Дополнительный код двоичного числа

Дополнительный код — наиболее распространённый способ представления отрицательных целых чисел в компьютерах. Он позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения и сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и беззнаковых чисел, чем упрощает архитектуру ЭВМ. Дополнительный код отрицательного числа можно получить инвертированием модуля двоичного числа (первое дополнение) и прибавлением к инверсии единицы (второе дополнение), либо вычитанием числа из нуля.

    Дополнительный код (дополнение до 2) двоичного числа получается добавлением 1 к младшему значащему разряду его дополнения до 1.

       Дополнение до 2 двоичного числа определяется как величина полученная вычитанием числа из наибольшей степени двух (из 2N для N-битного дополнения до 2).

Представление числа в дополнительном коде

     При записи числа в дополнительном коде старший разряд является знаковым. Если его значение равно 0, то в остальных разрядах записано положительное двоичное число, совпадающее с прямым кодом. Если число, записанное в прямом коде, отрицательное, то все разряды числа инвертируются, а к результату прибавляется 1. К получившемуся числу дописывается старший (знаковый) разряд, равный 1.

     Двоичное 8-ми разрядное число со знаком в дополнительном коде может представлять любое целое в диапазоне от −128 до +127. Если старший разряд равен нулю, то наибольшее целое число, которое может быть записано в оставшихся 7 разрядах равно 27 − 1, что равно 127.

Преобразование дополнительного кода

     Преобразование числа из прямого кода в дополнительный осуществляется по следующему алгоритму.

· Если число, записанное в прямом коде, положительное, то к нему дописывается старший (знаковый) разряд, равный 0, и на этом преобразование заканчивается;

· Если число, записанное в прямом коде, отрицательное, то все разряды числа инвертируются, а к результату прибавляется 1. К получившемуся числу дописывается старший (знаковый) разряд, равный 1.

Дополнительный код для десятичных чисел

     Тот же принцип можно использовать и в компьютерном представлении десятичных чисел: для каждого разряда цифра X заменяется на 9−X, и к получившемуся числу добавляется 1. Например, при использовании четырёхзначных чисел −0081 заменяется на 9919 (9919+0081=0000, пятый разряд выбрасывается).

Преимущества и недостатки

Преимущества

· Один и тот же регистр может хранить как n-битовое положительное число, так и (n−1)-битовое число со знаком, с общими для обоих форматов операциями сложения, вычитания и левого сдвига.

· Более удобная упаковка чисел в битовые поля.

· Отсутствие числа «минус ноль».

Недостатки

· Дополнительный код неочевиден для новичков.

· В сложных форматах (таких, как плавающая запятая или двоично-десятичный код) большинство преимуществ аннулируются.

 

Логические функции

Логической функцией называется функция f (x 1, x 1,...,x n), которая, так же как и ее аргументы, может принимать только два значения (0 и 1).

Совокупность значений аргументов будем называть набором. Каждому набору присваивается номер N, равный двоичному числу, образованному значениями аргументов на этом наборе. Условимся, что младшему разряду этого числа соответствует значение аргумента со старшим индексом, и наоборот.

 

где n - общее число переменных.             

Например, пусть логическая функция зависит от трех переменных f(x1,x2,x3). Тогда набор x1=1, x2=1, x3=0 будет иметь номер.

 

Словесный способ

     При словесном способе алгоритм задается в произвольном изложении на естественном языке. Недостаток этого способа состоит в том, что алгоритм строго не формализуем, многословен, допускает неоднозначности. Однако данный способ изложения алгоритма не требует специальных знаний и может применяться конечными пользователями. Именно на этом языке, как правило, сообщается неформальная постановка задачи на этапе формализации и он же может быть использован для представления результата первого этапа.

     Как правило, именно этот способ используют при объяснении какой-либо задачи преподаватели, сопровождая его рисунками, схемами, графиками и т.д. Несмотря на указанные недостатки данного способа, он наиболее привычен и без него не обходится практически ни одна постановка задачи, поэтому примеров его использования можно найти множество в процессе обучения студента и в повседневной жизни.

 

Табличный способ

    Запись вычислительного алгоритма в форме таблицы широко используется при организации вычислений по формуле с пооперационной регистрацией промежуточных результатов. В этом случае расписка формулы на последовательность элементарных действий, обеспечиваемых имеющимися в наличии вычислительными средствами, есть не что иное, как определение последовательности шагов (указаний) вычислительного алгоритма. Табличная форма записи алгоритма особенно удобна тогда, когда требуется вычислять не одно, а несколько значений одного и того же выражения для различных значений входных величин.

 

Числовой способ

Цифровой способ задания логических функций реализуется посредством записи функции в виде совокупности рабочих, запрещённых и условных наборов аргументов. Условными наборами аргументов называются наборы, на которых значение функции не определено или нас не интересует. При цифровом способе задания функции f, (Рисунок  2.2) будут записаны в виде:

                                                   ;

Если у функции отсутствуют условные наборы, то указываются только рабочие наборы данной функции. Например, функция  (Рисунок  2.2) при цифровом способе задания может быть записана в виде:

= (0,2,8 – 11,13,15).

 

Аналитический способ

Аналитический способ задания предполагает запись функции в виде формализованного выражения, составленного с использованием математического аппарата алгебры логики. Например, представленные таблицей истинности на Рисунок  2.2, а–в функции могут быть записаны в виде аналитических выражений:

 

Координатный способ

Таблично-графический или координатный способ предусматривает задание ФАЛ в виде координатных карт состояний, называемых картами Карно. При наличии n переменных карты Карно состоят из полей и представляют собой прямоугольные таблицы, на пересечении строки и столбца которых записывают значение функции при соответствующем наборе аргументов. При составлении карты необходимо следить, чтобы наборы аргументов в соседних полях (клетках) таблицы отличались только значением одной переменной. Карты Карно для двух, трех и четырех переменных представлены на Рисунок  2.3, а–в.

Каждое поле карты соответствует одной строчке таблицы истинности, при табличном способе задания функции. Например, для функции двух переменных, представленной на Рисунок  2.3, а, согласно обозначению первому полю карты, соответствует комбинация аргументов  или «00», второму –  или «01», третьему –  или «11», четвёртому –  или «10». Единицы поставлены в поля карты соответствующие рабочим наборам  и                      . В остальные поля карты, соответствующие запрещённым наборам, записаны нули. Аналогично составляются карты для функций от трёх и четырёх переменных (Рисунок  2.3, б, в).

В каждую клетку карты Карно вписываются значения, принимаемые функцией на соответствующем данной клетке наборе аргументов.

 

4.6Графический способ

     При графическом представлении алгоритм изображается в виде последовательности связанных между собой функциональных блоков, каждый из которых соответствует выполнению одного или нескольких действий. Такое графическое представление называется схемой алгоритма, или блок-схемой. В блок-схеме каждому типу действий соответствует геометрическая фигура, представленная в виде блочного символа. В таблице приведены наиболее часто употребляемые символы.

 

5.Вопросы:

1. Что такое прямой код?

2. Представление числа в прямом коде.

3. Для чего нужен прямой код?

4. Обратный код – это…

5. Представление числа в дополнительном коде.

6. Алгоритм преобразования числа из прямого кода в дополнительный.

7. Преимущества и недостатки дополнительного кода.

8. Что называется логической функцией?

9. Что предполагает аналитический способ задания?

 

ТЕМА 5:

"Логические элементы.Логические функции"

Содержание:

1. Элементы и, или, не и их комбинации.

2. Представление логических функций.

3. Законы алгебры логики.

4. Представление в виде карт Карно.

5. Вопросы