Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца

Мета: сформувати поняттякриволінійної трапеції та визначеного інтегралу, домогтися засвоєння формули Ньютона-Лейбніца, сформувати вміння розв’язувати задачі, що передбачають використання поняття інтеграла та формули Ньютона-Лейбніца; розвивати логічне мислення та творчість, культуру математичного мовлення; виховувати пізнавальний інтерес до математики та історії.

Тип уроку: засвоєння знань, формування вмінь

Епіграф: Працюй для того, щоб насолоджуватись

Ж.Ж. Русо

Хід уроку

І ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ

Я вас вітаю на нашому уроці математики. Бажаю плідно працювати. Учиться і вчить інших. Щедро діліться знаннями один з одним, так як я ділюся своїми з вами.

ІІ АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ

На дошці розв’язання домашніх задач. Учні обмінюються зошитами і перевіряють правильність розв’язання.

Фронтальне опитування:

· Визначення первісної

· Властивості первісної

· Правила знаходження первісної

 

ІІІ ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

У попередніх класах ви навчилися обчислювати площі прямокутника, трикутника, паралелограма, трапеції, довільного многокутника, а також площі круга та його частин.

У математиці розроблено методи, що дозволяють обчислювати площі фігур, межа яких складається з кривих ліній.

Тепер, використовуючи знання про первісну функцію, ми навчимося знаходити площі фігур, які називаються криволінійними трапеціями.

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком неперервної функції y=f(x), яка не змінює знак на відрізку [a;b], віссю Оx (y=0), прямими x = а, x=b

 

            

Щоб визначити площу криволінійної трапеції (обмеженої кривою y=f(x), віссю Ох, прямими х = а і х = b),розбиваємо відрізок [а; b] точками а = х₀ < х₁<... < х_п = b

на n частин, вибираємо на кожному з одержаних часткових відрізків [ х_к, х_к+1 ] к=0, 1,..., n - 1 довільну точку ξ_к, обчислюємо значення f( ξ _к) функції f(x) в цих точках і складаємо суму , де

Ця сума дорівнює сумі площ заштрихованих прямокутників і назива­ється інтегральною сумою.

Якщо тепер число точок розбиття необмежено збільшується і довжина максимального (найбільшого) часткового відрізка розбиття прямує до нуля, і при цьому величина S_n прямує до певної границі S, що не залежить від способу розбиття і вибору точок ξ_к на часткових відрізках, то величину S називають площею криволінійної трапеції, тобто

 Якщо функція f (х) визначена на відрізку [а; b] і а = x₀ < х₁ <... < х_п =b то визначеним інте­гралом від функції f(х) на відрізку [a; b] називається число, що дорівнює границі інте­гральної суми , тобто , де x_к≤ ξ_к≤x_к+1 і

 

У позначені інтеграла все вказує на спосіб його утворення. Знак інтеграла нагадує видовжену латинську букву S – першу букву слова summa. Подінтергальний вираз f(x)dx нагадує вигляд кожного окремого доданка інтегральної суми. Множник dx в математиці називають диференціалом. Число а називається нижньою межею інтегрування, а число b - верхнею межею інтегрування.

Отже , якщо f(x)≥0 для всіх xє[а; b], являє собою площу криволінійної трапеції обмеженої лініями y=f(x), x = а, x=b, y=0

 

Якщо функція f (х) визначена і неперервна на відрізу [а; b] і F(x) – будь-яка її первісна (тобто , то   формула Ньютона-Лейбніца.

 

Наприклад:

 

А зараз прослухаємо повідомлення, підготовлені за матеріалами додаткової літератури.

