Потенциал точечного стока и истока на плоскости и в пространстве. Принцип суперпозиций



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Потенциал точечного стока и истока на плоскости и в пространстве. Принцип суперпозиций



 

Назовем точечным стоком на плоскости точку, поглощающую жидкость. Сток можно рассматривать как гидродинамически совершенную скважину бесконечно малого радиуса в пласте единичной толщины. На плоскости вокруг точечного стока будет радиальная картина движения. Точечный источник - это точка, выделяющая жидкость (модель нагнетательной скважины). Определим потенциал течения как функцию, производная которой с обратным знаком вдоль линии тока равна скорости фильтрации, т. е.

(1)

Из сравнения (1) с законом Дарси:

видно, что потенциал для несжимаемой жидкости связан с давлением формулой

(2)

Найдем потенциал точечного стока на плоскости. Так как точечный сток является моделью добывающей скважины и течение вокруг него плоскорадиальное, то можно воспользоваться формулой объемной скорости , то


(3)

 

где - дебит скважины-стока, приходящийся на единицу толщины пласта.

Но для плоскорадиального потока:

Откуда

Проинтегрировав получим выражение потенциала для точечного стока на плоскости:

(4)

где С - постоянная интегрирования.

Таким образом, потенциал в окрестности скважины-стока пропорционален логарифму расстояния г от стока (центра скважины). При r = 0 и r= , то функция ln r обращается в бесконечность, поэтому потенциал в этих точках теряет смысл.

Для точечного источника справедливы все приведенные формулы, но дебит q считается отрицательным (q < 0).

Из формулы (4) следует, что линиями равного потенциала (эквипотенциалами) являются окружности r = const.

 

 

Найдем теперь потенциал точечного стока в пространстве. Движение вблизи такого стока будет радиально-сферическим. Поэтому скорость фильтрации

Откуда

и потенциал точечного стока в пространстве будет иметь вид:

(5)

Для потенциала точечного источника знак дебита в формуле (5) меняется на противоположный. Как следует из формулы (5), потенциал точечного стока в пространстве обращается в бесконечность при r = 0, а при r = остается конечным (и равным С).

Распределение давления и потенциала в установившихся потоках несжимаемой жидкости описывается уравнением Лапласа, которое для плоских течений имеет вид

(6)

Поскольку уравнение Лапласа линейное и однородное, его решения обладают следующими свойствами: сумма частных решений есть также решение этого уравнения; произведение частного решения на произвольную постоянную есть также решение этого уравнения. На основании этих свойств в подземной гидромеханике разработан метод решения сложных задач, названный методом суперпозиции (методом наложения решений).

 

 

Математический смысл метода суперпозиции заключается в том, что если имеется несколько фильтрационных потоков с потенциалами

Ф1(х,у), Ф2(х, у},...,Фn(х, у), каждый из которых удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е.

i =1,2,…,n

то и сумма (где Сi - произвольные постоянные) также удовлетворяет уравнению Лапласа:

Гидродинамический смысл метода суперпозиции состоит в том, что изменение пластового давления и потенциала в любой точке пласта, вызванное работой каждой скважины (нагнетательной или добывающей), подсчитывается так, как если бы данная скважина работала в пласте одна, совершенно независимо от других скважин, затем эти независимо определенные для каждой скважины изменения давления и потенциала в каждой точке пласта алгебраически суммируются.

Суммарная скорость фильтрации находится как сумма векторов скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины, по правилам сложения векторов.

Пусть на неограниченной плоскости расположено и источников и стоков (рис. 1, а). Потенциал каждого из них в точке М определяется по формуле (4):

, , ….,

где r1, r2,... rn - расстояния от первого, второго, ... n-то стоков до точки М; С1, С2,..., Cn - постоянные.

 

Каждая из функций Ф1, Ф2,..., Фn удовлетворяет уравнению Лапласа.

Тогда сумма потенциалов

(7)

также удовлетворяют уравнению Лапласа. Физически это означает, что фильтрационные потоки от работы каждого источника или стока накладываются друг на друга. В этом и заключается принцип суперпозиции, или сложения течений. Вектор скорости фильтрации в точке М равен:

(8)

, ,…,

Метод суперпозиции можно использовать не только в бесконечных пластах, но и в пластах, имеющих контур питания или непроницаемую границу той или иной формы. В этом случае для выполнения тех или иных условий на границах приходится вводить фиктивные скважины - стоки или скважины-источники за пределами пласта. Фиктивные скважины в совокупности с реальными обеспечивают необходимые условия на границах. При этом задача сводится к рассмотрению одновременной работы реальных и фиктивных скважин в неограниченном пласте. Этот метод называется методом отображения источников и стоков.

 

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-18; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.238.173.209 (0.008 с.)