Вопрос 4. Пересечение прямой и плоскости (3 случая). (зад.30,32)

Вопрос 2. Линии. Классификация линий. Прямая линия. Классификация прямых по расположению относительно друг друга и по расположению относительно плоскостей проекций. Принадлежность точки прямой. (зад.14,13)

Любую линию можно рассматривать как результат перемещения некоторой точки в пространстве. При этом все множество линий можно разделить на прямые, кривые и пространственные.

Прямую можно задать на чертеже в виде отрезка.

Между длинами отрезка АВ и А1В1 имеется зависимость А1В1=АВcosфи, где

Фи - угол между отрезком и плоскостью проекций. При фи = 0^о отрезок проецируется в натуральную величину, при фи=90^о – в точку.

Кривые: циркульные и лекальные.

Циркульные: эллипс, парабола, гипербола, окружность.

Пространственные: винтовая линия.

Взаимное расположение прямых.

Прямые в пространстве могут пересекаться, быть взаимно параллельными (пересекаться в бесконечно удаленной точке) и скрещиваться.

Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции также пересекаются, причем точки пересечения одноименных проекций таких прямых лежат на одной линии связи

Если прямые параллельны, то их одноименные проекции также параллельны.

Если прямые скрещиваются, то их одноименные проекции могут пересекаться или на одной проекции пересекаться, а на второй - быть параллельными.

Расположение прямых относ. Плоск.пр-ии.

Прямые: общего и частного положения.

Прямой общего положения называют прямую, не параллельную ни одной из данных плоскостей проекций. Любой отрезок такой прямой проецируется в данной системе плоскостей проекций искаженно. Искаженно проецируются и углы наклона этой прямой к плоскостям проекций.

К прямым частного положения относятся прямые, параллельные одной или двум плоскостям проекций. Различают три основные линии уровня: горизонталь, фронталь и профильную линии.

Горизонталью называют любую линию, параллельную горизонтальной плоскости проекций. Любой отрезок горизонтали проецируется на П1 без искажения. В ист.величину проецируется и угол наклона горизонтали к П2.

Фронталью называют линию, параллельную фронтальной плоскости проекций. Любой отр.фронтали проецируется без искажения на П2. Угол наклона фронтали к П1 проецируется на П2 без искажения.

Профильной линией называют линию, параллельную профильной плоскости проекций. Любой отрезок профильной линии (прямой) проецируется на профильную плоскость в истинную величину. На эту же плоскость проецируются в истинную величину и углы наклона профильной прямой к плоскостям проекций П ₁ и П ₂

Прямая паралл. 2м пл-тям проекции будет перп. 3ей и наз. проецирующей прямой.

Прямая перп. П1 – гориз.проец., П2-фронт.проец., П3-проф.проец.

Принадлежность прямой точке.

Точка принадлежит прямой, если соответствующие проекции точки расположены на соответствующих проекциях прямых.

 

Вопрос 3. Плоскость, задание на чертеже. Классификация плоскостей по расположению относительно плоскостей проекций. Принадлежность точки и прямой плоскости. Главные линии плоскости.

Плоскость можно рассматривать как результат перемещения прямолинейной образующей l, все время оставаясь параллельной прямой b, вдоль направляющей а. При этом а является также прямой (рис.3.5). Определитель плоскости записывается следующим образом: F (l, а)[ l ½½ b ].

Задание плоскости тремя точками.
Три точки, не лежащие на одной прямой, задают плоскость (рис.3.6а). Любая четвертая, пятая и т.д. точки, взятые произвольно на чертеже, как правило, не принадлежат заданной плоскости. Определитель: S (A, B, C).

Задание плоскости прямой и точкой вне этой прямой.
Если две точки плоскости соединить прямой, то получим задание плоскости прямой и точкой

 Всякий дополнительный элемент (точка, прямая), взятый произвольно, как правило, не будет принадлежать этой плоскости. Определитель: S (A, b)[ A Ëb ].

Задание плоскости двумя пересекающимися прямыми.
Две пересекающиеся прямые определяют плоскость. Определитель: S (а    b)

В ряде случаев плоскость удобно задавать двумя пересекающимися прямыми уровня: горизонталью и фронталью.