Заслуховування повідомлень

 

 

Ісаак Ньютон

 

Ісаак Ньютон народився 4 січня 1643 року в селі Вулсторп (біля міста Грантем) у родині бідного фермера. Батько помер ще до народження сина. Ісаак був кволою ди­тиною і ніхто не вірив у те, що він житиме. Коли йому бу­ло 3 роки, мати вдруге вишила заміж і виїхала з ферми. Ди­тина залишилася з бабусею, яка докладала всіх сил, щоб найкраще виховати свого хворобливого онука. Першу науку Ісаак проходив у сільській школі, а в 12 років бабуся відда­ла його до найближчої міської школи у м. Грантем. Спочат­ку Ісаак учився погано і невідомо, як склалася б його доля, якби не випадок, що трапився з ним у школі. Один з його однолітків під час суперечки побив Ісаака. Він дуже пере­живав, що не може відплатити, бо кривдник був значно сильнішим. Тоді Ньютон вирішив зробити інакше: перевер­шити суперника у навчанні. Невдовзі наполегливою працею він досяг своєї мети: вчителі, і навіть директор школи при­людно визнали його найкращим учнем.

Після закінчення школи Ньютон вступив у 1661 році до Триніті-коледжу Кембріджського університету.

У 1671 році Ньютон переробив і науково обґрунтував те­орію флюксій, маючи намір опублікувати її. Але видана во­на була лише після його смерті у 1736 році.

Будучи великим ученим, Ньютон не вихвалявся своїми відкриттями, а завжди віддавав належну шану своїм попе­редникам і сучасникам, які своїми працями підготували грунт для його відкриттів.

У повсякденному житті він додержувався суворого режи­му. Цим загартував свій організм і до 80 років був міцним і здоровим. Коли Ньютону було близько 80 років, він захворів на так звану кам’яну хворобу, вилікувати яку було немож­ливо і яка в останні тижні життя завдала йому важких страждань.

31 березня 1727 року великої людини не стало. Він помер у вісімдесят чотири роки. Геніального вченого урочисто хо­вали у Вестмінстерському абатстві, де ховають видатних і коронованих осіб Англії. На пам 'ятнику вибито віршований напис, що закінчується словами: «Нехай радіють смертні, що серед них жила така прикраса роду людського».

Готфрід Вільгельм Лейбніц

Видатний німецький математик, філософ і політичний діяч Готфрід Вільгельм Лейбніц народився І липня 1646 ро­ку у Лейпцигу в сім’ї професора етики і юрисконсульта Лейпцігського університету. Коли Готфріду було 7 років, помер його батько. Малий хлопець настільки захопився чи­танням, що зовсім покинув дитячі ігри й забави, зранку до вечора не виходив з бібліотеки. Ніби граючись, він само­тужки вивчив латинську мову. Після латинської Лейбніц швидко вивчив і грецьку мову. У 14 років він часто висту­пав на вечорах у гімназії, де вчився, з власними віршами, на­писаними латинською або грецькою мовами. У 15 років він став студентом Лейпцігського університету, але, щоб кра­ще вивчити математику, переїхав до Ієни. У 17 років Лейбніц дістав звання бакалавра, а через рік — ступінь магістра філософії. У 20 років Лейбніц уже був доктором права.

Наукова діяльність Лейбніца багатогранна. Він, напри­клад, мріяв про створення засобами математичної сим­воліки єдиної мови, спільної для всіх наук.

Та найвизначніших успіхів, водночас з Ньютоном і неза­лежно від нього, Лейбніц досяг у розробці основ дифе­ренціального і інтегрального числення. У своїх математич­них працях учений виклав відповідні правила без доведень, відразу показуючи їх практичне застосування. Часом дуже важко відокремити те, що зробив Лейбніц, від того, що створив Ньютон, у розвитку математики як науки.

Через два роки (1686) вийшла друга праця вченого «Про приховану геометрію». У ній викладене інтегрування бага­тьох елементарних функцій.

Диференціальне та інтегральне числення як закони дій над змінними величинами виявилися дуже корисними не тільки для математики, а й для розв 'язання багатьох практичних задач з фізики, механіки, геодезії тощо.

Творчість Лейбніца мала величезне значення для розвитку світової науки.

Обставини смерті цієї видатної людини загадкові. 14 листопада 1716 року вчений почував себе гірше, ніж звичай­но. Зайшов провідати його давній знайомий — єзуїт, який приніс саморобні ліки — настойку з якогось зілля. Лейбніц випив її, але відразу став почуватися гірше. Поки розшука­ли і привели лікаря, вчений помер. За труною людини, яка в свій час була гордістю Європейської науки, йшла тільки од­на особа — секретар ученого.