Качество процесса регулирования.

Любая промышленная САУ должна обеспечивать качественные показатели процесса регулирования. Их оценивают по переходной функции h(t).

Переходной (временной) функцией звена или системы называют переходный процесс изменения во времени выходной величины, вызванный подачей на вход единичного ступенчатого воздействия.

 

        

 

 

, где            0 при t<0

         1(t)=í

                   1 при t>0

К основным показателям переходного процесса относят:

- Время переходного процесса (tп).

- МАХ отклонение (перерегулирование) (s).

- Колебательность (число колебаний x(t) за tп).

- Установившуюся погрешность (e0).

          

 

 

tп –характеризует быстродействие системы и определяется как интервал времени от момента приложения воздействия до момента, когда отклонение выходной величины

DХ от установившегося значения (Хуст), установится менее заданного MIN значения e0.

Обычно принимают, что это значение составляет 5% установившегося значения. Если установившееся значение равно нулю, то его принимают равным 5% от МАХ значения отклонения в переходном периоде.

Перерегулирование (s)- МАХ отклонение значения регулируемой величины от установившегося:

 

%,

  Колебательность- характеризуется числом колебаний Х за время tп. Если за это время переходный процесс в системе имеет число колебаний менее заданного, то система удовлетворяет качеству. Обычно приемлимым считается 1-2 колебания. В ряде систем (перемещение электродов в дуговых печах) колебательность недопускается совсем. Установившаяся погрешность или точность регулирования определяется:

 

e0=g0-Хуст

График переходного процесса h(t) может быть получен экспериментально в результате решения д.у. И то и другое трудно, поэтому желательно судить об основных показателях качества регулирования без построения h(t), а по косвенным признакам.

Эти признаки – критерии качества переходных процессов. Существует 3 группы критериев:

- Частотные.

- Корневые.

- Интегральные.

По частотной характеристике можно оценить колебательность и длительность перех. процесса.

 

 

Показатель колебательности:

 

.

Моптим=1.1-1.5.

Переходная характеристика (h(t)) имеет слабую колебательность с частотой близкой к wрез.

Длительность переходного процесса (tп) определяется шириной частотной характеристики.

 

 

 

Чем шире частотная характеристика, тем короче ее переходная функция и тем меньше tп. Это время может быть оценено величиной wрез. Т.к. частота колебания системы приблизительно равна wрез, то время достижения 1-го максимума кривой h(t) соответствует половине периода колебания этой резонансной частоты.

 

При неколебательной переходной характеристике время переходного процесса определяется частотой среза.

 

Для оценки колебательности системы достаточно иметь одну ЛАЧХ:

 

 

 

Колебательность системы считается допустимой, если на частоте среза wср ЛАЧХ имеет наклон не более 20 Дб/дек. При этом, чем шире участок с таким наклоном, тем меньше колебательность. При ширине участка около 1дек и при wср расположенной в правой части участка (см.рис), перерегулирование не превышает(20-30)%.

Одним из косвенных показателей качества устойчивых систем является степень удаленности корней характеристического уравнения замкнутой системы, лежащих в левой комплексной полуплоскости от мнимой оси.

 

                           

 

a_min-расстояние ближайшего корня от мнимой оси характеризует запас устойчивости системы и называется степенью устойчивости системы, где a_min- действительная часть корня, ближайшего к оси jw.

j_мах-наибольший из углов, образованный отрицательной действительной полуосью и лучами, проведенными из начала координат через точки отражающие корни характеристического уравнения, характеризует колебательность системы.

 

- коэффициент затухания колебаний (степень колебательности).

 Если все корни будут лежать внутри заштрихованной области, то будет обеспечена заданная колебательность и устойчивость.

 

                                  Интегральные показатели качества.

 

Интегральные показатели качества основаны на том, что качество регулирования тем выше чем меньше площадь между кривой переходного процесса h(t) и заданным значением регулируемой величины. Наибольшее применение получили следующие показатели:

 

 

, где =1(t)-h(t)

 

 

.

Т – постоянное время некоторой экспоненты по которой должна изменяться регулируемая величина согласно техническому заданию.