  Задание плоскости двумя параллельными прямыми.
Так как параллельные прямые можно рассматривать как пересекающиеся в несобственной точке, то они также будут определять плоскость. Определитель: S (a ½½ b)

Задание плоскости плоской фигурой (отсек плоскости).
Любая плоская фигура, например треугольник, задает плоскость. Плоская фигура придает большую наглядность изображаемой плоскости. Определитель: S (ABC).  

Класс. пл-тей относ. пл-тей проекции.

Пл-ти: общего и частного положения

Пл-ть перп. Одной пл-ти проекции наз проецирующей.

Пл-ть перп. П1 – гориз проец, П2-фронт проец,П3 – проф проец.

Пл-ть перп. 2м плоскостям проекции будет паралл 3ей и наз. плоскостью уровня.

Пл-ть паралл. П1-гориз. Пл-ть уровня, П2- фронт.п.ур., П3 – проф.пл.ур.

Принадлежность точки, прямой плоскости.

Прямая принадлежит пл-ти, если она проходит через 2 точки, принадл. пл-ти.

Точка принадлежит пл-ти, если она расположена на прямой, принадл. пл-ти.

Главные линии плоскости.

..наз. прямые уровня принадл. пл-ти, а также линии наибольшего наклона к плоскости проекции. (задача 20) Линии наиб.наклона к пл-тям проекции – прямые принадл.пл-ти и перп линиям уровня пл-ти.

Линией ската или л.наиб накл к П1 наз прямую принадл пл-ти и перп горизонтали пл-ти.

Линией наиб.наклона к П2 наз. прямую принадл пл-ти и перпфронтали пл-ти.

Пространственные кривые.

Цилиндрическая винтовая линия

Пусть точка А (рис.2.12) равномерно движется по прямой 1, прямая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг оси i, ей параллельной. При вращении прямая 1 образует цилиндрическую поверхность, а точка А опишет пространственную кривую, которую называют цилиндрической винтовой линией или гелисой (геликой). Расстояние от точки А до оси i называют радиусом винтовой линии, а расстояние между точками А¹ и А^VIII, лежащими на одной прямой - шагом винтовой линии.

Построим комплексный чертеж винтовой линии по ее радиусу R и шагу р (рис.2.13). Примем ось винтовой линии i, расположенной перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций П ₁. Все точки винтовой линии отстоят от оси на одинаковом расстоянии, поэтому горизонтальной проекцией этой линии будет окружность радиуса R с центром на оси L. Выберем начальную точку винтовой линии - точку 1. Разделим окружность на 12 равных частей и примем полученные точки за горизонтальные проекции точек, принадлежащих винтовой линии. По условию задачи шаг винтовой линии равен р, следовательно, при переходе точки 1 в положение 2 она поднимется на высоту, равную 1/12 р, при переходе в положение 3 - на высоту 2/12 р и т.д. Поделив шаг на 12 частей, построим фронтальные проекции точек, принадлежащих винтовой линии.
Совокупность этих точек даст фронтальную проекцию винтовой линии - синусоиду.
Винтовая линия может быть правого или левого хода. Если точка, перемещаясь по винтовой линии вращается по часовой стрелке и удаляется от наблюдателя, винтовая линия - правая. Если вращается против часовой стрелки и удаляется от наблюдателя, винтовая линия - левая. На рис.2.13 изображена правая винтовая линия.
Коническая винтовая линия
Коническая винтовая линия- пространственная кривая, образованная равномерным движением точки по прямой, которая равномерно вращается вокруг оси и пересекает ее.

Для построения конической винтовой линии (рис.2.14) изобразим некоторое число положений прямой, равномерно отстоящих друг от друга (в данном случае 12). Положение точки, движущейся вдоль прямой, будем фиксировать так, чтобы движение вдоль прямой было пропорционально угловому перемещению вокруг оси. Горизонтальной проекцией конической винтовой линии будет спираль Архимеда. Фронтальной проекцией - синусоида с затухающей амплитудой. Получили левую винтовую линию.

 

Сечение гранного тела.

Сечение цилиндра.

Если секущая плоскость будет проходить через образующие, то в сечении получим параллельные прямые, если через направляющие, то - окружность. Все остальные сечения цилиндра будут эллипсами. Построение сечения цилиндра фронтально проецирующей плоскостью рассмотрено на рис. 8.2.     

