Условия усиления и генерации излучения

Под оптическими переходами понимают квантовые переходы при взаимодействии с электромагнитным излучением. Такие переходы могут быть спонтанными и вынужденными. Теорию спонтанного и вынужденного поглощения развил А. Эйнштейн в 1917 г.

Рассмотрим два энергетических состояния Е₂ и Е₁, в которых может находиться система, состоящая из N ₀ атомов, и параллельный монохроматический пучок света, распространяющийся через эту систему. Число атомов в единице объема, находящихся в k -ом энергетическом состоянии и обозначается через N_k.

При прохождении излучения через систему возбужденных атомов может произойти его усиление, если стимулированное излучение превосходит общие потери излучения за счет его поглощения и рассеяния.

Излучение в веществе может происходить и без воздействия внешнего стимулирующего излучения. При этом энергетический переход атомов из возбужденного состояния в основное происходит спонтанно. Основная характеристика спонтанных переходов – среднее время , через которое происходит переход или обратная ему величина , называемая вероятностью спонтанного переходаЕ₂   Е₁ (Е₂ > Е₁).

Предположим, что при взаимодействии атомов системы с квантами излучения происходят переходы между двумя энергетическими состояниями 1 и 2 с населенностями N ₁ и N ₂ (в нашем случае индексы 2 и 1 относятся к возбужденному и невозбужденному состояниям) рисунка 3.1.

Рис. 3.1 Три основных типа переходов между энергетическими уровнями Е1 и Е2 Черные точки обозначают состояние атома. Начальному состоянию соответствует рисунок слева; конечное состояние после протекания соответствующего процесса изображено справа

Вероятность того, что система находится в каком-либо энергетическом состоянии Е _i подчиняется распределению Больцмана:

,

(3.1)

где  – статистический вес уровня с энергией Е_i или степень вырождения состояния;  – отношение числа частиц в единице объема на данном энергетическом уровне к его статистическому весу называется населенностью энергетического уровня. Для невырожденных уровней .

Если атом в данный момент времени находится в одном из возбужденных состояний Е₂, то такое состояние атома неустойчиво и через короткое время атом перейдет в одно из состояний с меньшей энергией, например, Е₁. При этом атом излучит фотон :

,                      (3.2)

где .

Если имеется большое число N ₂ возбужденных атомов с энергией Е₂, то в среднем в 1 секунду будут излучаться N ₂  фотонов и мощность спонтанного излучения будет равна числу излученных фотонов, умноженному на их энергию, т.е. N ₂ . Типичное значение числа разрешенных переходов для оптического диапазона составляет 10⁸ с^-1. Это означает, что возбужденные состояния атома «распадаются» в среднем за время  с или время жизни атома в возбужденном состоянии составляет  с.

Управлять спонтанными процессами невозможно, они происходят случайно во времени, можно говорить лишь о вероятности перехода за время :

.                                    (3.3)

Тогда изменение концентрации атомов за счет переходов 2 1

,                               (3.4)

где  – коэффициент Эйнштейна для спонтанных переходов, независящий от внешних факторов.

Спонтанное время жизни для переходов 2 1  равно среднему времени пребывания атома в возбужденном состоянии.

,                                  (3.5)

отсюда

,                      (3.6)

где  – число атомов в состоянии Е₂ в начальный момент.

Изменение мощности спонтанного излучения

,                         (3.7)

где .

Случайность спонтанных переходов приводит к тому, что различные атомы излучают не одновременно, не синхронно и независимо, поэтому фазы электромагнитных волн, излучаемых отдельными атомами, не согласованы друг с другом. Случайный характер имеет не только момент испускания атомом фотона, но и направление распространения излучаемого фотона и его поляризация. В результате этого спонтанное излучение вещества является не когерентным, не направленным, не поляризованным и не монохроматичным, а частота фотонов при спонтанном излучении колеблется в пределах .

Атом может перейти с уровня Е₂ на уровень Е₁ не спонтанно, а под действием электромагнитной волны, если только частота этой волны ν достаточно блика к частоте перехода атома . Такая резонансная волна как бы «раскачивает» электрон и ускоряет его «падение» на уровень с меньшей энергией. Переходы, происходящие под действием внешнего электромагнитного поля, называются вынужденными (индуцированными, стимулированными). Вероятность вынужденного перехода пропорциональна интенсивности излучения, вызывающего переход, т.е. квадрату амплитуды волны  или числу фотонов N _ф.

,                               (3.8)

где  – коэффициент Эйнштейна для вынужденных переходов с испусканием фотона, называемый также вероятностью вынужденного перехода,  – плотность потока фотонов, определяемая по формуле (2).

Изменение концентрации атомов на уровне Е₂ за счет вынужденных переходов 2 1

.                                    (3.9)

При вынужденном испускании атом отдает энергию электромагнитной волне, амплитуда которой (или число фотонов) вследствие этого увеличивается.

Особенность вынужденного испускания состоит в том, что излучаемый при вынужденном переходе «новорожденный» фотон абсолютно не отлечим от вызвавших переход первичных фотонов: он имеет те же частоту и фазу, то же направление движения и ту же поляризацию (это является следствием подчинения фотонов статистике Бозе-Эйнштейна). Электромагнитное излучение, возникающее в результате вынужденного испускания в коллективе атомов, является когерентным. Вынужденное излучение определяет вынужденную, или стимулированную люминесценцию и работу источников когерентного электромагнитного излучения – лазеров (от англ. L ight A mplification by S timulated of R adiation).

