Правила и порядок выполнения контрольной работы

ПРЕДИСЛОВИЕ

Цель преподавания дисциплины «Математическая экономика» заключается в приобретении обучающимися знаний в области математических моделей и методов в экономике, развитии навыков их практического применения.

Задачи преподавания дисциплины:

- развить логическое мышление, способность делать умозаключения, построенные на строгих логических заключениях и фактах;

- изучить математические модели в экономике, используемые в рыночной микро- и макроэкономике, на примере моделей потребителя, моделей фирмы и моделей межотраслевого баланса;

- научиться использовать изученные методы для решения конкретных задач исследования математических моделей экономики.

 

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать:

- математические модели в экономике, используемые в рыночной микро- и макроэкономике, на примере моделей потребителя, моделей фирмы, и моделей межотраслевого баланса;

- основные подходы и методы, используемые для анализа моделей экономики.

Уметь:

- использовать математический язык и математическую символику при построении математических моделей в экономике;

- использовать изученные методы для решения конкретных задач построения математических моделей экономики.

Владеть:

- математическими методами и подходами, используемыми в экономике, при решении типовых задач.

Дисциплина изучается на протяжении одного семестра. В процессе изучения дисциплины студент заочной формы обучения должен выполнить контрольную работу. В предложенном пособии представлены варианты контрольной работы и методические указания к ее выполнению, которые помогут студентам освоить дисциплину «Математическая экономика».

ПРАВИЛА И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНой РАБОТы

В процессе изучения дисциплины студент должен выполнить контрольную работу. Контрольная работа должны быть оформлена в соответствии с настоящими правилами. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитываются и возвращаются студенту для переработки.

1. Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради должны быть разборчиво написаны фамилия, имя, и отчество студента, факультет, номер группы, название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта и домашний адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и расписаться.

3. Номер варианта контрольной работы, которую выполняет студент, должен совпадать с последней цифрой номера его зачетной книжки.

4. Решения задач надо располагать в порядке возрастания номеров. Условия задач следует переписать в тетрадь.

5. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса.

6. Решение задач и примеров следует излагать подробно, объясняя все выполненные действия и используемые формулы.

7. Срок проверки контрольных работ - 10 рабочих дней. Студенты обязаны сдавать письменные контрольные работы не позднее, чем за 10 дней до начала экзаменационной сессии. В противном случае они не будут допущены к экзамену.

8. После получения прорецензированной работы студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты, внести в решения задач рекомендуемые рецензентом изменения или дополнения и прислать работу для повторной проверки. Для этого рекомендуем при выполнении контрольной работы оставить в конце тетради несколько чистых листов.

9. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

10. На экзамен (зачет) студент допускается только при наличии проверенной контрольной работы.

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ

 

1. Модели поведения потребителя

2. Модели поведения производителей

3. Поведение фирм на конкурентных рынках

4. Статическая модель линейной многоотраслевой экономики

 

 

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Раздел 1. Модели поведения потребителей

Тема 1. Предпочтения потребителей

Пространство товаров. Теория потребления. Отношение предпочтения. Аксиомы отношения предпочтения. Лексико-графическое предпочтение.

Множество Парето.

 

Тема 2. Модель поведения потребителя

Понятие функции полезности. Свойства функции полезности. Предельная полезность. Поверхности и кривые безразличия.

Примеры функции полезности. Бюджетное множество. Построение экономико-математической модели потребителя. Функция спроса.

Геометрическая интерпретация задачи максимизации полезности. Алгоритм определения максимальной полезности.

Аналитическое решение задачи максимизации функции полезности. Метод Лагранжа.

Эластичность в теории потребления.

Тема 3. Уравнение Слуцкого

Изменение спроса потребителя при изменении цены одного из товаров. Изменение спроса при изменении цены с компенсацией. Изменение спроса при изменении дохода.

Уравнение Слуцкого. Экономический смысл уравнения Слуцкого.

Раздел 2. Модель поведения производителей

Тема 4. Модель фирмы

Модель фирмы. Понятие производственной функции. Свойства производственной функции. Функция издержек. Алгоритм определения оптимальных значений модели фирмы.

Тема 5. Реакция производителя на изменение условий

Реакция производителя на изменение цены выпуска. Реакция производителя на изменение цен ресурсов. Реакция производителя на одновременное изменение цены выпуска и цен ресурсов. Основное матричное уравнение теории фирмы.

Тема 6. Модели установления равновесной цены

Дискретная паутинообразная модель рынка. Модель Гудвина. Влияние запасов на динамику рыночной цены в дискретном времени. Влияние запасов на динамику рыночной цены в непрерывном времени. Модель взаимодействия потребителей и производителей.