Натуральную величину сечения построим по точкам. Отметим на чертеже точки, соответствующие большой АВ и малой CD осям эллипса

 

Сечение шара.

Как известно, любое сечение шара плоскостью является кругом. В зависимости от положения секущей плоскости, окружность, ограничивающая фигуру сечения, может спроецироваться в:
- окружность, если секущая плоскость параллельна плоскости проекций;
- отрезок прямой, если секущая плоскость перпендикулярна плоскости проекций;
- эллипс, если секущая плоскость наклонена к плоскости проекций.

  Так как сечение шара - круг (рис. 8.7), то построение его натуральной величины сводится к определению радиуса окружности. Участок линии сечения А ₃ В ₃ является диаметром этой окружности. Поэтому для построений на новую ось х ₁ линиями связи переносятся точки О и В, после чего радиусом, равным расстоянию между ними, проводится окружность - граница фигуры сечения А - А.

 

 

Билет 15. Построение проекций и натуральной величины наклонного сечения плоскостью общего положения на примере многогранника и конуса.

См. билет 13 и 14.

Билет 16. Построение точки пересечения прямой с поверхностью вращения. Пересечение многогранника с поверхностью вращения на примере соосных конуса и шестигранной призмы.­­(зад.56,59)

Построение точки встречи прямой общего положения с проецирующей поверхностью
Найдем точки встречи прямой d с цилиндрической поверхностью, заданной направляющей 1 и образующей s (рис.7.9).
Как видно из чертежа, поверхность цилиндра является горизонтально проецирующей. Следовательно, горизонтальные проекции всех точек, принадлежащих поверхности, совпадут с 1 ₁ - проекцией цилиндрической поверхности на плоскость П ₁. Поэтому на пересечении 1 ₁ и d ₁ отмечаем А ₁ и В ₁, которые и будут горизонтальными проекциями точек встречи прямой и поверхности.
Фронтальные проекции А ₂ и В ₂ искомых точек построим при помощи линий связи на d ₂ - фронтальной проекции прямой.

Построим точки встречи прямой 1 с поверхностью сферы. Заключим прямую 1 в горизонтально проецирующую плоскость Г (Г ₁ º 1 ₁). Эта плоскость пересечет сферу по окружности, которая на плоскость П ₂ спроецируется в эллипс с большой С ₂ D ₂ и малой Е ₂ F ₂ осями. В пересечении фронтальной проекции 1 ₂ прямой 1 с эллипсом получим А ₂ и В ₂ -фронтальные проекции искомых точек.
Приведенное решение является недостаточно точным, так как сам эллипс надо строить по точкам. Более точно эту задачу можно решить методом проецирования на дополнительную плоскость (рис.7.12).
Построим третью проекцию на плоскость П ₄, параллельную плоскости Г. В новой системе плоскостей проекций П ₄ ^ П ₁ построим О ₄ и 1 ₄ - проекции центра шара и прямой 1 на плоскость П ₄. На П ₄ окружность сечения спроецируется неискаженно в виде окружности радиуса 1 ₄ 2 ₄. Пересечение этой окружности с 1 ₄ дает проекции А ₄ и В ₄ искомых точек, имея которые, легко построить их горизонтальные А ₁, В ₁ и фронтальные А ₂, В ₂ проекции.

Пример построения точек встречи горизонтальной прямой 1 с поверхностью тора.

Искомые точки А (А ₁, А ₂), B (В ₁, В ₂), C (С ₁, С ₂), D (D ₁, D ₁) найдены при помощи вспомогательной горизонтальной плоскости W (W ₂), которая рассекает поверхность тора по параллелям радиусов О ₁ и О ₂. Количество точек пересечения прямой с поверхностью в общем случае определяет порядок поверхности. Действительно, тор - поверхность четвертого порядка, и прямая пересекает его поверхность в четырех точках A, B, C, D.