Чем меньше заштрихованная площадь, тем предпочтительнее переходные процессы. Интеграл I может применяться только для оценки качества неколебательных монотонных процессов. С помощью квадратичного интегрального критерия  оценивают качество колебательного перехеходного процесса (п.п.). При этом знаки площадей не приводятся во внимание.

В большинстве случаев выбор изменяемых параметров системы по MIN интегралу  приводит к системе с большой колебательностью. И если это неприемлимо, то используется критерий , интеграл которого состоит из двух частей: 1) Определяет площадь, ограничиваемую квадратом отклонения регулируемой величины, а вторая площадь, ограничиваемую квадратом скорости изменения отклонения. Если при одной и той же площади п.п. замедлить п.п. во времени, то уменьшится вторая часть , поэтому MIN =MIN  будет существовать при более медленном колебательном п.п.

Указанные интегралы применяются не только для оценки динамических свойств в САУ и ЭТУ, но и реализуются эти интегралы в виде блоков адаптивных систем, которые формируют параметры звена обратной связи для соответствующей подстройки системы, в зависимости от условий работы ЭТУ.

                                             

                                            Чувствительность.

Проблема изменения характеристик системы из-за изменения ее параметров называется проблемой чувствительности. Мерой чувствительности считается – отношение процентного (относительного) изменения передаточной функции системы к процентному отношению этой функции.

 

.

Функция чувствительности вычисляется как предел выражения S при стремлении Db к нулю. Коэффициент чувствительности можно записать так:

.

Зависимость от параметра P (переменная преобразования Лапласа) создает трудности е6е интерпретации.

Если в этих выражениях заменить P на jw, то можно представить функцию чувствительности в виде технической характеристики. Тогда функция чувствительности преобретает смысл как чувствительность на частотах в полосе пропускания системы (wс).

Т.к. система не пропускает сигналы при частоте w>wс, то чувствительность на этих частотах не представляет интереса.

Получим полезные характеристики.

 

 

Передаточная функция замкнутой системы:

 

.

 

 

 

 

-коэффициент усиления контура на данной частоте.

Цель проектирования в САУ – сделать систему наименее чувствительной к изменению любых ее параметров. Коэффициент усиления контура в рабочей полосе частот системы желательно увеличить для уменьшения чувствительности системы к изменениям параметров объекта.

Одной из функций регулятора  как раз является увеличение коэффициента усиления, но при сохранении устойчивости замкнутой системы.

 

Определим чувствительность системы к изменению параметров датчика:

 

.

Знак минус указывает, что увеличение Н приводит к уменьшению чувствительности, чтобы чувствительность системы по отношению к датчику была малой, необходимо, чтобы коэффициент усиления контура также был малым, но уменьшение коэффициента усиления контура делает систему более чувствительной к вариации параметров объекта. Чтобы снять противоречие конструкторы выбирают высококачественный датчик со стабильными характеристиками. (В отношении объекта этого сделать нельзя).

В полученных выражениях  и  и сами передаточные функции звеньев изменяются, потому что изменяется их какой-либо параметр.

 

 

                                        Компенсация возмущений.

С выхода регулятора САУ на вход объекта поступает входное воздействие М(р). Однако на объект по другим каналам могут поступить неконтролируемые воздействия-возмущения. Например, при открытии крыжки печи для загрузки. Предположим, что имеется система регулирования температуры в печи сопротивления.

 

 

Передаточная функция замкнутой системы по возмущению в этом случае будет иметь вид:

 

При этом сделано предположение, что применяется ПИ-регулятор ;

Н(р)=0.05. Допустим, что открывается крыжка для загрузки,т.е на объект поступает возмущение в виде единичной ступенчатой функции, тогда за t=4t=10*4 c, где t=10 с=1/wс, печь остынет на 6 градусов, т.е (0)=-6.

Выразим передаточную функцию по возмущению через частоту:

 

Отсюда видно, что в установившемся режиме (0)=0 возмущения не оказывают воздействия. В общем случае выходная величина зависит от воздействий на объект следующим образом:

 

А(р)-передаточная функция замкнутой системы от эталонного входа к выходу.

- передаточная функция от возмущения D(p) к выходу.

Предположим, что Н(jw)=1, имеется единичная ОС=1, тогда

, при >>1 пренебрежем 1.

При тех же условиях по каналу возмущения:

.

