Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Применения показательных функций ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Показательные функции часто возникают в математических моделях природы и общества. Например, с их помощью моделируются рост популяции и радиоактивный распад. Пример 1. численность популяции бактерий через t часов. Пример 2. Изотоп стронция 90Sr является радиоактивным с периодом полураспада 28,79 лет. Таким образом, если начальная масса некоторого количества стронция-90 равна, например, 24 миллиграмма, то масса остающегося через t лет количества будет равна мг. (90Sr образуется при ядерных взрывах и выбросах с АЭС.) 3. Первый и второй замечательные пределы Определение 2. Число e определяется так: Если в определении числа е сделать замену t = 1/x, получим эквивалентное определение: Два этих равенства называются первым замечательным пределом. Теорема 1. (второй замечательный предел). Доказательство: , причем эта аппроксимация тем точнее, чем длиже х к нулю. Следовательно, И в пределе при получим доказываемое равенство. Производная экспоненты Особая роль и исключительность функции ехр х обуславливается следующей теоремой. Теорема 2 (производная экспоненты). Производная экспоненты равна ей самой, т. е. . Доказательство: Используем определение производной и второй замечательный предел: Следствие. 5. Логарифмические функции Показательная функция строго монотонно возрастает при а>1, и строго монотонно убывает при0 < а < 1. Значит, по теореме о существовании обратной функции, она имеет обратную при . Определение 3. Функция, обратная к показательной функции при называется логарифмиеской функцией по сонованию а и обозначается т.е . Область определения и множество значений .
Рис. 2. Графики логарифмической функции Графики логарифмической функции получаются из соответствующих графиков показательной функции зеркальным отражением относительно прямой у = х. Кривые при любом непрерывны и проходят через точку (0, 1). При имеем и . Таким образом, ось Оу является вертикальной асимптотой графика логарифма. По определению обратной функции, тогда и только тогда, когда , где . Таким образом, логарифм числа х по основанию а есть показатель, в который надо возвести основание а, чтобы получить х. Законы сокращения при показательной и логарифмической функций выглядят так: для всех , и для всех
Часто используются логарифмы по основанию 10. Они называются десятичными логарифмами и обозначаются lg x, т. е. . Еще более важны логарифмы по основанию е. Натуральные логарифмы Наиболее удобным основанием логарифма служит число е. Определение 4. Логарифм числа по основанию е обознается и называется натуральным логарифмом, т. е. . Например, , Теорема 3 (производная натурального логарифма). Доказательство: Запишем закон сокращения и продифференцируем обе части по х. Получаем: , откуда Следствие. Пример 3. Найти Решение: Пример 4. Продифференцировать функцию . Решение: Пример 5. Найди производную Решение:
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 96; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.137.171.121 (0.005 с.) |