Определение нормы годового стока при наличии длительных гидрометрических наблюдений

Норма годового стока, как всякая средняя арифметическая величина статистического ряда, может быть определена по формуле

 

(2.1)

 

где — норма годового стока, м³/с; Q₁, Q₂, … Q_N-i, Q_N – годовые значения стока за длительный период (N лет), при котором дальнейшее увеличение ряда наблюдений не меняет или мало меняет среднюю арифметическую величину .

Вследствие недостаточной длины фактических рядов наблюдений за годовым стоком (как правило, не превышают 60–80 лет, составляя в основном 20–40 лет) норма годового стока, полученная по формуле (2.1), отличается от истинного среднего значения при N→∞ на некоторую величину, т. е.

 

, (2.2)

 

где Q_0n — средний годовой сток за ограниченный период наблю­дений (п лет); — средняя квадратическая ошибка n -летней средней.

Согласно теории ошибок, величина на которую отличается среднее значение годового стока за п лет от истинной нормы за N лет при N→∞, равна

(2.3)

 

где — среднее квадратическое отклонение единичных значений годового стока Q_i, от среднего за п лет или среднее из суммы квадратов отклонений членов ряда годовых значений стока Qi от их среднего значения Q_0n. Определяется по формуле

(2.4)

 

 

Для сравнения точности определения нормы стока рек различной водности пользуются относительным значением средней квадратической ошибки. Так, выражая в процентах от Q_On, получим относительную среднюю квадратическую ошибку нормы стока, вычисленной по ограниченному ряду п лет

 

(2.5)

 

где — коэффициент вариации ряда годовых значений стока за п лет.

Коэффициент вариации С_v, характеризует колебания годовых значений стока относительно их средней величины и определяется непосредственно по имеющемуся ряду наблюдений.

Из формулы (2.5) легко установить необходимое число лет наблюдений п для получения нормы годового стока с заданной точностью при разных С_v.

. (2.6)

 

Соотношения, выраженные зависимостями (2.5) и (2.6), представлены в форме таблиц 2.1 и 2.2.

Как показывает таблица 2.1, чем больше коэффициент вариации, тем длиннее должен быть ряд наблюдений для определения нормы стока заданной точности.

Например, для вычисления нормы годового стока с точностью ±5% при С_v = 0,15—0,25 достаточно иметь ряд наблюдений 10–25 лет, а при С_v = 0,50–0,60 ряды наблюдений должны быть 100–150 лет. При обычных рядах наблюдений за годовым стоком, не превышающих 60 лет, и значениях С_v >0,70 точность нормы годового стока ±5% недостижима. Так, при C_v = 0,84-1,0 и n = 60 лет средняя квадратическая ошибка составляет ±(10—13)%. Поэтому в районах с большими колебаниями годового стока (засушливые районы Казахстана, Заволжья) понятие о норме годового стока является в некоторой мере условным. В целом же для большей части территории России под нормой годового стока понимается среднее его значение при такой длительности наблюденного или удлиненного ряда, при которой оно является достаточно устойчивым для практических расчетов, т. е. с ошибкой не более ±(5—10)%.

 

Таблица 2.1

Зависимость средних квадратических ошибок % от числа членов ряда п и коэффициента вариации C_v по формуле (2.5)

 

Cv	n
0,10	7,1	4,5	3,2	2,2	1,6	1.3	1,1	1,0
0,20	14,2	8,9	6,4	4,5	3,2	2,6	2,2	2,0
0,30	21,2	13,4	9,5	6,7	4,8	3,9	3,4	3,0
0,40	28,3	17,8	12,6	8,9	6,3	5,3	4,5	4,0
0,50	35,4	22,2	15,8	11,2	7,9	6,4	5,6	5,0

 

Таблица 2.1

 

Cv	n
0,60	42,5	25,8	19,0	13,4	9,5	7,8	6,7	6,0
0,70	49,6	31,2	22,1	15,7	11,1	9,0	7,8	7,0
0,80	56,7	35,6	25,3	17,9	12,7	10,3	8,9	8,0
0,90	63,9	40,1	28,5	20,1	14,4	11,6	10,1	9,0
1,00	71,0	44,5	31,6	22,4	15,8	12,9	11,2	10,0
1,20	85,2	53,5	38,0	26,8	19,0	15,5	13.4	12,0
1,40	99,4	62,3	44,3	31,4	22,1	18,1	15,7	14,0

 

 

Таблица 2.2

Необходимое число членов ряда п для вычисления нормы с заданной точностью % по формуле (2.6)

 

Cv	%
±5,0	±6,0	±7,0	±8,0	±9,0	±10,0
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00

 

Следует, однако, иметь в виду, что ошибка при подсчете по формуле (5) характеризует лишь точность метода, а не фактическую ошибку в каждом конкретном случае расчета, и пользование этой формулой для оценки точности устанавливаемой нормы — чисто формальный прием. В. Г. Андреянов отмечает, что существующее в расчетной практике стремление к увеличению длительности ряда за счет дополнительных лет для повышения точности определения нормы без учета циклических колебаний принципиально неверно. Простое удлинение ряда во многих случаях может даже снизить точность определения нормы.

Кроме того, вычисляемая по формуле (2.5) ошибка является средним значением, или ошибкой арифметической середины. Максимальные ошибки могут в 2—3 раза превысить среднюю, хотя вероятность таких больших ошибок очень мала. Например, вероятность того, что наибольшая ошибка не превысит ±2 , равна 95%, а вероятность непревышения ±2,55 составляет 99%. Таким образом, при точности вычисления нормы годового стока 5% максимальная ошибка может достигнуть 12—15% Однако такая ошибка может встретиться в одном случае из ста. Наибольшей ошибка будет тогда, когда расчетный ряд состоит из одной многоводной или одной маловодной фазы.

Следовательно, чтобы гарантировать требуемую точность определения нормы годового стока, помимо оценки средней квадратической ошибки по формуле (2.5), необходимо исследовать цикличность колебания годового стока и в многолетнем ряду последовательных лет наблюдений выбрать репрезентативный расчетный период.

Лишь в том случае, когда продолжительность наблюдении более 50-60 лет, норма годового стока вычисляется с учетом всего ряда.