В приведенных примерах в качестве вспомогательных плоскостей использовались проецирующие плоскости. Рассмотрим ряд случаев, в которых более целесообразно в качестве вспомогательных плоскостей использовать плоскости общего положения.
Построим точки встречи прямой 1 с поверхностью конуса (рис.7.14). Конус задан своей вершиной S (S ₂, S ₂) и направляющей k, лежащей в плоскости W.
В данном случае применять вспомогательные проецирующие плоскости не рационально, так как эти плоскости не дадут графически простых линий сечения. Если же провести вспомогательную плоскость через прямую 1 и вершину S конуса, то такая плоскость (общего положения) даст в сечении конуса графически простые линии - образующие.
Возьмем на прямой 1 произвольную точку О и, соединив ее с вершиной S конуса, определим плоскость Г (1 Ç t, проходящую через прямую 1 и вершину S конуса.
Плоскость Г пересечет плоскость W основания, в которой лежит направляющая k конуса, по прямой 12 (1 ₁ 2 ₁, 1 ₂ 2 ₂). Пересечение прямой 1 ₂ с направляющей k конуса даст точки D и Е, через которые проводим образующие SD и SE. Пересечение этих образующих с прямой 1 даст искомые точки: 1 Ç SD = A; 1 Ç SE = В.
В случае пересечения соосных конуса и шестигранной призмы

 

Вопрос 2. Линии. Классификация линий. Прямая линия. Классификация прямых по расположению относительно друг друга и по расположению относительно плоскостей проекций. Принадлежность точки прямой. (зад.14,13)

Любую линию можно рассматривать как результат перемещения некоторой точки в пространстве. При этом все множество линий можно разделить на прямые, кривые и пространственные.

Прямую можно задать на чертеже в виде отрезка.

Между длинами отрезка АВ и А1В1 имеется зависимость А1В1=АВcosфи, где

Фи - угол между отрезком и плоскостью проекций. При фи = 0^о отрезок проецируется в натуральную величину, при фи=90^о – в точку.

Кривые: циркульные и лекальные.

Циркульные: эллипс, парабола, гипербола, окружность.

Пространственные: винтовая линия.

Взаимное расположение прямых.

Прямые в пространстве могут пересекаться, быть взаимно параллельными (пересекаться в бесконечно удаленной точке) и скрещиваться.

Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции также пересекаются, причем точки пересечения одноименных проекций таких прямых лежат на одной линии связи

Если прямые параллельны, то их одноименные проекции также параллельны.

Если прямые скрещиваются, то их одноименные проекции могут пересекаться или на одной проекции пересекаться, а на второй - быть параллельными.

Расположение прямых относ. Плоск.пр-ии.

Прямые: общего и частного положения.

Прямой общего положения называют прямую, не параллельную ни одной из данных плоскостей проекций. Любой отрезок такой прямой проецируется в данной системе плоскостей проекций искаженно. Искаженно проецируются и углы наклона этой прямой к плоскостям проекций.

К прямым частного положения относятся прямые, параллельные одной или двум плоскостям проекций. Различают три основные линии уровня: горизонталь, фронталь и профильную линии.

Горизонталью называют любую линию, параллельную горизонтальной плоскости проекций. Любой отрезок горизонтали проецируется на П1 без искажения. В ист.величину проецируется и угол наклона горизонтали к П2.

Фронталью называют линию, параллельную фронтальной плоскости проекций. Любой отр.фронтали проецируется без искажения на П2. Угол наклона фронтали к П1 проецируется на П2 без искажения.

Профильной линией называют линию, параллельную профильной плоскости проекций. Любой отрезок профильной линии (прямой) проецируется на профильную плоскость в истинную величину. На эту же плоскость проецируются в истинную величину и углы наклона профильной прямой к плоскостям проекций П ₁ и П ₂

Прямая паралл. 2м пл-тям проекции будет перп. 3ей и наз. проецирующей прямой.

Прямая перп. П1 – гориз.проец., П2-фронт.проец., П3-проф.проец.

Принадлежность прямой точке.

Точка принадлежит прямой, если соответствующие проекции точки расположены на соответствующих проекциях прямых.

 

Вопрос 3. Плоскость, задание на чертеже. Классификация плоскостей по расположению относительно плоскостей проекций. Принадлежность точки и прямой плоскости. Главные линии плоскости.

Плоскость можно рассматривать как результат перемещения прямолинейной образующей l, все время оставаясь параллельной прямой b, вдоль направляющей а. При этом а является также прямой (рис.3.5). Определитель плоскости записывается следующим образом: F (l, а)[ l ½½ b ].

Задание плоскости тремя точками.
Три точки, не лежащие на одной прямой, задают плоскость (рис.3.6а). Любая четвертая, пятая и т.д. точки, взятые произвольно на чертеже, как правило, не принадлежат заданной плоскости. Определитель: S (A, B, C).

