Тема 4. Математические основы эвм

Тема 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ

1. Кодирование информации

2. Системы счисления

3. Перевод чисел в позиционных системах счисления

4. Арифметические операции в двоичной системе счисления

5. Двоично-десятичная запись числа

6. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

7. Представление чисел в ЭВМ

8. Арифметические операции в ЭВМ с фиксированной запятой

9. Арифметические операции в ЭВМ с плавающей запятой

 

Кодирование информации

Представление информации происходит в различных формах в процессе восприятия окружающей среды живыми организмами и человеком, в процессах обмена информацией между человеком и человеком, человеком и компьютером, компьютером и компьютером и т.д. Преобразование информации из одной формы представления (знаковой системы) в другую называется кодированием.

В процессе обмена информацией часто приходится производить операции кодирования и декодирования информации. При вводе символа алфавита в компьютер путем нажатия соответствующей клавиши на клавиатуре происходит кодирование символа, то есть преобразование его в компьютерный код. При выводе символа на экран монитора или принтер происходит обратный процесс - декодирование, когда из компьютерного кода символ преобразуется в его графическое изображение.

В компьютере для представления информации используется двоичное кодирование, так как удалось создать надежно работающие технические устройства, которые могут со стопроцентной надежностью сохранять и распознавать не более двух различных состояний (цифр).

Все виды информации в компьютере кодируются на машинном языке, в виде логических последовательностей нулей и единиц. То есть Информация в компьютере представлена в двоичном коде, алфавит которого состоит из двух цифр (0 и 1).

Цифры двоичного кода можно рассматривать как два равновероятных состояния (события). При записи двоичной цифры реализуется выбор одного из двух возможных состояний (одной из двух цифр) и, следовательно, она несет количество информации, равное 1 биту.

 

Системы счисления

Для записи информации о количестве объектов используются числа.

В повседневной практике для представления чисел мы используем почти исключительно десятичную систему счисления. Лишь в редких случаях встречаются другие системы счисления.

Под системой счисления (с/с) понимается способ представления любого числа посредством некоторого алфавита символов, называемых цифрами.

Существуют различные системы счисления. От их особенностей зависят наглядность представления числа при помощи цифр и сложность выполнения арифметических операций.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

Непозиционные системы счисления это такие, у которых каждая цифра сохраняет свое значение независимо от ее положения в числе.

Особенности непозиционных с/с:

1. Каждая непозиционная с/с имеет свои символы и свои правила для записи чисел.

2. Количество непозиционных систем бесконечно.

3. Цифрой в позиционной с/с называется символ из бесконечного ряда символов, служащих для записи всех чисел данной с/с.

4. Значение цифры не зависит от ее положения или позиции в числе. Отсюда название с/с - непозиционные.

5. Арифметические операции в непозиционных с/с производить очень неудобно.

6. Переводить числа из одной с/с в другую неудобно, так как каждая цифра в любой системе записывается с помощью своих правил.

Примеры непозиционных систем счисления:

Египетская с/с использовала для изображения чисел иероглифы. С их помощью обозначались 1, 10, 100, 1000 и др. Для выражения чисел, отличных от них, приходилось набирать определенное количество этих иероглифов в каждом разряде. Например (для иллюстрации принципа):

1 - □,           10 - O, 100 - ∆,

Например, 235 - ∆∆ООО□□□□□

Запись такого вида является неудобной.

Римская с/с, дошедшая и до наших дней, тоже является непозиционной и использует для представления цифр буквы латинского алфавита. Как и во всех непозиционных системах, в первом же разряде любого числа могут стоять символы:

1 - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L, C - 100, D - 500, М - 1000 и т.д.

Например, 1966 - MCMLXVI, 674 - DCLXXIV

Правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, увеличивает его значение, а слева - уменьшает на столько единиц, сколько он сам значит.

Не все символы, может быть, придуманы, но если мы хотим оперировать со сколь угодно большими числами, то и количество символов, которые могут нам потребоваться, неограниченно велико.

Недостатки: очень трудно выполнять арифметические действия и записывать числа, так как необходимо предварительно думать как лучше составить число из цифр, ибо приходится осуществлять сложение и вычитание их значений.