Увеличение коэффициента усиления контура ведет к ослаблению действия возмущения.

 

Применяются 4 способа ослаблений возмущения:

1. На стадии проектирования стремятся уменьшить  в рабочей полосе частот.

2. Уменьшить влияние возмущения путем увеличения коэффициента усиления регулятора или объекта по главному каналу, но это может привести к увеличению .

3. Уменьшить величину возмущений.

4. Введение регулирования по возмущению, если его можно замерить. Для этого САУ дополняется дополнительными звеньями.

 

 

Измеряемые возмущения D(p) подаются на вход сумматора через G(p). Это звено является частью регулятора. Введение этого канала не влияет на передаточную функцию U(p).

;

Компенсацией возмущений можно добиться, если так выбрать , чтобы числитель был малым, а если путем выполнения соотношения  добиться условия  будет скомпенсировано полностью.

За счет того, что на входе объекта появляется сигнал пропорциональный возмущению, но со знаком, обратным непосредственно возмущению, действующего на объект.

 

Нелинейные системы.

В установившемся режиме преобразователь с фильтром на выходе (инвертор для индукционных ЭТУ) потребляет от источника питания практически неизменный ток, а параллельный инвертор с фильтром от выпрямителя практически постоянный ток.

Параллельный инвертор тока можно представить со стороны источника питания в виде схемы замещения из последовательно соединенных Lд и Rпр. Последний отражает потребление активной мощности нагрузочной цепью инвертора.

 , где - коэффициент, определяемый типом инвертора.

Для параллельного инвертора =0.9,

R - активное сопротивление индуктора в схеме замещения.

    

 cos - коэффициент мощности нагрузочной цепи инвертора.

В процессе регулирования Rпр, на котором выделяется тепловая мощность индуктора, будет зависеть от величины подводимого питания. В зависимости от Rпр будет меняться . Поэтому и статический коэффициент передачи от напряжения и тепловой мощности не является постоянным и строго говоря, должен рассчитываться для каждого значения подводимого напряжения. Т.е. преобразователь напряжения, теплота в прямом канале, структурная схема САУ ЭТУ является нелинейным элементом.

Пример 2.

В общем случае не по одному из каналов управления система источник питания -загрузка не является нелинейным звеном. Кроме того существует проблема распределения тепла в теле загрузки: разработчики представляют нелинейную зависимость температуры в I-й точке загрузки () от напряжения в виде последовательно включенных двух фиктивных звеньев.

 

 

Входным является напряжение - удельная мощность на поверхности загрузки.

Второе звено с передаточной функцией является линейным при постоянных теплофизических свойствах загрузки. Нелинейным и практически безъинерционным является первое звено. Его выход связан с входом зависимостью  , где  – коэффициент определяемый из электрического расчета индуктора.

        

- активная мощность, выделяемая в загрузке.

- поверхность загрузки, поглощающая энергию.

h – электрический КПД индуктора.

Тогда коэффициент  будет равняться:

Но из теории индукционного нагрева ,

Где - коэффициент аппроксимации частотной зависимости и сопротивление индуктора. Т.е. увеличение частоты приводит к уменьшению удельной мощности

, >1.

Качество обработки изделия в ЭТУ зависит от степени выражения температуры на поверхности заготовки. При отсутствии тепловых потерь с поверхности при нулевых начальных условиях, температура в точке с координатой R(цилиндр), по истечении времени t после начала работы источника тепла, температура выражается равенством:

 

, где

- радиус цилиндра.

 - критерий Фурье.

a, l- коэффициенты температуры и теплопроводности.

 - относительная координата рассматриваемой точки.

a - параметр, характеризующий распределение источников тепла по поверхности цилиндра.

- функция распределения параметров по радиусу цилинров.

Функция S рассчитана и протабулирована для трех характерных режимов нагрева:

 - для холодного нагрева.

 - для промежуточного нагрева.

 - для горячего нагрева.

Проверочные расчеты показали, что с незначительной погрешностью, температуру в любых режимах можно рассчитать с помощью функции  , но аргумент от функции m (относительный радиус цилиндра) определяется по формуле:

Для холодного:   ,

где - глубина проникновения тока в поверхность.

В промежуточном режиме:    ,

Где - эквивалентная глубина проникновения тока в двухслойную среду.

В горячем режиме (более 750 ) и в режиме выдержки:  ,

где  - глубина проникновения тока.

r- удельное электрическое сопротивление цилиндра.

 

           Определение и свойство нелинейных систем.

Линейная система – система, для которой применим принцип суперпозиций.

 

Нелинейной называется система для которой не применим принцип суперпозиций.

Стационарная система- система, параметры которой не зависят от времени.

Преобразование Лапласа не может быть использовано для решения линейных диф. уравнений с переменными параметрами и для нелинейных д.у. любого вида.

Описание объекта передаточной функцией подразумевает то, что он является линейным и стационарным.

Одним из свойств нелинейных систем является то, что их устойчивость может зависеть от входных сигналов и от начальных условий.

При изучении и описании нелинейных систем применяют следующие характеристики:

1. Предельный цикл.

Периодические незатухающие колебания в нелинейной системе называются предельным циклом. В общем случае он не является sin. В нелинейных системах амплитуда незатухающих колебаний не зависит от внешних воздействий и от начальных условий.

2. Частота вынужденных колебаний при периодическом входном воздействии. При подаче на вход н.с. периодического воздействия частота вынужденных колебаний на выходе системы может быть либо субгармоникой или гармоникой.

Например, если частота входных колебаний – 10 Гц, то колебание может быть

3 Гц – субгармоника

30 Гц – гармоника.

 

3. Явление скачкообразного резонанса.

 

 

 

 

, где М=const.

4. Множество состояний равновесия.

Если линейная система устойчива, то при снятии входного воздействия все переменные состояния с течением времени стремятся к нулю.

В устойчивой нелинейной системе могут существовать несколько различных состояний равновесия отличных от нуля и к ним система стремится при отсутствии входного воздействия.

 

               Метод описывающей функции (гармонической линеаризации) для представления нелинейного звена, как элемента САУ.

         

 

 

В этом методе определения приближенного описания нелинейности полагают, что входной сигнал нелинейности является синусоидальным. Тогда выходной сигнал нелинейности будет периодическим, но не синусоидальным.

  - не sin.

Такой сигнал можно представить в виде ряда Фурье.

 

 ;

Коэффициенты выражаются:

 

;

;

Для многих технических случаев ограничиваются допущением, что =0, т.к. при этом нелинейность симметрична относительно оси. В этой методике полагают, что w(t) соответствует фильтру низких частот. Передаточная функция пренебрежимо мала для сигналов всех гармоник, кроме первых. Т.е. выходной сигнал при этом можно записать в виде:

       .

И сигнал нелинейности аппроксимируют выражение

;

;

Отсюда следует, что сигнал N(t) можно аппроксимировать sin. той же частоты, но имеющей другую амплитуду и фазу. Поэтому нелинейность можно представить в виде комплекса коэффициента усиления.

;

 

- эквивалентный коэффициент усиления называется описывающей функцией и изображается на схемах следующим образом:

 

 

 

N= ;

Описывающая функция N(M,w) в общем случае зависит как от амплитуды, так и от частоты входной амплитуды. Эта функция играет роль эквивалентного коэффициента усиления только при очень жестких ограничениях:

1. Входной сигнал нелинейности является sin-ым.

2. Линейная система, следующая за нелинейностью является фильтром низких частот и ослабляет все высшие гармоники на столько, что их влиянием можно пренебреч.

 

                   Вычисление описывающих функций.

1. Нелинейность кубического типа:

  

 ;

;

при этом учтем, что:  ;

                              

;

 Согласно допущению 3-й гармоникой пренебрегают, то

;

 Тогда    ;

Эквивалентный коэффициент усиления нелинейности пропорционален квадрату амплитуды входного сигнала и поэтому сам по себе является нелинейным.

 

                                         Идеальное реле.

Выходной сигнал идеального реле отражает факт появления сигнала на его входе.

 

Поскольку выход является нечетной функцией, то =0, поэтому:

;

;

;

;

Эквивалентный коэффициент обратнопропорционален амплитуде сигнала, но это очевидно, поскольку как не увеличивалась бы амплитуда на входе, на выходе она остается постоянной.

 

                      Таблица описывающих функций.

