Вопрос 8. Поверхности вращения. Особые линии поверхностей вращения. Поверхности вращения 2-го и 4-го порядка. Принадлежность точки поверхности вращения.

Поверхностью вращения называют поверхность, получающуюся от вращения некоторой образующей линии 1 вокруг неподвижной прямой i - оси вращения поверхности.

Определитель: Ф (l, i)[ l Æi ].

На чертеже поверхность вращения задается своим очерком. Очерком поверхности называются линии, которые ограничивают области ее проекций. При вращении каждая точка образующей описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси. Соответственно, линия пересечения поверхности вращения плоскостью, перпендикулярной оси, является окружностью. Такие окружности называют параллелями (рис. 3.15). Параллель наибольшего радиуса называют экватором, наименьшего - горлом.

Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называют меридиональной, линию ее пересечения с поверхностью враще- ния - меридианом. Меридиан, лежащий в плоскости, параллельной плоскости проекций, называют главным меридианом.

наиболее часто встречаются следующие поверхности вращения: цилиндрическая, коническая, сферическая, торовая.

Цилиндрическую поверхность вращения можно рассматривать, как частный случай поверхности, изображенной на рис.3.1. В качестве направляющей а следует взять окружность, а в качестве прямой b - ось i (рис.3.16). Тогда получим, что образующая l, параллельная оси i, вращается вокруг последней.

Определитель: Ф (l ½½ i)[ l Æi ].
Если ось вращения перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то на П ₁ цилиндрическая поверхность проецируется в окружность, а на П ₃ - в прямоугольник. Главным меридианом цилиндрической поверхности являются две параллельные прямые.

Коническую поверхность вращения получим, вращая прямолинейную образующую l вокруг оси i. При этом образующая l пересекает ось i в точке S, называемой вершиной конуса (рис.3.17).

Определитель: Ф (l Ç i)[ l Æi ].
Главным меридианом конической поверхности являются две пересекающиеся прямые. Если в качестве образующей взять отрезок прямой, а ось конуса перпендикулярной П ₁, то на П ₁ коническая поверхность проецируется в круг, а на П ₂ - в треугольник.

Сферическая поверхность образуется за счет вращения окружности вокруг оси, проходящей через центр окружности и лежащей в ее плоскости (рис.3.18). Экватор и меридианы сферической поверхности являются равными между собой окружностями. Поэтому при ортогональном проецировании на любую плоскость сферическая поверхность проецируется в круги.

Торовая поверхность. При вращении окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, образуется поверхность, называемая торовой (рис.3.19).

Принадлежность точки поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она расположена на линии, принадлежащей поверхности. На поверхностях вращения в качестве линий удобно использовать окружности (параллели).

 

          

 

 

Вопрос 9. Поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма. Винтовые линии и поверхности.

Эти поверхности образуются движением прямолинейной образующей по двум направляющим. Образующая во время своего движения все время остается параллельной некоторой плоскости, называемой плоскостью параллелизма.

Определитель: Ф (l, a, b) [ l ½½ Г ].

Косая плоскость.
Если направляющими служат две скрещивающиеся прямые, а прямолинейная образующая движется по этим направляющим, оставаясь все время параллельной плоскости параллелизма, то полученную поверхность называют косой плоскостью или гиперболическим параболоидом.

На рис.3.20-б показана косая плоскость, для которой направляющими служат две скрещивающиеся прямые а и b, а в качестве плоскости параллелизма принята горизонтальная плоскость проекций П ₁.

Определитель: Ф (l, a Æ b)[ l ½½ П ₁].

Цилиндроид
Поверхность цилиндроида можно получить, приняв за направляющие две непараллельные и не лежащие в одной плоскости кривые k и t. Образующая во всех своих положениях скользит по этим направляющим, оставаясь все время параллельной плоскости параллелизма, например П ₂

Определитель: Ф (l, k, t) [ l ½½ П ₂].

Коноид
Коноид получается при движении образующей по двум направляющим, не лежащим в одной плоскости, одна из которых является прямой, вторая - кривой. На рис.3.22 показана такая поверхность. За плоскость параллелизма принята плоскость Г.

Определитель: Ф (l, a, k) [ l ½½ Г ].

Винтовая линия.

Если точка будет равномерно перемещаться по прямой, а прямая равномерно перемещаться по оси, то точка при этом опишет пространственную прямую, которая называется цилиндрической винтовой линией. Винтовая линия бывает правого и левого хода. 

Если точка, вращаясь по часовой стрелке, удаляется от наблюдателя, то винт. линия правого хода.

Если точка, вращаясь по часовой стрелке, приближается к наблюдателю, то винт. Линия левого хода.

Расстояние между 2мя соседними точками винтовой линии расположенными на одной прямой паралл оси наз. шагом винтовой линии.

  Винтовые пов-ти.

Винтовую поверхность можно рассматривать как частный случай коноида. Прямолинейная образующая перемещается по двум направляющим, одна из которых кривая (винтовая линия или гелиса), вторая - прямая (ось винтовой линии). Такую поверхность называют геликоидом.
Если образующая перпендикулярна оси винтовой линии, то геликоид называют прямым.
В случае расположения образующей не под прямым углом к оси винтовой линии - геликоид косой