 

Раздел 3. Поведение фирм на конкурентных рынках

 

Тема 7. Модель поведения фирм на конкурентных рынках

Построение модели поведения фирм на конкурентных рынках. Функция Лагранжа модели поведения фирм на конкурентных рынках.

Прибыль конкурирующих фирм. Равновесие Курно.

Тема 8. Равновесие и неравновесие Стакельберга

Условия равновесия Стакельберга. Прибыль при равновесии Стакельберга.

Условия неравновесия Стакельберга. Прибыль при неравновесии Стакельберга.

 

Раздел 4. Статическая модель линейной многоотраслевой экономики

Тема 9. Модель Леонтьева

Балансовые соотношения. Линейная модель многоотраслевой экономики. Продуктивная модель Леонтьева.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Укажите предмет теории потребления.

2. Что означает отношение предпочтения?

3. Какая функция называется функцией полезности?

4. Каким неоклассическим свойствам должна удовлетворять функция полезности?

5. Каков экономический смысл свойств функции полезности?

6. Поверхности и кривые безразличия.

7. Что называется эластичностью спроса от цен, ее смысл?

8. Эластичность спроса от дохода? Ее экономический смысл?

9. Перекрестные коэффициенты эластичности, их экономический смысл?

10. Каков экономический смысл предельной нормы замещения?

11. Общие понятия в моделях поведения потребителя.

12. Какая функция называется функцией спроса? Экономический смысл функции спроса?

13. Как составляется оптимизационная задача потребителя?

14. Приведите геометрическую интерпретацию решения оптимизационной задачи потребителя.

15. Приведите аналитическое решение задачи максимизации функции полезности.

16. Какие товары относятся к нормальным товарам, к товарам низшей категории?

17. Какие товары взаимозаменяемые?

18. Какие товары являются взаимодополняемыми?

19. Из каких эффектов состоит компенсация?

20. Приведите формы записи уравнения Слуцкого.

21. Каков экономический смысл уравнения Слуцкого?

22. Сформулируйте определение производственной функции.

23. Каковы основные свойства производственной функции?

24. Приведите примеры производственных функций.

25. Сформулируйте определение изокванты (изокосты). В чем ее экономический смысл?

26. Как определяются средние и предельные значения производственной функции? Их экономический смысл?

27. Сформулируйте определение частной точечной эластичности выпуска по i -му ресурсу.

28. Сформулируйте определение эластичности производства.

29. Сформулируйте определение предельной нормы замены одного ресурса другим. Дайте содержательную интерпретацию этому понятию.

30. Сформулируйте определение эластичности предельной нормы замещения.

31. Сформулируйте основную цель функционирования фирмы.

32. Сформулируйте задачу максимизации фирмы для долговременного промежутка времени.

33. Сформулируйте задачу максимизации фирмы для краткосрочного промежутка времени.

34. Сформулируйте определение функции спроса на ресурсы.

35. Сформулируйте определение функции предложения выпуска.

36. Приведите геометрическую интерпретацию определения оптимального выпуска в условиях совершенной конкуренции.

37. Геометрическая интерпретация максимизации прибыли в условиях «чистой монополии»?

38. Каковы условия определения текущей цены в дискретной паутинообразной модели?

39. В чем состоит суть модели спроса и предложения Гудвина?

40. Каковы условия определения текущей цены в непрерывной паутинообразной модели?

41. Определение текущей цены в модели Самуэльсона в дискретном анализе.

42. Определение текущей цены в модели Самуэльсона в непрерывном анализе.

43. Геометрическая иллюстрация паутинообразной модели в дискретном времени.

44. Какова суть модели Эванса?

45. Сформулируйте экономический смысл соотношений баланса.

46. Что показывает коэффициент прямых затрат?

47. Модель Леонтьева. Ее экономический смысл (уравнение межотраслевого баланса)?

48. Как определить валовой выпуск отраслей по заданному конечному спросу?

49. Как определить объемы конечного спроса по известному валовому выпуску?

50. Опишите продуктивные модели Леонтьева.

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНой РАБОТы

 

Вариант 1

Задача 1. Модель поведения потребителя.

В течение месяца студент расходует на апельсины () и бананы () 60 усл.ед. Цена одного апельсина усл.ед., а цена одного банана усл.ед. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности задана в виде:

Задача 2. Модели поведения производителей.

Пусть совокупные издержки конкурентной фирмы выражаются функцией: .

При заданной цене р = 4 (р ³ 1) за единицу производимого товара найти функцию предложения фирмы. Определить оптимальный объем выпуска и соответствующий размер прибыли.