Славянская с/с использовала для обозначения цифр буквы славянского алфавита.

Для различия над буквами ставился особый значок - титло.

Позиционные системы счисления

Позиционными называются такие системы, у которых значение цифр зависит от их места, или позиции, в числе. Каждой цифре системы поставлено в соответствие некоторое число, а каждому разряду приписан определенный вес.

Первыми изобрели позиционный способ записи чисел десятью знаками, то есть десятичную с/с в Индии. В России эта система введена Петром I и к концу 18 века вытеснила буквенную. Позиционный способ записи цифр был создан в Вавилоне.

Особенности позиционных систем счисления:

1. Каждая позиционная с/с имеет свои символы для обозначения и записи чисел.

2. Все позиционные с/с подчиняются одному правилу записи чисел.

3. Количество цифр, применяемых в той или иной с/с конечно и называется основанием системы.

4. Количество позиционных систем бесконечно, как и непозиционных.

5. Значение, или понятие цифры переосмысливается. Цифра является не просто символом, а коэффициентом при степени основания с/с.

6. Арифметические операции над числами в любой позиционной с/с производятся по формальным правилам.

7. Перевод чисел из одной позиционной с/с в другую осуществляется просто.

Самой старой с/с считается двоичная. Она возникла, когда человек вел свой счет еще не по пальцам, а когда единицей низшего разряда служила одна рука, а единицей высшего разряда - обе руки взятые вместе. Следы этой системы мы находим и до настоящего времени даже у народов, стоящих на высокой ступени развития; они выражаются, например, в стремлении считать парами. В денежной системе старой России мы встречаем деление денежных единиц на 2, на 4 (1/2 копейки, 1/4 копейки), что также является пережитком двоичной системы. У некоторых народов Полинезии и Австралии до настоящего времени сохранилась двоичная с/с.

Переход человека к пальцевому счету привел к созданию нескольких различных систем счисления.

Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Эта система, как полагают, зародилась и получила наибольшее распространение в Америке. До сих пор пятеричная система счисления сохранилась в чистом виде у жителей Полинезии и Меланезии.

Дальнейшее развитие систем счисления пошло по двум путям. Племена, не остановившиеся на счете по пальцам на одной руке, перешли к счету по пальцам второй руки и далее - по пальцам ног. При этом часть племен остановилась на счете пальцев только на руках и этим положила основу для десятичной системы счисления, а другая часть племен, вероятно большая, распространила счет на пальцы ног и, тем самым, создала предпосылки для образования системы с основанием 20.

Главное распространение такая система получила среди значительной части индейских племен Северной Америки и туземных обитателей Центральной и Южной Америки, а также Северной части Сибири и в Африке.

Десятичная система счисления в настоящее время является преобладающей у народов Европы. Однако это не означает, что у европейских народов эта система всегда была единственная: некоторые народы перешли к десятичной системе уже в более поздние времена, а ранее пользовались другой системой.

Число 10, выбранное в давние времена в качестве основания системы счисления, оказалось весьма удобным для ручного счета. По существу, ручной счет и не предъявляет особых требований к основанию системы счисления.

Наряду с этим возможны и смешанные системы - с различным количеством допустимых цифр для разных разрядов. Например, смешанной является система, применяемая для измерения времени: в разряде секунд и в разряде минут возможно по 60 разных символов (от «00» до «59»), в разряде часов - 24 различных символа (от «00» до «23»), в разряде суток - 7 различных символов (от «0» до «6» - потому что 7 суток составляют 1 неделю) и т.д. Смешанной является также система, связанная с английскими денежными единицами (12 пенсов составляют один шиллинг, 20 шиллингов - один фунт).

Десятичная система является рядовой.

Перевод целых чисел.

Пусть необходимо перевести число N из p-ичной системы в q-ичную, где q - запись основания новой системы в p-ичной системе.

Правило перевода целых чисел следующее: для перевода целого числа из одной позиционной системы счисления (p-ичной) в другую (q-ичную) надо его, а затем целые частные последовательно делить нацело на основание системы q, в которую число переводится, по правилам исходной системы до получения частного, меньшего q. Число в новой системе получается как последовательность остатков от деления начиная с последнего. Последний остаток дает старшую цифру.

