Раздел 1. Математические основы сапр (лекция на 2 час)

Цели и задачи курса.

Целью освоения дисциплины (модуля) «Системы автоматизированного проектирования РКТ » являются получения знания в области автоматизированного проектирования и разработки РКТ.

 Для достижения поставленной цели при изучении дисциплины решаются следующие задачи

1. Усвоения знаний по основам «САПР»;

1. Привить навыки в организации собственного труда в области расчетных задач;

2. Привить навыки в работе с программным обеспечением при вычислительных расчетах;

3. Научить использовать полученные знания в практической работе;

4. Развить творческое мышление в области методов автоматизированного проектирования.

 

 

Раздел 1. Математические основы САПР (лекция на 2 час)

Координаты

Декартовая двухмерная система координат:

 

 

Полярная система координат:

 

 

 

Объемные системы координат (декартовые):

 

 

Цилиндрические системы координат:

 

 

Сферическая система координат:

 

Координаты технологические

 

 

Прямые

 

1.  - явный вид.

 

 

 

2.   - неявный вид, задан с тремя параметрами.

 

3.  - неявный вид, задан с четырьмя параметрами и без теневого угла.

 

4.  - параметрический способ задания.

 

5.   - матричный способ задания.

 

6.  - параметрический способ задания.

- число,  - единичный вектор.

 

Сплайн

Пусть на [a,b] задана сетка  и значения сетки в узлах .

 

Аппроксимируем на каждом i-ом отрезке в данной сетке кубическим полиномом:

 

 

При этом необходимо выполнять условия:

 

 – нет разрыва;

– как слева, так и справа одинаковы;

 – одинаковые касательные и радиус кривизны на графике;

 

i=2 … n-1

 

Для выполнения необходимо условия, введем, что

 

и вторая производная

 

 

Тогда в аналитическом виде сплайн выглядит следующим образом:

 

Поверхности

Поверхность считается заданной, если относительно любой точки пространства можно однозначно и сколько угодно точно решить вопрос о ее принадлежность данной поверхности.

 

Поверхности могут быть в аналитической поверхности представлены в различных видах:

 

1. в явном виде:

 

z = f(x,y);

 

2. в неявном виде:

 

f(x,y,z) = 0;

 

3. параметрический вид:

 

 

4. векторно-численный вид:

 

 

Конусы.

 

Конус:

 

 

Эллиптический цилиндр:

 

Гиперболический цилиндр:

 

Параболический цилиндр:

 

Эллипсоид:

Гиперболоид:

 

Двухполостной гиперболоид:

 

 

Гиперболический гиперболоид:

 

, где p>0; q>0;

 

Эллиптический гиперболоид:

 

, где p>0; q>0;

 

Точечно-заданный способ задания.

Изменение масштаба.

 

 

С помощью соответственной матричной операции над векторами положения, которая определяет вершину, можно управление формой и положением поверхностей, однако для получения желаемой ориентации может потребоваться более одного преобразования, поскольку матричной преобразование не коммутативно, что порядок преобразования является важным, при использовании операций.

 

Произвольная матрица вращения 2*2.

 

Общая матрица 2*2, которая осуществляет вращение фигуры, относительно начала координат, можно получить из рассмотренного вращения единичного квадрата вокруг начала координат.

 

Как следует из рисунка точка В с координатой (1;0) преобразуется в точкуB*

 

точка D, имеющих координат (0;1) преобразуется в D*

 

Учитывающиеся полученные преобразования общую матрицу вращения можно записать:

 

 

Сдвиг.

 

Не диагональные элементы левой верхней подматрицы 3*3 в общем матричном преобразование размером 4*4 осуществляется сдвиг в трех измерениях, то есть:

 

Трехмерное вращение.

 

В предыдущем случае было показано, что матрица 3*3 обеспечивает комбинацию операций измерения масштаба и сдвига. Однако, если определенная матрица 3*3 = 1, то имеет место чистое вращение около начала координат.

 

Рассмотрим несколько частных случаев вращения.

 

При вращение вокруг оси х размеры вдоль оси х не изменяются, таким образом матрица преобразований будет иметь нули в первой строке и столбце, за исключением единицы на главной диагонали. И будет иметь вид:

 

 

Угол Ө - угол вращения вокруг оси х;

 

Вращение предполагается положительным по часовой стрелке, если смотреть с начала координат вдоль оси вращения.

 

Для вращения на угол φ около оси Y нули ставят во второй стороне и столбце матрицы преобразования за исключением единицы на главной диагонали.

 

Матрица имеет вид:

 

 

Аналогично матрица преобразований для вращения на угол ψ вокруг оси Z:

 

 

 

Так как вращение описывается умножением матрицы, то трехмерное вращение не коммутативное, то есть порядок умножения будет влиять на конечный результат.

 

Отображения в пространстве.

 

Иногда требуется выполнить зеркальное отображение трехмерного изображения.

 

Рассмотрим частный случай отображения. Матрица преобразования относительно плоскости XYимеет вид:

 

И отображение YZ или отображение XZприотображение относительно других плоскостей можно получить путем комбинации вращения и отображения.

 

Для отображения yz:

 

 

Для отображения xz:

 

Тв.модели

При каркасном моделировании хотя оно и является объемным, мы не учитываем, что является телом, а что внутренностью.

Поэтому появляется термин – твердотельная модель.

 

Термин твердотельная модель говорит о том, что помимо свойств описания геометрии (очерков, каркасов) существуют признаки или свойства, разделяющие пространства на свободное и на сам геометрический объект.

В связи с тем, что описание свойства твердотельности математической модели может быть многообразными. Приведем только некоторые способы описания твердотельных моделей.