Задача 3. Поведение фирм на конкурентных рынках.

Найти точку рыночного равновесия, если спрос и предложение на рынке имеют вид: ; .

Вычислить эластичность спроса и предложения в точке равновесия. Определить ситуации с товаром на рынке при ценах р₁ = 2 и р₂ = 4.

Задача 4. Модель линейной многоотраслевой экономики.

В таблице 1 приведены данные об исполнении баланса нескольких отраслей за отчетный период, в условных денежных единицах.

 

Таблица 1

Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
Производство

 

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен увеличиться на 50%, а второй отрасли – на 20%.

Вариант 2

Задача 1. Модель поведения потребителя.

На два товара – молоко () и хлеб () семья тратит 100 ден. ед. в день. Цена молока ден. ед., хлеба ден. ед. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность для семьи, если функция полезности:

Задача 2. Модели поведения производителей.

Совокупные издержки конкурентной фирмы заданы функцией:

.

При заданной цене р = 3 (р ³ 3) за единицу производимого товара найти функцию предложения фирмы. Определить оптимальный объем выпуска и соответствующий размер прибыли.

Задача 3. Поведение фирм на конкурентных рынках.

Найти точку рыночного равновесия, если спрос и предложение на рынке имеют вид: ; .

Вычислить эластичность спроса и предложения в точке равновесия. Определить ситуации с товаром на рынке при ценах р₁ = 1 и р₂ = 2.

Задача 4. Модель линейной многоотраслевой экономики.

В таблице 2 приведены данные об исполнении баланса нескольких отраслей за отчетный период, в условных денежных единицах.

 

Таблица 2

 

№ п/п	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
Энергетика	Машино-строение
	Энергетика
	Машиностроение

 

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится на 50%, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.

Вариант 3

Задача 1. Модель поведения потребителя.

На 2 товара - мясо ( руб.) и сыр ( руб.) Оля тратит в месяц 3000 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности задана в виде:

.

Задача 2. Модели поведения производителей.

Пусть совокупные издержки конкурентной фирмы выражаются функцией: .

При заданной цене р = 2 (р ³ 2) за единицу производимого товара найти функцию предложения фирмы. Определить оптимальный объем выпуска и соответствующий размер прибыли.

Задача 3. Поведение фирм на конкурентных рынках.

Найти точку рыночного равновесия, если спрос и предложение на рынке имеют вид: ; .

Вычислить эластичность спроса и предложения в точке равновесия. Определить ситуации с товаром на рынке при ценах р₁ = 0,5 и р₂ = 2.

Задача 4. Модель линейной многоотраслевой экономики.

В таблице 3 приведены данные об исполнении баланса нескольких отраслей за отчетный период, в условных денежных единицах.

 

Таблица 3

 

Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
Производство

 

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен увеличиться в полтора раза, а второй отрасли уменьшиться на 20%.

 

Вариант 4

Задача 1. Модель поведения потребителя.

За неделю студент расходует на кофе и шоколад 100 рублей. Цена одной порции кофе рублей, а цена одной шоколадки рублей. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности студентом определяется в виде:

.

Задача 2. Модели поведения производителей.

Издержки конкурентной фирмы выражаются функцией:

.

При заданной цене р = 3 (р ³ 1) за единицу производимого товара найти функцию предложения фирмы. Определить оптимальный объем выпуска и соответствующий размер прибыли.

Задача 3. Поведение фирм на конкурентных рынках.

Найти точку рыночного равновесия, если спрос и предложение на рынке имеют вид: ; .

Вычислить эластичность спроса и предложения в точке равновесия. Определить ситуации с товаром на рынке при ценах р₁ = 2 и р₂ = 4.

Задача 4. Модель линейной многоотраслевой экономики.

В таблице 4 приведены данные об исполнении баланса нескольких отраслей за отчетный период, в условных денежных единицах.

 

Таблица 4

 

№ п/п	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
Энергетика	Машино-строение
	Энергетика
	Машиностроение

 

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения уменьшится на 20%.

Вариант 5

Задача 1. Модель поведения потребителя.

По статистике в среднем семья тратит 30 долл. в месяц на рыбу и хлеб. Цена рыбы 5 долл., цена батона хлеба 1 долл.

Определить набор из этих продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности для семьи имеет вид:

.

Задача 2. Модели поведения производителей.

Пусть для конкурентной фирмы общие издержки выражаются функцией:

.

При заданной цене р = 4 (р ³ 3) за единицу производимого товара найти функцию предложения фирмы. Определить оптимальный объем выпуска и соответствующий размер прибыли.

