Проверка статистических гипотез

Информация, полученная на основе выборки из некоторой генеральной совокупности может быть использована для предположения относительно некоторых свойств общей генеральной совокупности.

Пусть получена некоторая оценка  по выборке из N элемента, которая относится к некоторым независимым величинам х ₁, х ₂, х ₃,..., х _n.

Тогда можно предположить, что истинное значение параметра . Тогда вполне очевидно, можно предположить, что от выборки к выборке значение  будет изменяться. Это связано со статистическою изменчивостью.

Возникает следующий вопрос — при каком отклонении оценки  от  гипотеза о равенстве должна быть отвергнута как несостоявшаяся.

Ответ на этот вопрос можно дать, вычислив вероятность любого значимого отклонения  от , по выборочному распределению с оценкой .

Если вероятность такого отклонения мала, то следует считать отличия истинного параметра и гипотеза о равенстве  должна отвергаться.

В свою очередь вероятность такого отклонения можно понимать как естественную статистическую изменчивость. И гипотеза о равенстве  может быть принята.

Статистическая гипотеза H — некоторое предположение относительно свойств генеральной совокупности, из которых была получена соответствующая выборка.

Параметрические гипотезы – предположения, в которых по выборке наблюдений необходимо проверить параметры распределения.

Проверяемая параметрическая гипотеза называется нулевой гипотезой и обозначается Н ₀. Наряду с гипотезой Н ₀ рассматривают одну из альтернативных (конкурирующих) гипотез   Н ₁. Например, если проверяется гипотеза Н ₀ о равенстве параметра  , то в качестве гипотезы Н ₁  может быть выбрана одна из гипотез: . Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретно формулировкой задачи.

Путём статистической проверки необходимо установить, насколько данные, полученные из выборки, согласуются с выбранной гипотезой. Процедура проверки гипотезы – это правило, по которому гипотеза принимается или отвегается. Правило,  по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Н ₀, называется статистическим критерием К.К – это подходящая функция выборочных данных, которая определяется выборкой и выдвинутой гипотезой Н ₀.

В качестве статистистики Z критерия К выбирают ту же статистику, что и для оценки параметра , т.е. .

Заметим, что абсолютно надёжное решение относительно проверяемой гипотезы получить нельзя. Необходимо заранее допустить возможность ошибочного решения, причём возможны ошибки двух родов: отвергнуть верную гипотезу (ошибка 1-го рода) и принять неверную гипотезу (ошибка 2-го рода)

 

Для этого перед анализом выборки фиксируется некоторая малая вероятность , называемая уровнем значимости.

Уровень значимости  – вероятность ошибки 1-го (или 2-го рода), т.е. вероятность отвергнуть верную гипотезу (или вероятность принять ошибочную гипотезу), это достаточно малая величина, при которой в данной задаче соответствующее событие можно считать практически невозможным.

Затем устанавливают область, вероятность попадання значения статистического критерия в которую в случае справедливости гипотезы Н ₁  равна , т.е. эти значения являются невозможными. Эта область называется критической. Если вычисленное по выборке значение статистического критерия попадает в критическую область, то гипотеза Н ₀ отвергается, в противном случае – нет оснований для отклонения гипотезы. Точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называются критическими точками.

Величина   выбирается экспериментатором в зависимости от практических ситуаций. При решении большинства технических задач выбирается = 0,05.

Этапы проверки статистических гипотез:

1. Формулируется нулевая (проверяемая) гипотеза Н ₀ и альтернативная гипотеза Н ₁;

2. Выбирается статистический критерий К и его статистика Z;

3. Вычисляется наблюдаемое (рассчётное) значение критерия К_набл. (статистики Z) при условии, что верна Н ₀;

4. В зависимости от уровня значимости  по соответствующим таблицам находят критическое значения критерия (К_кр.);

5. Сравнивают наблюдаемое и критическое значение соответствующего критерия (сравнивают статистики), после чего делают вывод относительно соответствующей гипотезы.