Пример

Перевести 348₁₀ в 8-ную систему счисления: 348:8=43 остаток 4; 43:8=5 остаток 3; 34810 = 5348

Пример

Перевести 348₁₀ в 16-ную систему счисления: 348:16=12 остаток 12; 21:16=1остаток 5;

34810 = 51C16

Перевод дробных чисел

Пусть теперь M - правильная p-ичная дробь и необходимо перевести ее в q-ичную систему счисления.

Чтобы перевести правильную дробь из одной системы счисления (p- ичной) в другую (q-ичную), ее надо последовательно умножать на основание системы, в которую переводят (q). Дробь записывается как последовательность целых чисел получающихся произведений, начиная с первого.

Пример

Перевести число 0,725₁₀ в 8-ную систему. 0.725*8=5.800;

0.800*8=6.400; 0.400*8=3.200; 0.200*8=1.600.

Результат 0,725₁₀ = 0,563₈

Пример

Перевести 0,725₁₀ в 2-ную систему: 0.725*2=1.450; 0.450*2=0.900; 0.900*2=1.800; 0.800*2=1.600; 0.600*2=1.200; 0.200*2=0.400. Результат 0.725₁₀ = 0.10111₂

Перевод смешанных чисел

Для перевода смешанного числа из одной системы счисления в другую переводят отдельно целую и дробную часть по соответствующим правилам и записывают в новой системе, разделяя десятичной запятой.

Пример

Перевести 79.65₁₀ в 8-ную с.с.. 79₁₀=117₈; 0.65₁₀=0.515₈. Результат 79.65₁₀ = 117.5158

Пример

Перевести 1111010011,0010101012 в 8-ную с.с

11110 1 0011,00 1 0 1 0 1 012 = 001 111 0 1 0 011, 00 1 0 1 0 1 002 = 1723,1248.

Пример

Перевести 968,512₁₀ в 2-ную с.с.. 968,512₁₀ = 1710,4068 = 001 111 001 000,100 0 00110₂.

 

4. Арифметические операции в двоичной системе счисления

Сложение одноразрядных чисел производится в соответствии с равенствами:

0 + 0 = 0;

1 + 0 = 1;

0 + 1 = 1;

1 + 1 = 10

Пример

Выполнить сложение

1. 1011011+110101=10010000

2. 101,11101 + 1,10011=111.10011

Вычитание в двоичной системе счисления выполняются по правилам:

0 - 0 = 0;

1 - 0 = 1;

1 - 1 = 0;

10 - 1 = 1

Пример

Найти разность чисел:

1. 1001011-110110=10101

2. 11,00101-1,11011= 1,01010

Умножение в двоичной системе счисления выполняются по правилам:

0 * 0 = 0;

1* 0 = 1;

1*1 = 1;

0*1 = 0

Пример.

Перемножить два числа: 100111,1 * 10,11=1101100,101.

Деление двоичных чисел выполняется с использованием таблиц умножения и вычитания.

Пример Найти частное с точностью до 0,001: 1101101: 1011= 1001,1110? 1001,111

Пример

Перевести из двоичной системы в десятичную

101101,1012=1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*2-1+0*2-2+1*2-3=

32+0+8+4+0+1+1/2+0+1/8=45,62510

Перевести из десятичной системы в восьмеричную

95,410=9*101+5*100+4*10-1=118*1218+58*1208+4*12- 1=132+5+4/12=(137,4)8

Пример

A10= +10 A2= +1010 [A]пр= 0: 1010. B10= -15 B2=-1111 [Б]пр= 1: 1111.

Обратный код отрицательного числа содержит единицу в знаковом разряде числа, а значащие разряды числа заменяются на ирверсные, т.е. нули заменяются единицами, а единицы нулями.

Пример

А10= +5, А2= +101 [А2]пр=[А2]обр=0: 101; В10= -13 В2=-1101 [В2]обр=1: 0010.

Дополнительный код отрицательного числа представляет собой результат суммирования обратного кода числа с единицей младшего разряда.

Пример

А10= +19 А2= +10011 [А2]пр=[А2]обр=[А2]доп=0: 10010 В10= -13 В2= -1101 [В2]доп=1: 0011.

