Статистические методы обработки измерений (продолжение)

В тоже время существуют другие законы распределения, описывающие случайные величины, природа возникновения которых имеет несколько иной характер.

В рассматриваемом случае необходимо упомянуть закон Максвелла, которому подчиняются существенно положительные величины, например: рассеяние значений эксцентриситета, радиальное и торцевое биения, отклонения от соосности, дисбаланс и другие величин, которые не могут принимать отрицательные значения.

Для оценки надёжности работы изделий используют закон Вейбулла, который даёт представление о вероятности отказов.

Получили распространение также закон Симпсона или закон треугольника и закон равной вероятности.

Однако, для обработки результатов наблюдений в основном применяют закон нормального распределения - закон Гаусса.

Вернемся к распределению вероятностей Гаусса. Формула (3.2) выражает уравнение кривой, если начало отсчета расположено на оси x произвольно. При совпадении центра группирования с началом отсчета величины x уравнение кривой нормального распределения будет иметь вид

                                                 (3.7)

Вероятность попадания величины в заданный интервал можно определить следующим образом. Ветви теоретической кривой нормального распределения (рис. 3.3) уходят в бесконечность, асимптотически приближаясь к оси абсцисс. Площадь, ограничиваемая кривой и осью абсцисс, равна вероятности того, что случайная величина, например, погрешность размера, лежит в интервале ± . Площадь под кривой распределения равна 1 или 100%, она определяется интегралом

                                  (3.8)

Начало координат расположено в точке, совпадающей с центром группирования. Так как подынтегральная функция четная и кривая симметрична относительно максимальной ординаты, можно записать

                                          (3.9)

Для выражения случайной величины x в долях ее примем: x / = z, откуда x = z, d x = d z. В этом случае абсцисса на рис. 3.3 будет выражена в долях . Если принять за пределы интегрирования 0 и z, то интеграл в выражении (3.8) будет функцией z, т.е.

                               (3.10)

Функцию Ф 0 (z) называют нормированной функцией Лапласа: Ф 0 (0) = 0; Ф 0 (- z) = - Ф 0 (z); Ф 0 (- ) = - 0,5; Ф 0 (+ ) = 0,5.

Из формулы (3.9) и рис. 3.4 следует, что площадь, ограниченная отрезком - z 1 + z 1 оси абсцисс, кривой плотности вероятности и двумя ординатами, соответствующими границам отрезка, представляет собой вероятность попадания случайной величины z 1, в данный интервал.

Рис. 4 Кривая нормального распределения и иллюстрация подынтегральных функций

 

Данные для функции Ф 0 (z) приводятся в справочниках. Пользуясь этими данными можно определить вероятность того, что случайная величина x, выраженная через , будет находиться в пределах того или иного интервала ± z 1 . Например, находим, при z 1 = 3, что соответствует случайной величине x = 3 , Ф 0 (3) = 0,49865 или Ф 0 (- 3) - Ф 0(3) = 2 Ф 0 (3) = 0,9973.

Так как площадь, ограниченная кривой Гаусса и осью абсцисс, равна 1, то площадь, лежащая за пределами значений х = ± 3 , равна 1 - 0,9973 = 0,0027 и расположена симметрично по 0,00135 или по 0,135% справа и слева относительно оси у (см. рис. 3.4).

Следовательно, с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что случайная величина X не будет выходить за пределы ± 3 . Поэтому при распределении случайной величины по закону Гаусса поле рассеяния, равно V lim = 6 или диапазон ± 3 считают за практически предельное поле рассеяния случайной величины и принимают за норму точности - допуск. При этом вероятность выхода случайной величины за пределы значений ± 3 равна 0,0027 или 0,27%.