Проверка общего качества уравнения регрессии.

Коэффициент детерминации

 

Для анализа общего качества уравнения регрессии обычно используют коэффициент детерминации R ².

R ² — коэффициент детерминации (квадрат коэффициента множественной корреляции).

Для частного случая парной регрессии R ² — это квадрат коэффициента выборочной корреляции.

Суть R ²:

—   R ² характеризует долю вариации (разброса) зависимой переменной относительно значения аргумента.

—  другими словами, R ²  показывает какая часть колеблемости   y обусловлено колебаниями х, (а какая часть колеблемости y объясняется другими факторами (функциями), действующими избирательно.

Очевидно, чем ближе R ² к 1, тем более адекватна математическая модель (R ² = 1 — между х и y строгая линейная связь).

При некоторых исследованиях значения r = 0,9. Тогда R ² = 0,81. Это означает, что 81% общего рассеяния переменной y объясняется линейной связью с х, и только 19% рассеяния y объясняются другими функциями (действующими избирательно).

Вывод: R ² является мерой определяемости линейной регрессии и тогда, чем больше R ², тем меньше наблюдаемые значения y уклоняются от вычисленной линии регрессии.

 

 

Как для коэффициента корреляции r, так и для коэффициента детерминации R ², необходимо проводить исследования его статистической значимости. При этом здесь используют F -статистику Фишера:

Суть F -статистики Фишера:

Суть проверяемой гипотезы   Н ₀ говорит о равенстве нулю всех коэффициентов регрессии, за исключением свободного члена (b=0, тогда r = 0). Это означает, что для генеральной совокупности выдвигают значение , т. е. при этом R ² и F -статистика Фишера обращаются в 0 (R ² = 0, F = 0).

Альтернативная Н ₁ говорит о том, что не все коэффициенты уравнения регрессии обращаются в 0. Следовательно, R ² ≠ 0, и он объясняет меру рассеяния переменной y относительно переменной х.

Пусть по наблюдаемым значениям х и y вычисленное значение R ² = 0,7. При этом, в расчете используют 15 наблюдений (n = 15). Выполнить исследование статистической значимости r.

По таблице распределения Фишера с (1,13) степенями свободы и при уровне значимости 5% находят критические значения критерия Фишера:

F _кр. = 4,67

Тогда, F _набл. > F _кр., и Н ₀ отвергается. Это означает, что значение R ² статистически значимо и с вероятностью 0,95 делается вывод об адекватности принятой математической модели.

 

Построение доверительных интервалов

Для коэффициентов регрессии

Найденные по МНК из нормальной системы значения коэффициентов регрессии – это не истинные значения, а приближенные, как и все, что мы находим по статистическим данным.

Те же самые формулы для другой серии наблюдений дадут и другие результаты, немного отличающиеся.

Для истинных значений мы можем построить доверительные интервалы:

     

       Истинные значения коэффициентов с заданной вероятностью α  будут лежать в построенных интервалах.

 

I. Стандартное отклонение углового коэффициента b