Модифицированные обратные и дополнительные коды отличаются соответственно от обратных и дополнительных кодов удвоением значений знаковых разрядов. Знак "+" кодируется двумя нулевыми знаковыми разрядами, а знак "-"- двумя единичными разрядами.

Пример

А10= +9 А2= +1001 [А2]пр=[А2]обр=[А2]доп=0: 1001;

[А2]мобр=[А2]мдоп=00: 1001;

В10= -9 В2= -1001 [В2]доп=1: 0111 [В2]обр=1: 0110. [В2]мдоп=11: 0111 [В2]мобр=11: 0110.

Целью введения модифицированных кодов являются фиксация и обнаружение перполнения разрядной сетки. В этом случае перенос из значащего разряда может исказить значение младшего знакового разряда. Значение знаковых разрядов "01" свидетельствует о положительном переполнении разрядной сетки, "10" свидетельствует об отрицательном переполнении разрядной сетки.

8. Арифметические операции в ЭВМ с фиксированной запятой. Сложение чисел в АУ ЭВМ заменятся сложением модифицированных обратных или модифицированных дополнительных кодов в сумматорах соответствующего типа.

Контроль за переполнением осуществляется с помощью знаковых разрядов результатов: если они одинаковы, т.е. принимают значения 00 или 11, то результат - число нормальное, если знаковые разряды разные - произошло переполнение, причем при положительном результате в знаковых разрядах получается 01, при отрицательных - 10.

В связи с тем, что крайний слева разряд всегда равен нулю для положительных чисел и единице - для отрицательных (независимо от того, было переполнение или нет), он служит для определения знака результат и потому называется знаковым разрядом.

Следующий разряд совпадает со знаковым, если число по модулю меньше 1, и отличается от него, если число по модулю больше или равно 1. Этот разряд называется разрядом переполнения.

По команде "сложить два числа" машина выбирает оба слагаемых из ЗУ по указанным в команде адресам. В ячейках памяти числа хранятся в прямом коде, поэтому при передаче в регистры АУ, где будет производиться операция сложения, прямой код преобразовывается в модифицированный обратный (или дополнительный) код. Результат в сумматоре АУ получается в модифицированном обратном (или дополнительном) коде, и если его надо хранить в памяти машины, то по пути в ячейку ЗУ этот код преобразовывается в прямой.

Пример. Сложить числа x и у, используя сумматор с блокировкой переноса, если операция вычитания в ЭВМ сводится к сложению путем изменения знака вычитаемого на противоположный, так что вычисление разности x - у сводится к определению алгебраической суммы x + (-у).

В АУ ЭВМ умножение выполняется над прямыми кодами сомножителей; знак произведения получается путем сложения знаковых разрядов множимого и множителя в специальном одноразрядном сумматоре знака по следующим правилам: 0+0 =0;

1+0 =1; 0+1=1; 1+1=0

Таким образом, знак минус, как и в алгебре, получается, если у сомножителей разные знаки, и плюс - если одинаковые.

Операция деления основана на ручном способе деления двоичных чисел. Для получения очередной цифры частного из промежуточного делимого вычитается делитель и, если разность отрицательна - записывается нуль и восстанавливается промежуточное делимое, а затем происходит сдвиг вправо на один разряд (или остатка - влево) и процесс повторяется. Операция выполняется в прямом коде.

При делении в том случае, если модуль делимого больше модуля делителя (и, следовательно, частное получится больше 1), произойдет переполнение разрядной сетки. В АУ вырабатывается сигнал переполнения. Знак частного получается, как и при умножении, в одноразрядном сумматоре.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в  столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения. 

 

 

Умножение в двоичной системе 

 

 

 

 

Умножение в восьмеричной системе 

 

 

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям. 

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

 

Ответ: 5*6 = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈. 

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду: 

111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30; 

368 = 3•81 + 6•80 = 30. 

Пример 8. Перемножим числа 115 и 51. 

Ответ: 115*51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 133518. 

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду: 

10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865; 

133518 = 1*84 + 3*83 + 3*82 + 5*81 + 1*80 = 5865. 

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей. 

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30: 6 = 510 = 1012 = 58.

