Двухмерное смещение и однородные координаты.

 

До сих пор не обсуждалось смещение на плоскости точек и линий, это обусловлено тем, что вводить константу переноса внутрь структуры общей матрицы размера 2*2 не представленным возможным. Отметим, что эту трудность можно устроить за счет введения третьей компоненты в векторных точек.

 

 

 

В результате матрица преобразованная становиться размера 3*2 и имеет вид:

 

Это необходимо, поскольку число столбцов в матрице, описывающую точку должно равняться числу строк в матрице, преобразованной для выполнения операций перемноженной матрицы.

 

 

Отсюда видно, что константы m и n вызывают смещение в точке, относительно точки х с координатами (x,y). Поскольку матрица 3*2 не является квадратной, она не имеет обратной матрицы. Эту трудность можно обойти, заполнив матрицу преобразований до квадратной матрицы 3*3.

 

Например:

 

 

Заметим, что третья компонента векторов положения точек не изменяет, а использует эту матрицу преобразования, получим преобразованный вектор [x*y*1].

 

Добавление третьего элемента к вектору положения и третьего столбца смещения вектора положения, третий элемент можно рассматривать, как дополнительную координату вектора.

 

Вектор положения [xy 1],привоздействие на него матрицы 3*3 в общем случае может иметь вид:

 

[XYH]

 

Преобразование имеет место в трехмерном пространстве, и в нашем случае Н=1.

 

Если третий столбец в общем случае отличен от матрицы преобразования, то в результате преобразований точки [xy 1], мы получим [XYH], где Н отличное от 1.

 

Плоскость, в которой лежит преобразованный вектор, лежит в трехмерном пространстве.

 

Для того, чтобы получить обратное действие, то есть:

 

 

Трехмерное преобразование и проекции.

Введем снова однородные координаты. Точка в трехмерном пространстве X,Y,Z представляется в четырехмерном пространстве векторами X,Y,Z,H (x,y,z,1).

 

Преобразование из однородных координат описывается:

 

 

где Т – некоторая матрица преобразований, обобщенная матрица преобразований 4*4 однородных координат, имеющая вид:

 

 

Рассмотрим частные действия для данного четырехмерного преобразования.

 

Трехмерное изменение масштаба.

 

Основы преобразований.

 

 

Данное преобразование производит частное изменение масштаба. Общее изменение масштаба получается за счет использования четвертого диагонального элемента.

 

 

где

Сдвиг.

 

Не диагональные элементы левой верхней подматрицы 3*3 в общем матричном преобразование размером 4*4 осуществляется сдвиг в трех измерениях, то есть:

 

Трехмерное вращение.

 

В предыдущем случае было показано, что матрица 3*3 обеспечивает комбинацию операций измерения масштаба и сдвига. Однако, если определенная матрица 3*3 = 1, то имеет место чистое вращение около начала координат.

 

Рассмотрим несколько частных случаев вращения.

 

При вращение вокруг оси х размеры вдоль оси х не изменяются, таким образом матрица преобразований будет иметь нули в первой строке и столбце, за исключением единицы на главной диагонали. И будет иметь вид:

 

 

Угол Ө - угол вращения вокруг оси х;

 

Вращение предполагается положительным по часовой стрелке, если смотреть с начала координат вдоль оси вращения.

 

Для вращения на угол φ около оси Y нули ставят во второй стороне и столбце матрицы преобразования за исключением единицы на главной диагонали.

 

Матрица имеет вид:

 

 

Аналогично матрица преобразований для вращения на угол ψ вокруг оси Z:

 

 

 

Так как вращение описывается умножением матрицы, то трехмерное вращение не коммутативное, то есть порядок умножения будет влиять на конечный результат.

 

Отображения в пространстве.

 

Иногда требуется выполнить зеркальное отображение трехмерного изображения.

 

Рассмотрим частный случай отображения. Матрица преобразования относительно плоскости XYимеет вид:

 

И отображение YZ или отображение XZприотображение относительно других плоскостей можно получить путем комбинации вращения и отображения.

 

Для отображения yz:

 

 

Для отображения xz:

 

Тв.модели

При каркасном моделировании хотя оно и является объемным, мы не учитываем, что является телом, а что внутренностью.

Поэтому появляется термин – твердотельная модель.

 

Термин твердотельная модель говорит о том, что помимо свойств описания геометрии (очерков, каркасов) существуют признаки или свойства, разделяющие пространства на свободное и на сам геометрический объект.

В связи с тем, что описание свойства твердотельности математической модели может быть многообразными. Приведем только некоторые способы описания твердотельных моделей.

 

Дискретная модель

 

Принцип построения дискретной модели заключается в том, что объект делится на элементарнее подпространства. Данному элементарному подпространству присваивается индекс, определяющий принадлежность или непринадлежность к телу.

 

Преимущества:

1. Разработан математический аппарат на основе булевой алгебры и математической логики.

2. Простота задания геометрического объекта.

 

Недостатки:

1. Геометрический объект задается дискретно, возникает вопрос математической модели о точности задания геометрического объекта по гладкости, по возможности построения нормали к геометрическому объекту.

2. Для данной модели существуют проблемы в уравнении и масштабировании геометрического объекта.

Эффект масштабирования - нельзя ни растянуть ни сжать, делаем от и до.

Вероятностная модель

Описывает геометрическое описание объекта при помощи функции вероятности.

Пример:

Если дискретный объект вместо признака подставим вероятностную функцию, которая определяет принадлежность (непринадлежность) к данному объекту.

Нужно в системе распознавания.

 

Кинематические и аналитические способы задания

Задана точка, есть окружность и есть аппарат с помощью которого описывается окружность.

Некоторые из наиболее распространенных способов описания рассматривались выше.

 

Возникают проблемы описания принадлежности.

 

Пример:

Способ принадлежности может быть виден точки (затравки), вектор, показывающий направление и т.д.

Преимущества:

1. Возможность создания и описания геометрического объекта векторным способом, то есть оптимизация точности объема информации и масштаба при описании геометрического объекта.

2. Возможность минимизации хранения информации за счет аналитического описания или алгоритмического описания.

 

 Недостатки:

1. Сложность определения принадлежности и пересечении геометрических объектов.

2. При описании математической модели возможны различные варианты разработки твердотельной модели даже внутри кинематического и аналитического способа, что приводят к некоторым сложностям при переходе от одной модели к другой.

Раздел 2. Конструкторские САПР (обзорная лекция на 2 часа, читается в виде презентации, с показом рассматриваемых пакетов, обзор может приводится на примере какого то либо пакета(к конспекту приложен фильм, с сравнениями в других пакетах))

Обзор конструктивных САПР

 

ACAD

 

UniGrafics

 

 CATI

 

Каскад

 

Кредо

 

Solidworks

 

 

Раздел 3 Технологические САПР (обзорная лекция на 2 часа, читается в виде презентации, с показом рассматриваемых пакетов, обзор может приводится на примере какого то либо пакета(к конспекту приложен фильм, с сравнениями в других пакетах))

Обзор технологических САПР

САПР литье

САПР заготовительный

 САПР механический

.

 

Литература:

 

1.Кунву Ли Основы САПР (CAD/CAM/CAE)- СПб.,Питер,2004.-560 с

2.Р.В. Хемминг Численные методы для научных работников и инженеров.-М., издательство «Наука»,1972 г.-400 с.

3.Ж.Куцман Численные методы./пер.сфр.-М.:Наука Главная редакция физико-математической литературы., 1979 г., -160 с.

4.Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие для вузов.- М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. –248 с.