Задача 3. Поведение фирм на конкурентных рынках.

Найти точку рыночного равновесия, если спрос и предложение на конкурентном рынке имеют вид:

; .

Вычислить эластичность спроса и предложения в точке равновесия. Определить ситуации с товаром на рынке при ценах р₁ = 1 и р₂ = 2.

Задача 4. Модель линейной многоотраслевой экономики.

В таблице 5 приведены данные об исполнении баланса нескольких отраслей за отчетный период, в условных денежных единицах.

 

Таблица 5

 

Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
Производство

 

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен увеличиться в два раза, а второй отрасли – на 20%.

 

Вариант 6

Задача 1. Модель поведения потребителя.

На два товара - кириешки ( 15 руб.) и чипсы ( 10 руб.) студент тратит еженедельно 120 руб.

Определить набор продуктов, обеспечивающий студенту максимальную полезность, если функция полезности задана в виде:

.

Задача 2. Модели поведения производителей.

Фирма действует в условиях «чистой монополии». Издержки производства характеризуются функцией

,

а цена спроса задается функцией .

Найти объем выпуска q*, максимизирующий прибыль; оптимальную цену р*;размер максимальной прибыли П(q*).

Задача 3. Поведение фирм на конкурентных рынках.

Найти точку рыночного равновесия, если спрос и предложение на конкурентном рынке имеют вид:

; .

Вычислить эластичность спроса и предложения в точке равновесия. Определить ситуации с товаром на рынке при ценах р₁ = 1,5 и р₂ = 3,5.

Задача 4. Модель линейной многоотраслевой экономики.

В таблице 6 приведены данные об исполнении баланса нескольких отраслей за отчетный период, в условных денежных единицах.

 

Таблица 6

 

№ п/п	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
Энергетика	Машино-строение
	Энергетика
	Машиностроение

 

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится на 20%, а машиностроения увеличится на 10%.

Вариант 7

Задача 1. Модель поведения потребителя.

На две услуги – телефонную связь ( 100 руб. за единицу услуги) и интернет ( 25 руб. за единицу услуги) директор фирмы тратит еженедельно 1000 руб. Определить набор услуг, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности для связи может быть задана в виде:

.

Задача 2. Модели поведения производителей.

Фирма действует в условиях «чистой монополии». Издержки производства могут быть описаны функцией

,

а цена спроса задается линейной функцией .

Найти объем выпуска q*, максимизирующий прибыль, оптимальную цену р*, размер максимальной прибыли П(q*).

Задача 3. Поведение фирм на конкурентных рынках.

Найти точку рыночного равновесия, если спрос и предложение на конкурентном рынке имеют вид:

; .

Вычислить эластичность спроса и предложения в точке равновесия. Определить ситуации с товаром на рынке при ценах р₁ = 2 и р₂ = 4.

Задача 4. Модель линейной многоотраслевой экономики.

В таблице 7 приведены данные об исполнении баланса нескольких отраслей за отчетный период, в условных денежных единицах.

 

Таблица 7

 

Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
Производство

 

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен уменьшиться в два раза, а второй отрасли – на 20%.

Вариант 8

Задача 1. Модель поведения потребителя.

На два товара – чай и сахар по статистике средняя семья тратит 200 ден. ед. в месяц. Цена одной упаковки чая 20 ден. ед., одной упаковки сахара 15 ден. ед. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности

.

Задача 2. Модели поведения производителей.

Фирма действует в условиях «чистой монополии». Издержки производства заданы функцией

,

а цена спроса задается функцией .

Найти объем выпуска q*, максимизирующий прибыль, оптимальную цену р*, размер максимальной прибыли П(q*).

Задача 3. Поведение фирм на конкурентных рынках.

Найти точку рыночного равновесия, если спрос и предложение на конкурентном рынке имеют вид:

; .

Вычислить эластичность спроса и предложения в точке равновесия. Определить ситуации с товаром на рынке при ценах р₁ = 0,5 и р₂ = 2.

Задача 4. Модель линейной многоотраслевой экономики.

В таблице 8 приведены данные об исполнении баланса нескольких отраслей за отчетный период, в условных денежных единицах.

 

Таблица 8

 

№ п/п	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
Энергетика	Машино-строение
	Энергетика
	Машиностроение

 

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли сохранится на прежнем уровне, а машиностроения увеличится на 20%.

Вариант 9

Задача 1. Модель поведения потребителя.

На пару продуктов - огурцы ( 50 руб. за кг) и помидоры ( 80 руб. за кг) Вероника тратит в месяц 500 руб. Определить оптимальный набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности для Вероники имеет вид:

.

