Арифметические операции в ЭВМ с плавающей запятой

При выполнении арифметических действий в машинах с плавающей запятой операции производятся над мантиссами и порядками операндов, поэтому АУ этих ЭВМ сложнее по конструкции, чем АУ машин с фиксированной запятой. Каждая операция выполняется как бы в несколько этапов, результат ее автоматически нормализуется.

4. Арифметические операции в позиционных системах счисления

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами сложения, вычитания и умножения.

Сложение	Вычитание	Умножение
0+0 = 0	0 - 0 = 0	0 х 0 = 0
0+1 = 1	1 - 0 = 1	0 х 1 = 0
1+0 = 1	1 - 1 = 0	1 х 0 = 0
1+1 = 10	10 - 1 = 1	1 х 1 = 1

Сложение

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

 

 

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

 

 

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

10101² = 2⁴ + 2² + 2⁰ = 16+4+1=21,

25₈ = 2*8¹ + 5*8⁰ = 16 + 5 = 21,

15₁₆ = 1*16₁ + 5*16₀ = 16+5 = 21. 

 

 

 

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

 Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 

11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 201,25 

311,28 = 3*82 + 1•81 + 1*80 + 2*8-1 = 201,25 

C9,416 = 12*161 + 9*160 + 4*16-1 = 201,25 

 

  Вычитание

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016 

Двоичная 10₂-1₂     Восьмеричная 10₉-1₉ Шестнадцатеричная 10₁₀-1₁₀

Пример 5. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016

Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,2510 – 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816. 

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду: 

10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2–1 = 141,5; 

215,48 = 2*82 + 1*81 + 5*80 + 4*8–1 = 141,5; 

8D,816 = 8*161 + D*160 + 8*16–1 = 141,5.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в  столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения. 

 

 

Умножение в двоичной системе 

 

 

 

 

Умножение в восьмеричной системе 

 

 

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям. 

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

 

Ответ: 5*6 = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈. 

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду: 

111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30; 

368 = 3•81 + 6•80 = 30. 

Пример 8. Перемножим числа 115 и 51. 

Ответ: 115*51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 133518. 

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду: 

10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865; 

133518 = 1*84 + 3*83 + 3*82 + 5*81 + 1*80 = 5865. 

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей. 

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30: 6 = 510 = 1012 = 58.

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

 

 

Восьмеричная: 13351₈:163₈ 

 Ответ: 5865: 115 = 51₁₀ = 11001₁₂ = 63₈.

 

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду: 

110011₂ = 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 51; 63₈ = 6*8¹ + 3*8⁰ = 51. 

Пример 11. Разделим число 35 на число 14. 

 

 

 

Ответ: 35: 14 = 2,5₁₀ = 10,1₂ = 2,4₈. 

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду: 

10,12 = 2¹ + 2^-1 = 2,5; 

2,4₈ = 2*8⁰ + 4*8^-1 = 2,5.