Например, если К_набл. < К_кр., (рис.1)то гипотеза Н ₀ верна.

Если же К_набл. > К_кр, (рис.1)— гипотеза Н ₀ неверна.

 

 

 

 

 

Доверительные интервалы

Ранее обсуждались вопросы исследования выборочных значений соответствующих оценок СВ. Вполне очевидно, что на этом этапе исследований получали точечные оценки соответствующих параметров и они не могут ответить на вопрос относительно степени близости выборочных значений и истинных значений параметров.

В этой связи необходимо отметить, что более содержательные процедуры оценивания параметра связаны не с точечными, а с интервальными оценками.

При этом соответствующий интервал должен накрывать оцениваемый параметр с известной степенью достоверности. В этой связи и прибегают к понятию интервальных оценок.

 

Интервальная оценка — оценка, которая определяется двумя числами - границами интервала, содержащего оцениваемый параметр.

Необходимо отметить, что к интервальному оцениванию прибегают, прежде всего, при малых объемах исследуемых выборок.

Заметим, что теоретическое значение оцениваемого параметра является величиной не случайной, а в тоже время его оценка является случайной величиной и изменяется от выборки к выборке. Такое обстоятельство означает, что соответственная оценка является функцией случайной величиной х ₁, х ₂, х ₃,..., х _n.

Допустим, оценка параметра Q может быть представлена как , тогда на основании соответствующих наблюдений определяют две случайные величины.

Отметим, что соответствующий интервал  и  с заданной вероятностью В накрывают неслучайное значение истинного параметра . Заметим, что концы интервалов  и , как правило, находят по точечной оценке Q. Обычно здесь используется соотношение вида:

Иногда Е могут быть одинаковыми или различными.

Заметим, что утверждение, что для параметра Q совершена интервальная  оценка, означает , т.е. что для данного интервала, выбранного из множества интервалов, вероятность содержать параметр Q соответствует величине В.

 

Модель линейной регрессии

Проблема оценивания экономических переменных (проблема взаимосвязи экономических показателей) является одной из важнейших проблем экономического анализа.

Любая экономическая политика заключается в регулировании экономических показателей, и эта политика должна основываться на пониании того, как эти показатели влияют на другие переменные.

Вполне очевидно, что в рыночной экономике нельзя регулировать темп инфляции. В то же время на темп инфляции можно соответствующим образом воздействовать. Например, при помощи средств бюджетно-налоговой политики, кредитно-финансовой политики. Таким образом, становится вполне очевидно, что одни экономические переменные соответствующим образом воздействовать на другие.

Учитывая указанные обстоятельства, необходимо изучать функции предложения денег и уровня цен.

Можно отметить, что вся сфера экономических исследований в определенном смысле может быть охарактеризована как изучение взаимосвязей экономических переменных.

Инструментом для базового анализа взаимосвязи экономических переменных служат методы математической статистики и эконометрии.

Наиболее простой подход к изучению экономических переменных состоит в исследовании взаимовлияния двух переменных (х и y).

Такой подход, с одной стороны, несколько упрощает математические выкладки, а с другой стороны, позволяет в достаточно удобной форме получить соответствующие геометрические интерпретации.

Можно указать 2 типа взаимосвязи х и y.

Два типа взаимосвязи х и y:

1. В первом случае нельзя указать, какая из переменных является аргументом, а какая функцией. Тогда отмечают равноправность этих переменных и указывают статистическую взаимосвязь между ними корреляционного типа.

2. Во втором случае имеют ту ситуацию, когда переменные неравноправны, и при этом одна из них считается объясняющая (независимая, аргумент), а другая - объясняемая (зависящая, функция).

Это тот случай, когда изменение одной переменной влечет за собой изменение другой.

Снижение процентной ставки ведет к росту инвестиций, повышение валютного курса ведет к уменьшению чистого экспорта, рост дохода ведет к увеличению спроса.

Построение зависимости между показателями по данным наблюдений:

Рассматриваются два экономических показателя x и y. Целью является исследование зависимости между ними.