Задание плоскости прямой и точкой вне этой прямой.
Если две точки плоскости соединить прямой, то получим задание плоскости прямой и точкой

 Всякий дополнительный элемент (точка, прямая), взятый произвольно, как правило, не будет принадлежать этой плоскости. Определитель: S (A, b)[ A Ëb ].

Задание плоскости двумя пересекающимися прямыми.
Две пересекающиеся прямые определяют плоскость. Определитель: S (а    b)

В ряде случаев плоскость удобно задавать двумя пересекающимися прямыми уровня: горизонталью и фронталью.

  Задание плоскости двумя параллельными прямыми.
Так как параллельные прямые можно рассматривать как пересекающиеся в несобственной точке, то они также будут определять плоскость. Определитель: S (a ½½ b)

Задание плоскости плоской фигурой (отсек плоскости).
Любая плоская фигура, например треугольник, задает плоскость. Плоская фигура придает большую наглядность изображаемой плоскости. Определитель: S (ABC).  

Класс. пл-тей относ. пл-тей проекции.

Пл-ти: общего и частного положения

Пл-ть перп. Одной пл-ти проекции наз проецирующей.

Пл-ть перп. П1 – гориз проец, П2-фронт проец,П3 – проф проец.

Пл-ть перп. 2м плоскостям проекции будет паралл 3ей и наз. плоскостью уровня.

Пл-ть паралл. П1-гориз. Пл-ть уровня, П2- фронт.п.ур., П3 – проф.пл.ур.

Принадлежность точки, прямой плоскости.

Прямая принадлежит пл-ти, если она проходит через 2 точки, принадл. пл-ти.

Точка принадлежит пл-ти, если она расположена на прямой, принадл. пл-ти.

Главные линии плоскости.

..наз. прямые уровня принадл. пл-ти, а также линии наибольшего наклона к плоскости проекции. (задача 20) Линии наиб.наклона к пл-тям проекции – прямые принадл.пл-ти и перп линиям уровня пл-ти.

Линией ската или л.наиб накл к П1 наз прямую принадл пл-ти и перп горизонтали пл-ти.

Линией наиб.наклона к П2 наз. прямую принадл пл-ти и перпфронтали пл-ти.

Вопрос 4. Пересечение прямой и плоскости (3 случая). (зад.30,32)

1). Пересечение проецирующей пр-ой с пл-тью общего положения.

На рис.7.5 показано построение точки встречи горизонтально проецирующей прямой n с плоскостью общего положения Q (a Ç b). Горизонтальные проекции всех точек, принадлежащих данной прямой, в том числе и горизонтальная проекция М ₁ искомой точки М, будут совпадать с n ₁ - горизонтальной проекцией прямой n. Следовательно, задача сводится к нахождению недостающей фронтальной проекции М ₁ точки М, лежащей в плоскости Q. Через М ₁ проведем прямую 1 ₁ 2 ₁. По линиям связи найдем фронтальные проекции 1 ₂, 2 ₂ точек 1 и 2, через которые проведем фронтальную проекцию прямой 12. На пересечении 1 ₂ 2 ₂ с n ₂ и будет находиться фронтальная проекция М ₂ точки М.

2). Пересечение проецирующей пл-ти с прямой общ.положения. построим точку встречи фронтально проецирующей плоскости Q с прямой общего положения n (рис.7.4). Пусть n Ç Q = = М. М ₂ - фронтальная проекция искомой точки М должна лежать на фронтальной проекции П ₂ прямой n, как точка, принадлежащая прямой n. В то же время фронтальная проекция М ₂ точки М должна лежать на следе Q ₂ плоскости Q, так как искомая точка принадлежит и плоскости Q. Следовательно, искомая фронтальная проекция М ₂ точки М может лежать только на пересечении n ₂ и Q ₂. Имея фронтальную проекцию М ₂ точки М, при помощи линии связи легко найти ее горизонтальную проекцию.

зад. 30

3). Пересечение прямой общего положения с пл-тьюобщего положения.

1) через прямую проводят вспомогательную плоскость F;
2) находят линию пересечения 1 данной Q и вспомогательной F плоскостей;
3) отмечают искомую точку М как точку пересечения прямой 1 с данной прямой n.

Зад.32.