Задача 2. Модели поведения производителей.

Фирма действует в условиях «чистой монополии». Издержки производства могут быть описаны функцией

,

а цена спроса задается линейной функцией .

Найти объем выпуска q*, максимизирующий прибыль, оптимальную цену р*, размер максимальной прибыли П(q*).

Задача 3. Поведение фирм на конкурентных рынках.

Найти точку рыночного равновесия, если спрос и предложение на конкурентном рынке имеют вид:

; .

Вычислить эластичность спроса и предложения в точке равновесия. Определить ситуации с товаром на рынке при ценах р₁ = 1 и

р₂ = 2.

Задача 4. Модель линейной многоотраслевой экономики.

В таблице 9 приведены данные об исполнении баланса нескольких отраслей за отчетный период, в условных денежных единицах.

 

Таблица 9

 

Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
Производство

 

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен уменьшиться на 20%, а второй отрасли увеличиться – на 10%.

Вариант 0

Задача 1. Модель поведения потребителя.

Студент тратит каждый месяц 500 руб. на бананы и газировку. Цена 1 кг бананов 60 руб., 1 л газировки 40 руб. Определить набор этих продуктов, обеспечивающий максимальную полезность для студента, если функция полезности имеет вид:

.

Задача 2. Модели поведения производителей.

Фирма действует в условиях «чистой монополии». Издержки производства характеризуются функцией

,

а цена спроса задается функцией .

Найти объем выпуска q*, максимизирующий прибыль; оптимальную цену р*;размер максимальной прибыли П(q*).

Задача 3. Поведение фирм на конкурентных рынках.

Найти точку рыночного равновесия, если спрос и предложение на конкурентном рынке имеют вид:

; .

Вычислить эластичность спроса и предложения в точке равновесия. Определить ситуации с товаром на рынке при ценах р₁ = 1 и р₂ = 2.

Задача 4. Модель линейной многоотраслевой экономики.

В таблице 10 приведены данные об исполнении баланса нескольких отраслей за отчетный период, в условных денежных единицах.

 

Таблица 10

 

№ п/п	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
Энергетика	Машино-строение
	Энергетика
	Машиностроение

 

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли уменьшится на 20%, а машиностроения на 10%.

Решение.

Если x ₁>1; x ₂>1, то .

1. ; .

2. .

3. .

Ответ: условия функции полезности выполнены, можно использовать как функцию полезности.

Пример 2. Построить карту безразличия для функции полезности: , x ₁>0; x ₂>0.

Решение.

1. , (C = const); или

Рис. 1. Карта безразличия функции

 

Графически это гиперболы в первом квадранте, например

а) при C = 1 получаем ;

б) при С = 2 получаем (см. рис. 1).

Пример 3. Найти геометрическое решение задачи максимизации индивидуальной функции полезности при наличии бюджетных ограничений: , .

Решение.

1. Из при p ₁ = 1, p ₂ = 3 и J = 5 получаем:

– это бюджетная прямая.

Запишем ее уравнение в отрезках .

2. Построим на системе координат (см. на рис. 2) бюджетную прямую – прямую АВ и кривую безразличия , то есть .

Рис. 2. Геометрическое решение

 

3. Решим систему уравнений графически.

откуда – гипербола.

1) при С = 1;

2) при ;

3) при .

Ответ: оптимальный набор благ x ₁ » 2; x ₂ » 1.

Пример 4. Найти аналитическое решение задачи максимизации индивидуальной функции полезности при наличии бюджетного ограничения , если и J =5.

Решение.

Известны:

Требуется найти значения .

Приведенем функцию полезности к зависимости от одной переменной.

1. Из выразим x₂: .

2. Подставим найденное значение x₂ в целевую функцию . Получим функцию одного аргумента x₁:

.

3. Исследуем на экстремум с помощью производной по стандартной схеме:

;

если ;

;

.

Для проверки вида экстремума можно использовать вторую производную: , следовательно, это точка максимума.

4. Находим .

Ответ: оптимальный набор благ , .

Пример 5. Найти решение задачи максимизации функции полезности при наличии бюджетного ограничения , если и J =5 с помощью функции Лагранжа.

Решение.

Известны:

Требуется найти значения .

1. Составим функцию Лагранжа:

.

2. Найдем первые частные производные функции по переменным и приравняем их к нулю:

3. Разделим поэлементно первое уравнение на второе, получим:

, откуда следует

или

.

4. Используя третье равенство в последней системе уравнений, получим:

;

;

.

5. .

Ответ: оптимальный набор благ , .

Решение.

Решаем задачу на максимум производственной функции: