Перевод чисел в позиционных системах счисления

Перевод целых чисел.

Пусть необходимо перевести число N из p-ичной системы в q-ичную, где q - запись основания новой системы в p-ичной системе.

Правило перевода целых чисел следующее: для перевода целого числа из одной позиционной системы счисления (p-ичной) в другую (q-ичную) надо его, а затем целые частные последовательно делить нацело на основание системы q, в которую число переводится, по правилам исходной системы до получения частного, меньшего q. Число в новой системе получается как последовательность остатков от деления начиная с последнего. Последний остаток дает старшую цифру.

Пример

Перевести 348₁₀ в 8-ную систему счисления: 348:8=43 остаток 4; 43:8=5 остаток 3; 34810 = 5348

Пример

Перевести 348₁₀ в 16-ную систему счисления: 348:16=12 остаток 12; 21:16=1остаток 5;

34810 = 51C16

Перевод дробных чисел

Пусть теперь M - правильная p-ичная дробь и необходимо перевести ее в q-ичную систему счисления.

Чтобы перевести правильную дробь из одной системы счисления (p- ичной) в другую (q-ичную), ее надо последовательно умножать на основание системы, в которую переводят (q). Дробь записывается как последовательность целых чисел получающихся произведений, начиная с первого.

Пример

Перевести число 0,725₁₀ в 8-ную систему. 0.725*8=5.800;

0.800*8=6.400; 0.400*8=3.200; 0.200*8=1.600.

Результат 0,725₁₀ = 0,563₈

Пример

Перевести 0,725₁₀ в 2-ную систему: 0.725*2=1.450; 0.450*2=0.900; 0.900*2=1.800; 0.800*2=1.600; 0.600*2=1.200; 0.200*2=0.400. Результат 0.725₁₀ = 0.10111₂

Перевод смешанных чисел

Для перевода смешанного числа из одной системы счисления в другую переводят отдельно целую и дробную часть по соответствующим правилам и записывают в новой системе, разделяя десятичной запятой.

Пример

Перевести 79.65₁₀ в 8-ную с.с.. 79₁₀=117₈; 0.65₁₀=0.515₈. Результат 79.65₁₀ = 117.5158

Перевод чисел из восьмеричной системы в двоичную и обратно.

Чтобы перевести число из восьмеричной системы счисления в двоичную надо каждую ее цифру целой и дробной частей заменить равным ей трехзначным двоичным числом. И наоборот: чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, нужно разбить ее влево и вправо от запятой на группы по три цифры (двоичные триады) и каждую из них заменить равной ей восьмеричной цифрой; если крайние левая и правая триады окажутся неполными, их дополняют соответственно слева и справа нулями - одним или двумя.

Пример

Перевести 1111010011,0010101012 в 8-ную с.с

11110 1 0011,00 1 0 1 0 1 012 = 001 111 0 1 0 011, 00 1 0 1 0 1 002 = 1723,1248.

Пример

Перевести 968,512₁₀ в 2-ную с.с.. 968,512₁₀ = 1710,4068 = 001 111 001 000,100 0 00110₂.

 

4. Арифметические операции в двоичной системе счисления

Сложение одноразрядных чисел производится в соответствии с равенствами:

0 + 0 = 0;

1 + 0 = 1;

0 + 1 = 1;

1 + 1 = 10

Пример

Выполнить сложение

1. 1011011+110101=10010000

2. 101,11101 + 1,10011=111.10011

Вычитание в двоичной системе счисления выполняются по правилам:

0 - 0 = 0;

1 - 0 = 1;

1 - 1 = 0;

10 - 1 = 1

Пример

Найти разность чисел:

1. 1001011-110110=10101

2. 11,00101-1,11011= 1,01010

Умножение в двоичной системе счисления выполняются по правилам:

0 * 0 = 0;

1* 0 = 1;

1*1 = 1;

0*1 = 0

Пример.

Перемножить два числа: 100111,1 * 10,11=1101100,101.

Деление двоичных чисел выполняется с использованием таблиц умножения и вычитания.

Пример Найти частное с точностью до 0,001: 1101101: 1011= 1001,1110? 1001,111

Двоично-десятичная запись числа

При обработке больших массивов экономической информации переводы чисел из десятичной системы в двоичную и обратно требуют значительного машинного времени. Некоторые образцы ЭВМ имеют специальные блоки, которые обрабатывают десятичные целые числа в их двоично-десятичном представлении. Каждая десятичная цифра заменяется равным ей четырехразрядным двоичным число - двоичной тетрадой - в соответствии с таблицей:

010 = 00002/10

510 = 01012/10

110 = 00012/10

610 = 01102/10

210 = 00102/10

710 = 01112/10

310 = 00112/10

810 = 10002/10

410 = 01002/10

910 = 10012/10

Например:

398,1410 = 0011 1001 1000, 0001 01002/10

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Вся информация (команды, числа, константы) в ЗУ хранится в двоичной системе, операции над ними выполняются по правилам двоичной арифметики. Поэтому числа необходимо переводить из десятичной системы в двоичную, а результаты машинных вычислений из двоичной - в десятичную. В ЭВМ используется три позиционных системы счисления - двоичная, восьмеричная, десятичная (в машине ее двоично-десятичная запись). Существует два основных способа перевода.