Відома середня квадратична помилка вимірювань.

Збільшуючи кількість вимірювань N навіть при їхній точності, можна збільшити надійність довірчих оцінок або звузити довірчий інтервал для істинного значення вимірювальної величини. Необхідна кількість вимірювань для досягнення необхідної точності ε та необхідної надійності t можна визначити заздалегідь лише у тому випадку, коли відома середня квадратична помилка вимірювань (виміри припускаються рівно точними і незалежними). У цьому випадку кількість вимірювань N для одержання довірчої оцінки точності ε:

, (5.1)

З заданою надійністю £ визначається за допомогою формули:

, (5.2)

де t =t(Р) знаходиться з рівності 2Ф(t) = Р з табл. 5.1. (далі розглядається приклад №1 розрахунків).

Невідома середня квадратична помилка вимірювань.

Якщо середня квадратична помилка вимірювань заздалегідь невідома, але відомий хоча б її порядок, тоді необхідну кількість вимірювань можна визначити в залежності від надійності Р і від відношення q = ε/s, де s – майбутній емпіричний стандарт помилки. Для визначення N в залежності від Р і q застосовується табл. 5.2. (далі розглядається приклад №2 розрахунків).

ПРИКЛАД: щоб гарантувати одержання довірчої оцінки з надійністю Р = 0,99 та точністю до 0,1s слід зробити 668 вимірювань. На практиці часто можна обмежитися меншим числом вимірювань, якщо застосовувати наступний прийом. Спочатку потрібно зробити порівняно невелику кількість вимірів (у 3-4 рази менш означеного у таблиці 5.2). По результатах цих вимірювань розрахувати довірчий інтервал. Після цього уточнити необхідну кількість вимірів, виходячи з того, що зменшення довірчого інтервалу в λ – раз збільшує кількість замірів у разів (наприклад, зменшення довірчого інтервалу у 2 рази забезпечується збільшенням кількості вимірів у 4 рази).

Таблиця 5.1.

Величини, пов’язані із інтегралом ймовірності Ф(t);

1 - Р	t =t(Р)	Р
0.05	1.960	0.95
0.04	2.054	0.96
0.03	2.170	0.97
0.02	2.326	0.98
0.01	2.576	0.99
0.009	2.612	0.991
0.008	2.652	0.992
0.007	2.697	0.993
0.006	2.748	0.994
0.005	2.807	0.995
0.004	2.878	0.996
0.003	2.968	0.997
0.002	3.090	0.998
0.001	3.291	0.999
0.0009	3.320	0.9991
0.0008	3.353	0.9992
0.0007	3.390	0.9993
0.0006	3.432	0.9994
0.0005	3.481	0.9995
0.0004	3.540	0.9996
0.0003	3.615	0.9997
0.0002	3.720	0.9998
0.0001	3.891	0.9999

Функція t =t(Р) є зворотною для Р =2Ф(t)

t	Ф(t)	1-2Ф(t)
2.5	0.49379	0.01242
2.6	0.49534	0.00932
2.7	0.49653	0.00693
2.8	0.49744	0.00511
2.9	0.49813	0.00373
3.0	0.49865	0.00270
3.1	0.49903	0.00194
3.2	0.49931	0.00137
3.3	0.49952	0.00097
3.4	0.49966	0.00067
3.5	0.499767	0.000465
3.6	0.499841	0.000318
3.7	0.499892	0.000216
3.8	0.499927	0.000145
3.9	0.499952	0.000096
4.0	0.499968	0.000063
4.1	0.499979	0.000041
4.2	0.499987	0.000027
4.3	0.499991	0.000017
4.4	0.499995	0.000011

 

 

Таблиця 5.2.

Розрахунок необхідної кількості вимірювань

q = ε/s	Р
0,90	0,95^*	0,98	0,99	0,999
1,0
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,05

 

, для Р =0,95 (5.3.)

Приклад №1. Відома середня квадратична помилка вимірювань.

Знайдемо кількість вимірювань N для одержання довірчої оцінки заданої нами точності ε = 0,003 з прийнятою надійністю Р = 0,95 при середньому квадратичному відхиленні вимірювань .

Для P = 0,95 по табл. 5.1 – 2 знаходимо значення t через зворотну функцію t =t(P),t =1,96.

Для порівняння.

Зменшимо значення точності ε = 0,005 при тих самих вимогах до Р = 0,95 та .

Приклад №2. Невідома середня квадратична помилка вимірювань.

На практиці, коли середня квадратична помилка відхилення вимірювань σ невідома замість неї використовують емпіричний стандарт. Формула:

Знайдемо кількість вимірів N для вибірки об’ємом n = 100, для якої вже обчислено , .

По табл. 4.2 для n = 100, t (0,95;100) = 1,984 довірча оцінка істинного значення x характеризується точністю ε:

Приймемо оцінку точності вимірювання ε = 0,0023. Майбутній емпіричний стандарт помилки . Прорахуємо відношення q = ε/s = 0,0023/0,012 = 0,19. Приймемо . В табл. 5.2 при заданій надійності P = 0,95 (другий стовпчик) та (п’ятий рядок) необхідна кількість вимірювань N = 99 [за формулою (5.3.) - ].

По таблиці можна швидко оцінити, наскільки зменшується необхідна кількість вимірювань при збільшенні значення оцінки точності ε. Наприклад, якщо нас задовольняє точність виміру ε = 0,0115 (q = ε/s = 0,0115/0,012 = 1), то необхідна кількість вимірів зменшується до N = 7 ().

Оформлення звіту

1. Записати назву лабораторної роботи та її мету.

2. За даними розрахунків в Л.Р. №4 визначити необхідну кількість вимірів N для:

a) Забезпечення точності випадкової похибки ε = 0,5 ε₁ при незмінному значенні σ для вибірки об’ємом n = 30 (ε₁ – обчислена випадкова похибка);

b) Забезпечення точності систематичної похибки при незмінному стандарті s;

c) Забезпечення точності загальної похибки при незмінному стандарті S_∑;

d) Для пунктів розрахунків b) і c) обчислення виконати за допомогою табл. 5.2 та формули (5.3.). Зробити висновки.

Контрольні запитання

1. Що таке вірчий (довірчий) інтервал для величини,що вимірюється?

2. Яку надійність довірчої оцінки випадкової похибки приймають в інженерних розрахунках?

3. Як визначити довжину вірчого інтервалу при нормальному законі розподілу випадкової величини?

4. Як визначити довжину вірчого інтервалу при обмеженому об`ємі вибірки (закон розподілу Стьюдента)?

 

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №6