П.34 Неравенство треугольника

Неравенство треугольника вытекает из важной теоремы, о сторонах и углах треугольника. Вспомним эту теорему: Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Теорема 1: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Теорема: Каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

Следствие: для любых трёх точек А,В.С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:

П.35 Прямоугольные треугольники

СВОЙСТВА:

1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в 30°).

3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

 

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.

1. Если КАТЕТЫ одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

 

2. Если КАТЕТ И ПРИЛЕЖАЩИЙ К НЕМУ ОСТРЫЙ УГОЛ одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

 

3. Если ГИПОТЕНУЗА И ОСТРЫЙ УГОЛ одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

 

4. Если ГИПОТЕНУЗА И КАТЕТ одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

 

Докажем теорему Фалеса:
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

П.35 Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

Свойство 1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.

Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм. .

Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. .

Третий признак параллелограмма. Если в четырёхугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам, то данный четырёхугольник является параллелограммом.

П.35 Трапеция

 

Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

· равнобедренная (равнобокая) трапеция: боковые стороны равны;

· прямоугольная трапеция: один из углов равен (из определения трапеции и свойства параллельных прямых следует, что два угла будут по ).

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Свойства средней линии трапеции:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции.

2. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции: .

Признаки равнобедренной трапеции:

1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.