Кроме рассмотренного вынужденного перехода «вниз», при котором число фотонов увеличивается, могут происходить и вынужденные переходы «вверх», приводящие к резонансному поглощению фотонов, в результате чего число фотонов уменьшается (рисунок 3.1, в). Вероятности вынужденных переходов «вниз» и «вверх», т.е. вероятности вынужденного испускания и поглощения в веществе, одинаковы.

.                    (3.10)

Изменение концентрации атомов на уровне Е₁ за счет вынужденных переходов 1 2

.                           (3.11)

Исходя из выражения (3.2) при термодинамическом равновесии температуру системы можно выразить через отношение населенностей:

.                                  (3.12)

Если , то нижние уровни населены больше, чем верхние. Это соответствует нормальной заселенности и . Если , т.е. населенность верхнего уровня больше, чем нижнего, мы имеем инверсную населенность. Такое состояние системы является главным условием работы квантового генератора.

Если атомы находятся в термодинамическом равновесии при температуре Т, суммарное число квантов света, испущенных системой, равно числу поглощенных квантов света.

.                              (3.13)

Согласно (3.3), и (3.8) и (3.10)

;                       (3.14)

;         (3.15)

;                    (3.16)

.                            (3.17)

Это соотношение справедливо для любых температур. При  плотность излучения должна возрастать неограниченно (), тогда

.                            (3.18)

При , , отсюда

.                            (3.19)

Выражение (3.19) – первое соотношение между коэффициентами Эйнштейна. В случае , т.е. коэффициенты для вынужденных переходов с поглощением и испусканием фотонов равны. С учетом формулы (3)

,           (3.20)

отсюда:

 –                        (3.21)

второе соотношениемежду коэффициентами Эйнштейна.

Вероятность вынужденных переходов растет с уменьшением частоты, т.е. с увеличением длины волны, т.е. для ИК диапазона вынужденное излучение более вероятно, чем для видимого и УФ, т.к. с увеличением энергии перехода число фотонов в системе падает, для повышения вероятности перехода необходимо увеличивать , то есть увеличивать накачку.

Накачка - создание неравновесного возбужденного состояния вещества с инверсной населенностью уровней энергии.

При прохождении слоя вещества толщиной dx изменение интенсивности излучения записывается в виде

                             (3.22)

Учитывая (3.19), получим

.                   (3.23)

При термодинамическом равновесии величина Δ в уравнении (3.23), а следовательно, и изменение интенсивности излучения dI отрицательны, и в среде преобладает поглощение излучения.

В том случае, когда величина Δ положительна, среда находится в состоянии инверсной населенности. Коэффициент поглощения, который пропорционален величине B ₂₁(N ₁ g ₂/ g ₁– N ₂), становится отрицательным, и проходящее излучение будет усиливаться за счет энергии перехода возбужденных атомов в основном состоянии. Формально из соотношения (3.12) следует, что это усиление выполняется, когда T <0, поэтому такое состояние системы иногда называют состоянием с отрицательной температурой.

Среда, в которой осуществлена инверсия населенности, носит название активной среды. Усилительные свойства активной среды можно повысить, применив принцип положительной обратной связи. Он заключается в том, что часть усиленного сигнала возвращается обратно в активную среду и снова, проходя через нее, усиливается.

Для создания положительной обратной связи используют систему полупрозрачных зеркал – резонатор. В простейшем случае он представляет собой два параллельных зеркала, установленных на границах активной среды перпендикулярно направлению распространения света. Если положительная обратная связь настолько велика, что усиление излучения превышает потери, усилитель самовозбудится и превратится в генератор. Условием самовозбуждения системы является равенство потерь излучения при поглощении его в объеме и отражении от двух зеркал усилению излучения при его двукратном прохождении через резонатор. При этом потери излучения на поглощение будут пропорциональны ехр(–2α(λ)∙ L), где α(λ) – коэффициент поглощения; L – расстояние между зеркалами, а усиление излучения пропорционально exp(2β∙ L), где β – коэффициент усиления. С учетом потерь на отражение от зеркал условие перехода системы в режим генерации записывается как

,                                  (3.24)

где R ₁, R ₂ – коэффициенты отражения от зеркал. В случае если коэффициенты отражения от двух зеркал равны, т. е. R _l = R ₂ = R, из условия (3.24) получим

                                         (3.25)

Подробный анализ работы лазера показывает, что коэффициент квантового усиления β выражается следующим образом:

                           (3.26)

Здесь  – функция (рисунок 3.2), характеризующая распределение интенсивности излучения по частоте (форма линии); Δ v – ширина линии излучения; А ₂₁ – вероятность спонтанного перехода 2→1; с – скорость света. Из уравнения (3.26) следует, что коэффициент усиления зависит от частоты, при этом максимальное усиление реализуется в центре полосы излучения. Таким образом, резонатор формирует узко направленный пучок света, который обладает высокой степенью пространственной когерентности и обеспечивает существенное сужение спектральной линии (и, следовательно, повышение степени временной когерентности излучения).

__________________________________ Рис. 3.2. Форма линии излучения лазера

Степень когерентности излучения квантовых генераторов весьма различна. Наиболее высока когерентность излучения у газовых и твердотельных лазеров. Время когерентности τ, которое связано с шириной спектральной линии выражением , достигает у них величины порядка 10^-3–10^-2 с. Расходимость излучения составляет приблизительно 10^-3–10^-4 рад.