y, Z, Z^(y), H и случайных операторов V, U, W, G. Последовательность выходных и входных сигналов, поступающих на А -схему, называется входным или Х -сообщением и выходным или У -сообщением.

 

 

 

Функционирование системы связано с переработкой информации. Передачи информации обозначаются на структуре А- схемы стрелками. Внешняя информация поступает от внешних объектов схемы, которые не являются элементами этой схемы, а внутренняя – от агрегатов. При этом обмен информации между А- схемой и внешней средой Е происходит через полюса схемы (агрегаты).

Различают входные (А₁, А₂, А₃) и выходные полюса (А₁, А₃, А₄, А₅, А₆).

Каждый n -й агрегат А -схемы имеет входные контакты, на которые поступает совокупность элементарных сигналов x_i(t), , одновременно возникающих на входе элемента, и выходные контакты, с которых снимается совокупность элементарных сигналов y_i(t), . Для построения А -схемы необходимо задать способы взаимодействия между агрегатами. Каждый n -й агрегат имеет I_n входных и J_n входных контактов. При этом функционирование агрегата может быть описано в виде взаимодействия агрегатов путем передачи информации от одного к другому.

Допущения:

– взаимодействие между А -схемой и внешней средой Е осуществляется путем передачи сигналов, причем взаимное влияние сигналов друг на друга не учитываются;

– для описания сигнала используется конечный набор характеристик;

– элементарные сигналы передаются в схеме мгновенно, независимо друг от друга по элементарным каналам;

– к входному контакту любого элемента А -схемы подключается не более 1 элементарного канала, а к выходному контакту – любое число элементарных каналов.

Внешняя среда Е представляется в виде фиктивного элемента А -cхемы – А₀, вход которого содержит I₀ входных контактов: , ; ,

Сигнал, выдаваемый А -схемой во внешнюю среду Е, принимается агрегатом А₀ как входной сигнал, состоящий из последовательности сигналов: . Сигнал, поступающий на А -схему из внешней среды Е, является выходным сигналом агрегата А₀ .

Каждый агрегат А -схемы характеризуется множеством входных контактов и множеством входных и выходных контактов { , } n = 0,N_A, где N_A – число агрегатов в схеме.

В силу предположения о независимости передачи сигналов каждому входному контакту  соответствует не более чем один входной контакт , где  – множество выходных контактов всех элементов А -схемы и внешней среды Е; - множество выходных контактов всех элементов А -схемы и внешней среды Е, с которой она связана элементарным каналом. Поэтому можно ввести однозначный оператор R, сопоставляющий каждому входному контакту выходной контакт, связанный с ним элементарным каналом. R – оператор сопряжения агрегатов в А -схему: =R(). Оператор сопряжения можно задать в виде таблицы, в которой на пересечении строк с номерами элементов и столбцов с номерами контактов i располагается пара чисел kl, указывающая номер элемента k и номер контакта l, с которым связан контакт .

 

n	l
	1	2	3	4	5
0	1,1	3,1	4,1	5,1	6,1
1	0,1	-	-	-	-
2	1,3	0,2	0,3	-	-
3	1,2	2,1	-	-	-
4	3,2	2,1	2,2	-	-
5	2,2	-	-	-	-
6	5,2	0,4	-	-	-

 

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Непрерывно–детерминированные модели (D-схемы).

2. Дискретно–детерминированные модели (F-схемы).

3. Конечный автомат.

4. Табличный способ задания автоматов.

5. Графовый способ задания автоматов.

6. Матричный способ задания автоматов.

7. Дискретно-стохастические модели (P-схемы).

8. Непрерывно стохастические модели (Q-схемы)

9. Система массового обслуживания (СМО).

10. Комбинированные модели (A-схемы)

 

 

Лекция № 6