Понятие показательной функции

Федеральное ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Тольяттинский государственный университет»

 

                                                      

 

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ

 по дисциплине «Теоретические аспекты содержания

физико-математического образования»

 

студента группы  Мм 1301

Алфимовой Анастасии Андреевны

 

Магистерская программа: 050100.68. Педагогическое образование.

Профиль: Математическое образование.

 

 

Место проведения практики: ТГУ, кафедра алгебры и геометрии

Дата проведения лекции: 10.03.2012 г.

 

Тема лекции: Логарифм и показательная функция.

 

Группа: ФМОб - 1001

 

Студент                                    ____________           Алфимова А.А.

 

Преподаватель дисциплины: ____________       Кулешов В.В.

 

 

Руководитель практики           ____________     Антонова И.В.         

 

Тольятти 2014

Тема занятия:        Логарифм и показательная функция.

План занятия:

1. Постановка цели перед студентами.

2. Понятие показательной функции

3. Применения показательных функций

4. Производная экспоненты

5. Логарифмические функции

6. Натуральные логарифмы

7. Производные общих логарифмических и показательных функций

8. Логарифмическое дифференцирование

9. Подведение итогов.

10. Постановка домашнего задания.

 

Цель занятия:  вспомнить определения логарифмической и показательной функций, показать их применения, повторить понятие логарифмического дифференцирования и его применения.

Основные формы работы студентов: конспектирование, фронтальное решение задач, ответы на вопросы.

 

 

Содержание и ход занятия

1. Постановка цели перед студентами

Преподаватель сообщает план занятия и цель занятия.

Понятие показательной функции

Определение 1. Показательной функцией называется функция вида , где а – положительная константа.

 

 

Функция  при а>1           Функция  при 0 < а < 1

Рис. 1. Графики показательной функции

Область определения . Множество значений  при 1. График показательной функции с основанием а выглядит по–разному в трех случаях: (1) a > 1, (2) a = 1, (3) a < 1. Два из них изображены на рис. 1.

При a > 1 имеем  и . При 0 < а < 1имеем  и . Таким образом, при 1, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика показательной функции.

Теорема 1. (второй замечательный предел).

Доказательство: , причем эта аппроксимация тем точнее, чем длиже х к нулю. Следовательно,

И в пределе при  получим доказываемое равенство.

Производная экспоненты

Особая роль и исключительность функции ехр х обуславливается следующей теоремой.

Теорема 2 (производная экспоненты). Производная экспоненты равна ей самой, т. е. .

Доказательство: Используем определение производной и второй замечательный предел:

Следствие.

5. Логарифмические функции

Показательная функция  строго монотонно возрастает при а>1, и строго монотонно убывает при0 < а < 1. Значит, по теореме о существовании обратной функции, она имеет обратную при .

Определение 3. Функция, обратная к показательной функции  при  называется логарифмиеской функцией по сонованию а и обозначается т.е . Область определения  и множество значений .

                          

Рис. 2. Графики логарифмической функции

Графики логарифмической функции получаются из соответствующих графиков показательной функции зеркальным отражением относительно прямой у = х. Кривые  при любом  непрерывны и проходят через точку (0, 1).

При  имеем и . Таким образом, ось Оу является вертикальной асимптотой графика логарифма.

По определению обратной функции, тогда и только тогда, когда , где . Таким образом, логарифм числа х по основанию а есть показатель, в который надо возвести основание а, чтобы получить х. Законы сокращения при показательной и логарифмической функций выглядят так:  для всех , и  для всех  

Часто используются логарифмы по основанию 10. Они называются десятичными логарифмами и обозначаются lg x, т. е. . Еще более важны логарифмы по основанию е.

Натуральные логарифмы

Наиболее удобным основанием логарифма служит число е.

Определение 4. Логарифм числа  по основанию е обознается  и называется натуральным логарифмом, т. е. .

Например, ,

Теорема 3 (производная натурального логарифма).

Доказательство:

Запишем закон сокращения  и продифференцируем обе части по х. Получаем: , откуда

Следствие.

Пример 3. Найти

Решение:

Пример 4. Продифференцировать функцию .

Решение:

Пример 5. Найди производную

Решение:

Подведение итогов.

Студенты делают вывод, что повторили на занятии, что нового узнали.

10. Постановка домашнего задания.

1. Изобразить график показательной функции  с основанием

2. Доказать следствие

3. Найти пределы  и при . Почему второй предел необходимо рассмотреть односторонним?

 

Список использованной при подготовке к занятию литературы

 

Основная литература:

1. Архипов, Г. И. Лекции по математическому анализу: Уч. Для вузов. / Г. И. Архиопов. 6-е изд. – М.: Дрофа, 2008. – 640 с.

2. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа: Учеб. для студентов университетов и вузов. В 3 т. Т. 1 / Л. Д. Кудрявцев. – 2-у изд., перераб. и доп.. – М.: Высш. Шк. 1989. – 352 с.

 

Дополнительная литература:

1. Показательные и логарифмические функции http://www.lawrencenko.ru/files/calc1-l13-lawrencenko.pdf

Федеральное ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Тольяттинский государственный университет»

 

                                                      

 

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ

 по дисциплине «Теоретические аспекты содержания

физико-математического образования»

 

студента группы  Мм 1301

Алфимовой Анастасии Андреевны

 

Магистерская программа: 050100.68. Педагогическое образование.

Профиль: Математическое образование.

 

 

Место проведения практики: ТГУ, кафедра алгебры и геометрии

Дата проведения лекции: 10.03.2012 г.

 

Тема лекции: Логарифм и показательная функция.

 

Группа: ФМОб - 1001

 

Студент                                    ____________           Алфимова А.А.

 

Преподаватель дисциплины: ____________       Кулешов В.В.

 

 

Руководитель практики           ____________     Антонова И.В.         

 

Тольятти 2014

Тема занятия:        Логарифм и показательная функция.

План занятия:

1. Постановка цели перед студентами.

2. Понятие показательной функции

3. Применения показательных функций

4. Производная экспоненты

5. Логарифмические функции

6. Натуральные логарифмы

7. Производные общих логарифмических и показательных функций

8. Логарифмическое дифференцирование

9. Подведение итогов.

10. Постановка домашнего задания.

 

Цель занятия:  вспомнить определения логарифмической и показательной функций, показать их применения, повторить понятие логарифмического дифференцирования и его применения.

Основные формы работы студентов: конспектирование, фронтальное решение задач, ответы на вопросы.

 

 

Содержание и ход занятия

1. Постановка цели перед студентами

Преподаватель сообщает план занятия и цель занятия.

Понятие показательной функции

Определение 1. Показательной функцией называется функция вида , где а – положительная константа.

 

 

Функция  при а>1           Функция  при 0 < а < 1

Рис. 1. Графики показательной функции

Область определения . Множество значений  при 1. График показательной функции с основанием а выглядит по–разному в трех случаях: (1) a > 1, (2) a = 1, (3) a < 1. Два из них изображены на рис. 1.

При a > 1 имеем  и . При 0 < а < 1имеем  и . Таким образом, при 1, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика показательной функции.