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

 

 

Восьмеричная: 13351₈:163₈ 

 Ответ: 5865: 115 = 51₁₀ = 11001₁₂ = 63₈.

 

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду: 

110011₂ = 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 51; 63₈ = 6*8¹ + 3*8⁰ = 51. 

Пример 11. Разделим число 35 на число 14. 

 

 

 

Ответ: 35: 14 = 2,5₁₀ = 10,1₂ = 2,4₈. 

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду: 

10,12 = 2¹ + 2^-1 = 2,5; 

2,4₈ = 2*8⁰ + 4*8^-1 = 2,5.

 

Тема 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ

1. Кодирование информации

2. Системы счисления

3. Перевод чисел в позиционных системах счисления

4. Арифметические операции в двоичной системе счисления

5. Двоично-десятичная запись числа

6. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

7. Представление чисел в ЭВМ

8. Арифметические операции в ЭВМ с фиксированной запятой

9. Арифметические операции в ЭВМ с плавающей запятой

 

Кодирование информации

Представление информации происходит в различных формах в процессе восприятия окружающей среды живыми организмами и человеком, в процессах обмена информацией между человеком и человеком, человеком и компьютером, компьютером и компьютером и т.д. Преобразование информации из одной формы представления (знаковой системы) в другую называется кодированием.

В процессе обмена информацией часто приходится производить операции кодирования и декодирования информации. При вводе символа алфавита в компьютер путем нажатия соответствующей клавиши на клавиатуре происходит кодирование символа, то есть преобразование его в компьютерный код. При выводе символа на экран монитора или принтер происходит обратный процесс - декодирование, когда из компьютерного кода символ преобразуется в его графическое изображение.

В компьютере для представления информации используется двоичное кодирование, так как удалось создать надежно работающие технические устройства, которые могут со стопроцентной надежностью сохранять и распознавать не более двух различных состояний (цифр).

Все виды информации в компьютере кодируются на машинном языке, в виде логических последовательностей нулей и единиц. То есть Информация в компьютере представлена в двоичном коде, алфавит которого состоит из двух цифр (0 и 1).

Цифры двоичного кода можно рассматривать как два равновероятных состояния (события). При записи двоичной цифры реализуется выбор одного из двух возможных состояний (одной из двух цифр) и, следовательно, она несет количество информации, равное 1 биту.

 

Системы счисления

Для записи информации о количестве объектов используются числа.

В повседневной практике для представления чисел мы используем почти исключительно десятичную систему счисления. Лишь в редких случаях встречаются другие системы счисления.

Под системой счисления (с/с) понимается способ представления любого числа посредством некоторого алфавита символов, называемых цифрами.

Существуют различные системы счисления. От их особенностей зависят наглядность представления числа при помощи цифр и сложность выполнения арифметических операций.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

Непозиционные системы счисления это такие, у которых каждая цифра сохраняет свое значение независимо от ее положения в числе.

Особенности непозиционных с/с:

1. Каждая непозиционная с/с имеет свои символы и свои правила для записи чисел.

2. Количество непозиционных систем бесконечно.

3. Цифрой в позиционной с/с называется символ из бесконечного ряда символов, служащих для записи всех чисел данной с/с.

4. Значение цифры не зависит от ее положения или позиции в числе. Отсюда название с/с - непозиционные.

5. Арифметические операции в непозиционных с/с производить очень неудобно.

6. Переводить числа из одной с/с в другую неудобно, так как каждая цифра в любой системе записывается с помощью своих правил.

Примеры непозиционных систем счисления:

Египетская с/с использовала для изображения чисел иероглифы. С их помощью обозначались 1, 10, 100, 1000 и др. Для выражения чисел, отличных от них, приходилось набирать определенное количество этих иероглифов в каждом разряде. Например (для иллюстрации принципа):

1 - □,           10 - O, 100 - ∆,

Например, 235 - ∆∆ООО□□□□□

Запись такого вида является неудобной.

Римская с/с, дошедшая и до наших дней, тоже является непозиционной и использует для представления цифр буквы латинского алфавита. Как и во всех непозиционных системах, в первом же разряде любого числа могут стоять символы:

1 - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L, C - 100, D - 500, М - 1000 и т.д.