 

Дискретная модель

 

Принцип построения дискретной модели заключается в том, что объект делится на элементарнее подпространства. Данному элементарному подпространству присваивается индекс, определяющий принадлежность или непринадлежность к телу.

 

Преимущества:

1. Разработан математический аппарат на основе булевой алгебры и математической логики.

2. Простота задания геометрического объекта.

 

Недостатки:

1. Геометрический объект задается дискретно, возникает вопрос математической модели о точности задания геометрического объекта по гладкости, по возможности построения нормали к геометрическому объекту.

2. Для данной модели существуют проблемы в уравнении и масштабировании геометрического объекта.

Эффект масштабирования - нельзя ни растянуть ни сжать, делаем от и до.

Вероятностная модель

Описывает геометрическое описание объекта при помощи функции вероятности.

Пример:

Если дискретный объект вместо признака подставим вероятностную функцию, которая определяет принадлежность (непринадлежность) к данному объекту.

Нужно в системе распознавания.

 

Кинематические и аналитические способы задания

Задана точка, есть окружность и есть аппарат с помощью которого описывается окружность.

Некоторые из наиболее распространенных способов описания рассматривались выше.

 

Возникают проблемы описания принадлежности.

 

Пример:

Способ принадлежности может быть виден точки (затравки), вектор, показывающий направление и т.д.

Преимущества:

1. Возможность создания и описания геометрического объекта векторным способом, то есть оптимизация точности объема информации и масштаба при описании геометрического объекта.

2. Возможность минимизации хранения информации за счет аналитического описания или алгоритмического описания.

 

 Недостатки:

1. Сложность определения принадлежности и пересечении геометрических объектов.

2. При описании математической модели возможны различные варианты разработки твердотельной модели даже внутри кинематического и аналитического способа, что приводят к некоторым сложностям при переходе от одной модели к другой.

Раздел 2. Конструкторские САПР (обзорная лекция на 2 часа, читается в виде презентации, с показом рассматриваемых пакетов, обзор может приводится на примере какого то либо пакета(к конспекту приложен фильм, с сравнениями в других пакетах))

Обзор конструктивных САПР

 

ACAD

 

UniGrafics

 

 CATI

 

Каскад

 

Кредо

 

Solidworks

 

 

Раздел 3 Технологические САПР (обзорная лекция на 2 часа, читается в виде презентации, с показом рассматриваемых пакетов, обзор может приводится на примере какого то либо пакета(к конспекту приложен фильм, с сравнениями в других пакетах))

Обзор технологических САПР

САПР литье

САПР заготовительный

 САПР механический

.

 

Литература:

 

1.Кунву Ли Основы САПР (CAD/CAM/CAE)- СПб.,Питер,2004.-560 с

2.Р.В. Хемминг Численные методы для научных работников и инженеров.-М., издательство «Наука»,1972 г.-400 с.

3.Ж.Куцман Численные методы./пер.сфр.-М.:Наука Главная редакция физико-математической литературы., 1979 г., -160 с.

4.Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие для вузов.- М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. –248 с.

 

Цели и задачи курса.

Целью освоения дисциплины (модуля) «Системы автоматизированного проектирования РКТ » являются получения знания в области автоматизированного проектирования и разработки РКТ.

 Для достижения поставленной цели при изучении дисциплины решаются следующие задачи

1. Усвоения знаний по основам «САПР»;

1. Привить навыки в организации собственного труда в области расчетных задач;

2. Привить навыки в работе с программным обеспечением при вычислительных расчетах;

3. Научить использовать полученные знания в практической работе;

4. Развить творческое мышление в области методов автоматизированного проектирования.

 

 

Раздел 1. Математические основы САПР (лекция на 2 час)

Координаты

Декартовая двухмерная система координат:

 

 

Полярная система координат:

 

 

 

Объемные системы координат (декартовые):

 

 

Цилиндрические системы координат:

 

 

Сферическая система координат:

 

Координаты технологические

 

 

Прямые

 

1.  - явный вид.

 

 

 

2.   - неявный вид, задан с тремя параметрами.

 

3.  - неявный вид, задан с четырьмя параметрами и без теневого угла.

 

4.  - параметрический способ задания.

 

5.   - матричный способ задания.

 

6.  - параметрический способ задания.

- число,  - единичный вектор.

 

Сплайн

Пусть на [a,b] задана сетка  и значения сетки в узлах .

 

Аппроксимируем на каждом i-ом отрезке в данной сетке кубическим полиномом:

 

 

При этом необходимо выполнять условия:

 

 – нет разрыва;

– как слева, так и справа одинаковы;

 – одинаковые касательные и радиус кривизны на графике;

 

i=2 … n-1

 

Для выполнения необходимо условия, введем, что

 

и вторая производная

 

 

Тогда в аналитическом виде сплайн выглядит следующим образом:

 

Поверхности

Поверхность считается заданной, если относительно любой точки пространства можно однозначно и сколько угодно точно решить вопрос о ее принадлежность данной поверхности.

 

Поверхности могут быть в аналитической поверхности представлены в различных видах:

 

1. в явном виде:

 

z = f(x,y);

 

2. в неявном виде:

 

f(x,y,z) = 0;

 

3. параметрический вид:

 

 

4. векторно-численный вид:

 

 

Конусы.

 

Конус:

 

 

Эллиптический цилиндр:

 

Гиперболический цилиндр:

 

Параболический цилиндр:

 

Эллипсоид:

Гиперболоид:

 

Двухполостной гиперболоид:

 

 

Гиперболический гиперболоид:

 

, где p>0; q>0;

 

Эллиптический гиперболоид:

 

, где p>0; q>0;

 

Точечно-заданный способ задания.