По мере увеличения N частость приближается к вероятности.

Зависимость между числовыми значениями случайной величины и вероятностью их появления устанавливается законом распределения вероятностей случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины можно представить в виде таблицы или графика, показывающего, с какой вероятностью случайная величина X принимает то или иное числовое значение xi.

Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которая может принимать любое значение в пределах заданного интервала нельзя представить в виде таблицы.

Закон распределения представляют в виде дифференциальной функции распределения или плотности распределения вероятности pX (x). Эта функция представляет собой предел отношения вероятности того, что случайная величина X примет значение, лежащее в интервале от x до х + x, к величине интервала х, при х, стремящемся к нулю.

Характер рассеяния достаточно большой совокупности значений случайной величины, как правило, соответствует определённому теоретическому закону распределения.

Рассеяние значений случайной величины, изменение которой зависит от большого числа факторов, когда ни один из факторов не имеет преобладающего влияния, подчиняется закону нормального распределения вероятностей (закону Гаусса), показанного на рис. 3.

Рис. 3. Кривая плотности вероятности нормального распределения

 

Этому закону с некоторым приближением может подчиняться: рассеяние погрешностей многократных измерений; рассеяние погрешностей изготовления; погрешности измерения линейных и угловых размеров; массы деталей; величин твердости и других механических и физических величин.

Закон нормального распределения имеет следующие свойства:

· вероятность появления положительных и отрицательных погрешностей одинакова;

· малые по величине погрешности имеют большую вероятность появления, чем большие;

· алгебраическая сумма отклонений от среднего значения равна нулю.

Зависимость плотности вероятности определяется уравнением:

                                   (3.2)

где a и - параметры распределения; x - аргумент функции плотности вероятности, т.е. случайная величина, изменяющаяся в пределах - < x < + ; e - основание натуральных логарифмов. Нормальное распределение представляет собой кривую симметричную относительно оси ординат. Величина a равна математическому ожиданию MX случайной величины X, определяемому по формулам:

для дискретной величины

                                     (3.3),

где x_i - возможное значение дискретной случайной величины; p (x_i) - вероятность значения x_i дискретной случайной величины;

 

для непрерывных величин,

                           (3.4),

где р X (х) - плотность вероятности непрерывной случайной величины X. Значение MX характеризует положение центра группирования случайных величин, около которого располагаются, например, размеры большинства деталей в партии.

При отсутствии систематических погрешностей в результатах многократных измерений одной и той же величины в одних и тех же условиях, математическое ожидание можно рассматривать как наибольшее приближение к истинному значению измеряемой величины.

В качестве математического ожидания при многократных измерениях параметра выступает среднее арифметическое значение х

                                            (1)

Величину рассеяния значений случайной величины относительно центра группирования определяет параметр , который называют средним квадратическим отклонением случайной величины, его определяют по формулам:

для непрерывной величины

                             (3.6)

для дискретной величины

                            (3.5)

или:

 при n≥20,      при n<20        (2)

Рассеяние случайных величин характеризуется также дисперсией DX = X.

Случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов измерений. Для этого должны быть известны вероятностные и статистические характеристики (закон распределения, закон математического ожидания, СКО, доверительная вероятность и доверительный интервал). Часто для предварительной оценки закона распределения параметра используют относительную величину СКО — коэффициент вариации:

 или                                           (5)

Например, при ν_х < 0,33,...,0,35 можно считать, что распределение случайной величины подчиняется нормальному закону.

 

 

Лекция 7.