Например, 1966 - MCMLXVI, 674 - DCLXXIV

Правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, увеличивает его значение, а слева - уменьшает на столько единиц, сколько он сам значит.

Не все символы, может быть, придуманы, но если мы хотим оперировать со сколь угодно большими числами, то и количество символов, которые могут нам потребоваться, неограниченно велико.

Недостатки: очень трудно выполнять арифметические действия и записывать числа, так как необходимо предварительно думать как лучше составить число из цифр, ибо приходится осуществлять сложение и вычитание их значений.

Славянская с/с использовала для обозначения цифр буквы славянского алфавита.

Для различия над буквами ставился особый значок - титло.

Позиционные системы счисления

Позиционными называются такие системы, у которых значение цифр зависит от их места, или позиции, в числе. Каждой цифре системы поставлено в соответствие некоторое число, а каждому разряду приписан определенный вес.

Первыми изобрели позиционный способ записи чисел десятью знаками, то есть десятичную с/с в Индии. В России эта система введена Петром I и к концу 18 века вытеснила буквенную. Позиционный способ записи цифр был создан в Вавилоне.

Особенности позиционных систем счисления:

1. Каждая позиционная с/с имеет свои символы для обозначения и записи чисел.

2. Все позиционные с/с подчиняются одному правилу записи чисел.

3. Количество цифр, применяемых в той или иной с/с конечно и называется основанием системы.

4. Количество позиционных систем бесконечно, как и непозиционных.

5. Значение, или понятие цифры переосмысливается. Цифра является не просто символом, а коэффициентом при степени основания с/с.

6. Арифметические операции над числами в любой позиционной с/с производятся по формальным правилам.

7. Перевод чисел из одной позиционной с/с в другую осуществляется просто.

Самой старой с/с считается двоичная. Она возникла, когда человек вел свой счет еще не по пальцам, а когда единицей низшего разряда служила одна рука, а единицей высшего разряда - обе руки взятые вместе. Следы этой системы мы находим и до настоящего времени даже у народов, стоящих на высокой ступени развития; они выражаются, например, в стремлении считать парами. В денежной системе старой России мы встречаем деление денежных единиц на 2, на 4 (1/2 копейки, 1/4 копейки), что также является пережитком двоичной системы. У некоторых народов Полинезии и Австралии до настоящего времени сохранилась двоичная с/с.

Переход человека к пальцевому счету привел к созданию нескольких различных систем счисления.

Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Эта система, как полагают, зародилась и получила наибольшее распространение в Америке. До сих пор пятеричная система счисления сохранилась в чистом виде у жителей Полинезии и Меланезии.

Дальнейшее развитие систем счисления пошло по двум путям. Племена, не остановившиеся на счете по пальцам на одной руке, перешли к счету по пальцам второй руки и далее - по пальцам ног. При этом часть племен остановилась на счете пальцев только на руках и этим положила основу для десятичной системы счисления, а другая часть племен, вероятно большая, распространила счет на пальцы ног и, тем самым, создала предпосылки для образования системы с основанием 20.

Главное распространение такая система получила среди значительной части индейских племен Северной Америки и туземных обитателей Центральной и Южной Америки, а также Северной части Сибири и в Африке.

Десятичная система счисления в настоящее время является преобладающей у народов Европы. Однако это не означает, что у европейских народов эта система всегда была единственная: некоторые народы перешли к десятичной системе уже в более поздние времена, а ранее пользовались другой системой.

Число 10, выбранное в давние времена в качестве основания системы счисления, оказалось весьма удобным для ручного счета. По существу, ручной счет и не предъявляет особых требований к основанию системы счисления.

Наряду с этим возможны и смешанные системы - с различным количеством допустимых цифр для разных разрядов. Например, смешанной является система, применяемая для измерения времени: в разряде секунд и в разряде минут возможно по 60 разных символов (от «00» до «59»), в разряде часов - 24 различных символа (от «00» до «23»), в разряде суток - 7 различных символов (от «0» до «6» - потому что 7 суток составляют 1 неделю) и т.д. Смешанной является также система, связанная с английскими денежными единицами (12 пенсов составляют один шиллинг, 20 шиллингов - один фунт).

Десятичная система является рядовой.