Описывающие функции для наиболее распространенных нелинейностей приведены в таблицах коэффициентов гармонической линеаризации. Для однозначных нелинейностей эти функции являются вещественными, т.к. они не приводят к появлению фазового сдвига синусоидального сигнала.

В случае неоднозначных нелинейностей прохождение через них синусоидального сигнала сопровождается фазовым сдвигом, поэтому для них описывающие функции, приводимые в таблицах являются комплексными.

 

Нелинейность                                                            N(M,w)

 

                                       

 

 

Для упрощения использования некоторых описывающих функций в указаных таблицах был выделен член , который является общим для многих из них. Табличные значения этого члена сведены в отдельную таблицу, часто приводят графики, номограммы.

 

               Использование описывающей функции.

Согласно представлению нелинейной системы:

 

;                        ;

 

 

Исследуем установившиеся гармонические колебания в системе.

Выходной сигнал нелинейности будет иметь вид:

 

;

 

         Основные положения анализа метода описывающей функции.

В нелинейной системе возникает предельный цикл, если входной сигнал на n будет приблизительно синусоидальным и будет полностью восстанавливаться в замкнутом контуре, т.е. будет обеспечен петлевой коэффициент усиления равный 1.

Задача анализа- определить существует ли амплитуда М и частота w такие, при которых коэффициент усиления разомкнутого контура от входа нелинейности к той же самой точке равен 1 при условии, что нелинейность заменена её описывающей функцией.

Формально    ;

В системе предельный цикл возникает, если:

;

Для определения наличия искомой рабочей точки в этом выражении приравнивают амплитуды:

По аналогии с характеристическим уравнением в системе записывают:

, если это уравнение удовлетворяется, то можно предсказать существование предельного цикла.

В действительности существование предельного цикла можно установить только путем испытаний реальной системы.

Поскольку N(M,w) в общем случае является комплексной функцией, то уравнение не поддается непосредственному решению. Для нахождения M и w, для соответствующих единичному петлевому усилению прибегают к решению графоаналитическим методом, т.е. строятся кривые для левой и правой частей следующего уравнения:

 

 

;

 

 

Если при некотором значении w две кривые пересекаются, то уравнение имеет решение и в нелинейной системе возможно существование предельного цикла.

Рассмотрим систему с нелинейностью в виде идеального реле (компаратора).

 

 

 

Согласно таблице описывающих функций правая часть уравнения

;

График этой функции строится изменением М от 0 до w.

График функции  строится подстановкой различных значений w от 0 до .

При построении можно убедиться, что действительная ось пересекается этим годографом при w=1.

;

Таким образом точки пересечения графиков соответствуют условиям:

, откуда   ;

Метод описывающей функции предсказывает существование в данной системе предельного цикла при котором сигнал выхода определяется выражением:

;

При этом выходной сигнал реле имеет вид прямоугольных колебаний с амплитудой V. Значит существуют способы, для избежания предельных циклов в системе, надо найти способы, чтобы на этой частоте (в полосе рабочих частот системы) недопустить усиление амплитуды, в - раз.

                    Устойчивость предельных циклов.

В нелинейной системе существует два типа предельных циклов:

1. В устойчивом предельном цикле амплитуда колебания возвращается в прежнее состояние после возмущения.

2. Неустойчивый предельный цикл, если под действием какого-либо фактора амплитуда колебаний меняется и с течением времени колебания затухнут, либо наоборот, амплитуда увеличивается и будет неограниченно возрастать.

Рассмотрим неустойчивый предельный цикл в следующей системе:

 

 

 

В этой системе зона нечувствительности описывается функцией:

 

 

 

При m>>1, N(M)®1

Допустим, что в системе существует предельный цикл в точке M=K и .

При увеличении М рабочая точка сместиться влево, это будет соответствовать увеличению амплитуды на выходе системы, сигнал которой будет увеличиваться.

Если рабочая точка сместиться вправо от –2, то амплитуда будет меньше, т.е. цикл является неустойчивым.

Неустойчивый предельный цикл соответствует устойчивой работе системы.

В данном случае это происходит по следующим причинам:

При малых сигналах m(t) . Если он меньше 1, то n(t)=0 и система определенно является устойчивой.

Для несколько больших сигналов амплитуды эффективный коэффициент усиления будет малым и система будет устойчивой.